第二章 赋范线性空间-黎永锦

第2章 赋范线性空间

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,

从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设

足以解释许多现象.

L.Eurler (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)

E.Schmi在dt1908 年讨论由复数列组成的空间{(zi):

1

2

|z

i 1

i

|2 } 时引入记号

||z||来表示( zizi),||z||后来就称为z的范数.赋范空间的公理出现在F.Riesz在 1918

i 1

年关于C[a,b]上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （1892—1945）、、S.BanachH.Hahn（1879—1934）E.Hylel

（1884—1943）和 N.Wiener

（1894—1964）给出的,其中以S.Banach的工作最具影响.

2.1赋范空间的基本概念

线性空间是Giuseppe在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进Peano的.S.Banach在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为

Banach空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,

第三组给出了空间的完备性.

定义2.1.1 设K是实数域R或复数域C,X是数域K上的线性空间,若|| ||是X到R 的映射,且满足下列条件：

(1) ||x|| 0且||x|| 0 当且仅当x 0; (2) || x|| | |||x||,对任意x X和任意 K ;

(3) ||x y|| ||x|| ||y||,对任意x,y X .

则称|| ||为X上的范数,而||x||称为x的范数,这时称(X,|| ||)为赋范线性空间.

明显地,若(X,|| ||)为赋范线性空间,则对任意x,y X,定义d(x,y) ||x y||时,(X,d)为度量空间,但对一般的度量空间(X,d),当X为线性空间时,若定义

||x|| d(x,0),则||x||不一定就是X上的范数.

例2.1.1 设s数列全体,则明显地,s为线性空间,对任意的x,y s, 定义

d(x,y)

i 1

|xi yi|

i!(1 |xi yi|)

则

d(x,0)

i!(1 |x|)

i 1

i

|xi|

但

d( x,0)

i 1

| ||xi|

| |d(x,0)

i!(1 | ||xi|)

取x0 (1,0, ,0), 0

1,则 2

d( 0x0,0)

而

11 12

1 3

111

| 0|d(x0,0)

224

因此

d( 0x0,0) | 0|d(x0,0)

所以,d(x0,0)不是s上的范数.

问题2.1.1 对于线性空间X上的度量d, 它满足什么条件时,||x|| d(x,0)才能成为范数？

定理2.1.2 设X是线性空间,d是X上的度量,在X上规定||x|| d(x,0),则X成为赋范线性空间的条件是：

(1) d(x,y) d(x y,0),对任意x,y X ；

(2) d( x,0) | |d(x,0),对任意x X和任意 K.

下面举出赋范线性空间的一些例子.

例2.1.3 对于l1 {(xi)|xi K,是赋范线性空间.

例2.1.4 对于1 p ,lp {(xi)|xi K,

|x

i 1

i

| },||x|| |xi|是l1的范数, 即(l1,|| ||)

i 1

|x

i 1p

i

|p }在范数

||x|| ( |xi|)

i 1

1p

下是赋范线性空间.

例2.1.5 l {(xi)|xi K,sup|xi| }在范数||x|| sup|xi|下是赋范线性空间. 例2.1.6 c0 {(xi)|xi K,limxi 0}在范数||x|| sup|xi|下是赋范线性空间.

i

},在范数||x|| sup|x(t)|下是赋范例2.1.7 C[a,b] {x(t)|x(t)为[a,b]上的连续函数

线性空间.

由于赋范线性空间在度量d(x,y) ||x y||下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.

定义2.1.2 设X是赋范空间{xn} X,x0 X, 若xn依度量d(x,y) ||x y||收敛于x0, 即lim||xn x0|| 0,则称xn依范数|| ||收敛于x0,记为

n

|| ||

xn x0

在赋范线性空间中,仍然用U(x0,r) {x X|||x x0|| r}记以x0为球心,r为半径的开球,用B(x0,r) {x X|||x x0|| r}记以x0为球心,r为半径的闭球. 为了方便,用

SX {x X|||x|| 1}记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用BX {x X|||x|| 1}记

以0为球心,1为半径的闭单位球. 用UX {x X|||x|| 1}记以0为球心,1为半径的开单位球.

