空间图形的基本关系与公理(二)

空间图形的基本关系与公理(二)

西安市阎良区西飞第一中学李晋制作

空间图形的基本关系与公理(二)

公理1:如果一条直线上的两点 两点在一个平面内， 公理 两点 那么这条直线上所有的点 所有的点都在这个平 所有的点 面内.图形语言： 图形语言：A ∈α 符号语言： 符号语言：B ∈ α 直线 AB α

公理1可以帮助我们解决哪些几何问题？ 公理 可以帮助我们解决哪些几何问题？ 可以帮助我们解决哪些几何问题⑴判定直线或点是否在平面内； ⑵检验平面.

空间图形的基本关系与公理(二)

公理2 公理2 经过不在同一条直线上的 三点， 三点，有且只有一个平面过不共线的三点A,B,C的 过不共线的三点A,B,C的 A,B,C 平面通常记作〝平面ABC 平面通常记作〝平面ABC 〞

A, B, C不共线 A, B, C确定一平面

空间图形的基本关系与公理(二)

讨

论：

你是怎么样来理解公理2 你是怎么样来理解公理2中的 有且只有一个” “有且只有一个” 这句话的 ？ 有且只有一个” 含义： 答：“有且只有一个”的 含义： 是存在性和唯一性。 是存在性和唯一性。 注意： 注意： 条件中提到三点不共线的含义。

空间图形的基本关系与公理(二)

推论1: 推论 ：经过一条直线和这条直线外的一点 有 且只有一个平面. 且只有一个平面图形语言：

符号语言： l 有且只有一个平面α , 使A ∈ α , l α A

空间图形的基本关系与公理(二)

推论2:经过两条相交直线，有且只有一个 经过两条相交直线， 推论 经过两条相交直线 平面. 平面图形语言：

符号语言：a ∩ b = P 有且只有一个平面α , 使a α , b α

空间图形的基本关系与公理(二)

推论3:经过两条平行的直线有且只有一个 经过两条平行的直线有且只有一个 推论 平面. 平面图形语言：

符号语言： // b 有且只有一个平面α , 使a α , b α a

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公理3: 一个公共点，那么它 公理 ：如果两个平面有一个 一个 们还有其他公共点，这些公共点的集 合是经过这个公共点的一条直线 一条直线. 一条直线(没有特别说明的“两个平面”以后均指不重合的两个平面.)

图形语言： 图形语言：

P ∈α 符号语言： 符号语言： α ∩ β = l且P ∈ l P∈β

公理3可以帮助我们解决哪些几何问题？ 公理 可以帮助我们解决哪些几何问题？ 可以帮助我们解决哪些几何问题⑴判断两个平面是否相交； ⑵判定点是否在直线上. 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条 公共直线叫做这两个平面的交线.

空间图形的基本关系与公理(二)

【例1】如图，M是正方体 如图， 是正方体 是正方体ABCD-A1B1C1D1 如图 的中点. 棱BB1的中点 (1)指出由 1,C1,M三点所确定的平面 指出由A 指出由 三点所确定的平面 与正方体表面的交线； 与正方体表面的交线； (2)试作出平面 1C1M与 平面 试作出平面A 试作出平面 与 平面ABCD的交 的交 线.

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点共线问题

如图所示，O1是正方

体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中 心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点. 求证：O1、M、A三点共线.

空间图形的基本关系与公理(二)

【证明】 ∵A1C1∩B1D1=O1. 证明】 又B1D1平面B1D1A,A1C1平面AA1C1C, ∴O1∈平面B1D1A,O1∈平面AA1C1C. ∵A1C∩平面B1D1A=M,A1C平面AA1C1C, ∴M∈平面B1D1A,M∈平面AA1C1C. 又A∈平面B1D1A,A∈平面AA1C1C. ∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上， 由公理3可知O1、M、A三点共线. 证明共线问题：①可由两点连一条直线，再验证其他各点均在 这条直线上；②可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相 交两平面的唯一交线，其关键是通过绘出图形，作出两个适当的平 面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.

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线共点问题

如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、 AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且 求证：三条直线EF、GH、AC交于一点.

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证明三线交于一点的常见方法：一是证其中两线的交点在第三 条直线上，二是证直线a与b的交点和b与c的交点重合.

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练习：已知ΔABC在平面α外，AB、AC、BC的 练习：已知ΔABC在平面α AB、AC、BC的 ΔABC在平面 延长线分别与平面α并于点P 三点， 延长线分别与平面α并于点P、Q、R三点A , 求证：P、Q、R三点共线. 求证： 三点共线.∵ 证明： AB ∩ α = P,B C Q R

∴ P ∈ AB,P ∈ 平面α ,

α

p

∴点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证： Q ,R也在平面ABC与平面α 的交线上.∴ P,Q,R三点共线.要证明空间诸点共线， 要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相 交平面内，则落在它们的交线上. 交平面内，则落在它们的交线上.

空间图形的基本关系与公理(二)

练习 课本P24练习1、2、3、4 课本P26习题A组1;B组1 作业 课本P26习题A组2;B组2

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