高数同济五版(47)

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为

126 W??ksds?ks?18k(牛?厘米)?

0206 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要

使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?80080?? 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

?

功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??400408001dx?800?ln2(J)?

(??10)?dx?80000??080??80??2 3? (1)证明? 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是 W?mgRh?

R?h其中g是地面上的重力加速度? R是地球的半径?

(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg? 在高于地面630km处进入轨道? 问把这颗卫星从地面送到630的高空处? 克服地球引力要作多少功？已知g?9?8m/s2? 地球半径R?6370km?

证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为m的物体升高的功元素为

dW?kMmdy? 2yR?h所求的功为 W??RkMmdy?k?mMh? y2R(R?h)243173?5.98?10?630?105 (2)W?6.67?10?(kJ)? ?9.75?106370?103(6370?630)?103?11 4? 一物体按规律x?ct3作直线运动? 媒质的阻力与速度的平方成正比? 计算物体由x?0移至x?a时? 克服媒质阻力所作的功? 解 因为x?ct3? 所以

v?x?(t)?3cx22? 阻力

2xf??kv??9kct? 而t?()3? 所以 c224

424xf(x)??9kc()3??9kc3x3? c 功元素dW??f(x)dx? 所求之功为 W??[?f(x)]dx??9kcxdx?9kc00aa23432a30?2727xdx?kc3a3? 743 5? 用铁锤将一铁钉击入木板? 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比? 在击第一次时? 将铁钉击入木板1cm? 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等? 问锤击第二次时? 铁钉又击入多少？

解 设锤击第二次时铁钉又击入hcm? 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比? 即f?kx? 功元素dW?f dx?kxdx? 击第一次作功为 W1?1k?

kxdx??0211?h击第二次作功为 W2??1kxdx?1k(h2?2h)?

2 因为W1?W2? 所以有

1k?1k(h2?2h)?

22解得h?2?1(cm)?

6? 设一锥形贮水池? 深15m? 口径20m? 盛满水? 今以唧筒将水吸尽? 问要作多少功？

解 在水深x处? 水平截面半径为r?10?2x? 功元素为 3

dW?x??r2dx??x(10?2x)2dx?

3???x(10?2x)2dx 031515所求功为 W

???(100x?40x2?4x3)dx 09 ?1875(吨米)?57785.7(kJ)?

7? 有一闸门? 它的形状和尺寸如图? 水面超过门顶2m? 求闸门上所受的水压力? 解 建立x轴? 方向向下? 原点在水面? 水压力元素为

dP?1?x?2dx?2xdx? 闸门上所受的水压力为

P?2?xdx?x22?21(吨)=205? 8(kN)?

255 8? 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体? 尺寸如图所示? 当水箱装满水时? 计算水箱的一个端面所受的压力?

解 建立坐标系如图? 则椭圆的方程为

(x?3)2y24??1?

2312()4 压力元素为

dP?1?x?2y(x)dx?x?8(3)2?(x?3)2dx?

344P??32所求压力为

0x?8(3)2?(x?3)2dx?8?2?3(1?sint)?3cost?3costdx 3443?2444?

?9?2cos2tdx?9?4016?(吨)?17.3(kN)?

(提示? 积分中所作的变换为x?3?3sint)

44 9? 有一等腰梯形闸门? 它的两条底边各长10m和6m? 高为20m? 较长的底边与水面相齐? 计算闸门的一侧所受的水压力?

解 建立坐标系如图? 直线AB的方程为

y?5?1x?

10dP?1?x?2y(x)dx?x?(10?1x)dx?

5P??x?(10?1x)dx?1467(吨)?14388(千牛)?

0520 压力元素为

所求压力为

10? 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片? 铅直地沉没在水中? 顶在上? 底在下且与

水面平行? 而顶离水面3cm? 试求它每面所受的压力? 解 建立坐标系如图? 腰AC的方程为y?2x? 压力元素为 3

dP?(x?3)?2?2x?dx?4x(x?3)dx?

33所求压力为

4413326P??x(x?3)dx?(x?x)0?168(克)?????(牛)?

033326 11? 设有一长度为l、线密度为?的均匀细直棒? 在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M? 试求这细棒对质点M的引力?

解 建立坐标系如图? 在细直棒上取一小段dy? 引力元素为

dF?G?m?dyGm??22dy? 22a?ya?ydF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为

ydFx??adF? dFy?dF?

rrl

lGm?Gm?laFx??(??22)dy??aGm??22122dy??00(a?y)a?yra?yaa2?l2l?

lyGm?1)? Fy???22dy?Gm??22122dy?Gm?(1?20ra?y0(a?y)a?yaa?l2 12? 设有一半径为R、中心角为 ??的圆弧形细棒? 其线密度为常数???? 在圆心处有一

质量为m的质点F? 试求这细棒对质点M的引力? 解 根据对称性? Fy?0?

dFx??G?m??ds?cos? 2R

Gm?(Rd?)Gm??cos??cos?d??

R2RGm?cos?d?

?R2??

Fx??2?

2Gm?22Gm???co?sd??sin? ?0RR22Gm??sin? 方向自M点起指向圆弧中点? R2 引力的大小为

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