例2.1.8 在Euclid空间R中,对于x (x1,x2)可以定义几种不同的范数:

2

||x||1 |x1| |x2|

||x||2 (|x1| |x2|)

||x||3 max{|x1|,|x2|}

22

12

B(x0,1)在不同范数下的形状为： B1 {x|||x||1 1}

B2 {x|||x||2 1}

B3 {x|||x||3 1}

则对x0 (0,0),r 1, 闭球

思考题2.1.1 设(X,|| ||)是赋范线性空间,问开球U(x0,r)的闭包是否一定是闭

B(x0,r)?

思考题2.1.2 设(X,|| ||)是线性空间,问闭球B(x0,r)内部是否一定是开球U(x0,r)?

在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.

定理2.1.8 若(X,|| ||)是赋范空间xn x0,yn y0,则xn yn x0 y0. 证明 由||(xn yn) (x0 y0)|| ||xn x0|| ||yn y0||可知定理成立. 定理 2.1.9 若(X,|| ||)是赋范空间,xn x0,则||xn|| ||x0||. 证明 由||xn|| ||xn x0|| ||x0||和||x0|| ||xn x0|| ||xn||,可知

|||xn|| ||x0||| ||xn x0||,因此||xn|| ||x0||.

定义2.1.3 设(X,|| ||)是赋范线性空间,若{xn} X,||xm xn|| 0(m,n )时, 必有x X,使||xn x|| 0, 则称(X,|| ||)为完备的赋范线性空间.

根据M.Frechet[Espacesabstraits,Gauthier Villars,Paris,1928]的建议,完备的赋范线性空间称为Banach空间.

不难证明,R,co,lp(1 p ),l 都是Banach空间.

在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.

定义2.1.4 设(X,|| ||)是赋范线性空间,若序列{Sn} {x1 x2 xn}收敛于某个x X时,则称级数

n

x

n 1

n

收敛,记为x

x

n 1

n

.

定义2.1.5 设(X,|| ||)是赋范线性空间,若数列{||x1|| ||x2|| ||xn||}收敛时, 则称级数

x

n 1

n

绝对收敛.

在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.

定理2.1.10 设(X,|| ||)是赋范线性空间,则(X,|| ||)是Banach空间的充要条件为X的每一绝对收敛级数都收敛.

证明 设(X,|| ||)是Banach空间,且

x

n 1

n

绝对收敛,则由

||x

n 1

n

|| 可知,

对于Sn x1 x2 xn,有

||Sn p Sn|| ||xn 1 xn p|| ||xn 1|| ||xn p|| 0(n ),

因此Sn是X的Cauchy列,由(X,|| ||)的完备性可知,存在x X使limSn x,即

n

x

n 1

n

x

反之,设X的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于X的Cauchy列xn,对 k

1,有 2k

n1 n2 nk nk 1 , 使得

||xnk 1 xnk||

12k

(k 1,2, )

因而

||x

n 1

nk 1

xnk|| .

由假设可知

(x

n 1

nk 1

xnk) 收敛于某个x X,即{xnk}收敛x,所以xn必收敛于

x,从而(X,|| ||)完备.

事实上,在实数空间R中,正是由于R的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.

定义2.1.6 设(X,|| ||)是赋范线性空间,若M X是X的线性子空间,则称(M,|| ||)为(X,|| ||)的子空间,若M还是(X,|| ||)的闭集, 则称(M,|| ||)为(X,|| ||)的闭子空间.

明显地,若(X,|| ||)是Banach空间,M为(X,|| ||)的闭子空间,则(M,|| ||)是

Banach空间,反之亦然.

