空间图形的基本关系与公理(二)
更新时间:2023-06-01 13:14:01 阅读量: 实用文档 文档下载
空间图形的基本关系与公理(二)
西安市阎良区西飞第一中学李晋制作
空间图形的基本关系与公理(二)
公理1:如果一条直线上的两点 两点在一个平面内, 公理 两点 那么这条直线上所有的点 所有的点都在这个平 所有的点 面内.图形语言: 图形语言:A ∈α 符号语言: 符号语言:B ∈ α 直线 AB α
公理1可以帮助我们解决哪些几何问题? 公理 可以帮助我们解决哪些几何问题? 可以帮助我们解决哪些几何问题⑴判定直线或点是否在平面内; ⑵检验平面.
空间图形的基本关系与公理(二)
公理2 公理2 经过不在同一条直线上的 三点, 三点,有且只有一个平面过不共线的三点A,B,C的 过不共线的三点A,B,C的 A,B,C 平面通常记作〝平面ABC 平面通常记作〝平面ABC 〞
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
空间图形的基本关系与公理(二)
讨
论:
你是怎么样来理解公理2 你是怎么样来理解公理2中的 有且只有一个” “有且只有一个” 这句话的 ? 有且只有一个” 含义: 答:“有且只有一个”的 含义: 是存在性和唯一性。 是存在性和唯一性。 注意: 注意: 条件中提到三点不共线的含义。
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推论1: 推论 :经过一条直线和这条直线外的一点 有 且只有一个平面. 且只有一个平面图形语言:
符号语言: l 有且只有一个平面α , 使A ∈ α , l α A
空间图形的基本关系与公理(二)
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个 经过两条相交直线, 推论 经过两条相交直线 平面. 平面图形语言:
符号语言:a ∩ b = P 有且只有一个平面α , 使a α , b α
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推论3:经过两条平行的直线有且只有一个 经过两条平行的直线有且只有一个 推论 平面. 平面图形语言:
符号语言: // b 有且只有一个平面α , 使a α , b α a
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公理3: 一个公共点,那么它 公理 :如果两个平面有一个 一个 们还有其他公共点,这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线 一条直线. 一条直线(没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.)
图形语言: 图形语言:
P ∈α 符号语言: 符号语言: α ∩ β = l且P ∈ l P∈β
公理3可以帮助我们解决哪些几何问题? 公理 可以帮助我们解决哪些几何问题? 可以帮助我们解决哪些几何问题⑴判断两个平面是否相交; ⑵判定点是否在直线上. 如果两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条 公共直线叫做这两个平面的交线.
空间图形的基本关系与公理(二)
【例1】如图,M是正方体 如图, 是正方体 是正方体ABCD-A1B1C1D1 如图 的中点. 棱BB1的中点 (1)指出由 1,C1,M三点所确定的平面 指出由A 指出由 三点所确定的平面 与正方体表面的交线; 与正方体表面的交线; (2)试作出平面 1C1M与 平面 试作出平面A 试作出平面 与 平面ABCD的交 的交 线.
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点共线问题
如图所示,O1是正方
体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中 心,M是对角线A1C和截面B1D1A的交点. 求证:O1、M、A三点共线.
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【证明】 ∵A1C1∩B1D1=O1. 证明】 又B1D1平面B1D1A,A1C1平面AA1C1C, ∴O1∈平面B1D1A,O1∈平面AA1C1C. ∵A1C∩平面B1D1A=M,A1C平面AA1C1C, ∴M∈平面B1D1A,M∈平面AA1C1C. 又A∈平面B1D1A,A∈平面AA1C1C. ∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上, 由公理3可知O1、M、A三点共线. 证明共线问题:①可由两点连一条直线,再验证其他各点均在 这条直线上;②可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相 交两平面的唯一交线,其关键是通过绘出图形,作出两个适当的平 面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点.
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线共点问题
如图所示,已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、 AD的中点,F、G分别是边BC、CD上的点,且 求证:三条直线EF、GH、AC交于一点.
空间图形的基本关系与公理(二)
证明三线交于一点的常见方法:一是证其中两线的交点在第三 条直线上,二是证直线a与b的交点和b与c的交点重合.
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练习:已知ΔABC在平面α外,AB、AC、BC的 练习:已知ΔABC在平面α AB、AC、BC的 ΔABC在平面 延长线分别与平面α并于点P 三点, 延长线分别与平面α并于点P、Q、R三点A , 求证:P、Q、R三点共线. 求证: 三点共线.∵ 证明: AB ∩ α = P,B C Q R
∴ P ∈ AB,P ∈ 平面α ,
α
p
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证: Q ,R也在平面ABC与平面α 的交线上.∴ P,Q,R三点共线.要证明空间诸点共线, 要证明空间诸点共线,通常证明这些点同时落在两个相 交平面内,则落在它们的交线上. 交平面内,则落在它们的交线上.
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练习 课本P24练习1、2、3、4 课本P26习题A组1;B组1 作业 课本P26习题A组2;B组2
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