定理2.1.11 设(X,|| ||)是Banach空间,M为(X,|| ||)的子空间,则(M,|| ||)是

Banach空间当且仅当M是X的闭集.

证明 设(X,|| ||)是Banach空间,当xn M,且xn x时,则{xn}为M的Cauchy列,因而{xn}收敛于 M上的一点,故x M,即M M,所以M是闭集.

反之,设{xn} M为Cauchy列,则{xn}为 (X,|| ||)的Cauchy列,由于(X,|| ||)是

Banach空间,因此{xn}是收敛列, 即存在x X使xn x,又由于M是(X,|| ||)的闭子

空间,因此x M,即xn在M中收敛于x,所以(M,|| ||)是Banach空间.

定义2.1.7 设X是线性空间,p为X上的一个实值函数,且满足： （1） p(0) 0；

（2） p(x y) p(x) p(y),对任意x,y X； （3） p( x) | |p(x),对任意x X,任意 K.

则称p为X上的半范数.

明显地,X上的范数一定是半范数,但对X上的半范数p,由于p(x) 0时不一定有x 0,因此半范数不一定是范数.

例2.1.9 在l 中,定义p1(x) |x1|,易证p1(x)是l 中的半范数,但对于

x (0,x2, ,xn, ),都有p1(x) 0,因此p不是l 的范数.

有什么办法能使(X,p)中的问题转化为赋范空间中来解决呢？

定义2.1.8 设X是线性空间,M是X的线性子空间,若x1 x2 M,则称x1与x2关于

M等价,记为x1~x2(M)

易知,等价具有下面的三个性质

（1） x~x（反射性）；

（2） x~y推出 y~x（对称性）； （3） x~y, y~z 推出x~z（传递性）.

明显地,若M是线性空间X的线性子空间,记x {y|y~x(M),y M}, 则x的全体在加法x y x y和数乘 x x下是线性空间,称为X对模M的商空间,记为X/M.

在商空间X/M中,对0 X,0 M, 即0是X/M的零元,而对X/M的每一元素

~

~

~

~~~

~~

x,x都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.

例2.1.10 对于l {(xi)|sup|xi| },取M {(xi)|x1 0,sup|xi| }, 则M为l 的子空间,对x,y l /M,当x y时有x y M,即x1 y1 0, 这时l /M~R

当(X,|| ||)为赋范线性空间,M为X的闭线性子空间时,在X/M商空间中还可以定义范数,使X/M成为赋范线性空间.

定理2.1.14 设(X,|| ||)是赋范线性空间,M为X的闭线性子空间,在X/M上定义范数||x|| inf{||y|||y x},则(X/M,|| ||)是赋范线性空间.

利用上面的技巧,不难证明,当p(x)为X上的一个半范数时,取

~

~

~

~

~~

M {x|p(x) 0},||x|| inf{||y|||y x},

则(X/M,|| ||)是一个赋范线性空间,且对任意x X有, ||x|| p(x).

当X是空备赋范线性空间,M为X的闭子空间的,X/M还具有完备性.

定理2.1.15 设X是Banach空间,M为X的闭子空间,则X/M是Banach空间.

2.2 范数的等价性与有限维赋范空间

在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是X上的序列依范数收敛的不同引起的.

~

~~

定义2.2.1 设X是线性空间,|| ||1和||| ||2是X上的两个不同范数,若对X中的序列

{xn},当||xn x0||1 0时,必有||xn x0||2 0,则称范数|| ||1比范数|| ||2强,亦称|| ||2

比|| ||1弱.

若对X中的序列{xn},||xn x0||1 0当且仅当||xn x0||2 0则称范数|| ||1与

|| ||2等价.

定理2.2.1 设|| ||1和|| ||2是线性空间X上的两个不同范数,则范数|| ||1比|| ||2强当且仅当存在常数C 0,使得对任意x X都有||x||2 C||x||1.

证明 若存在C 0,使||x||2 C||x||1,则明显地||xn x||1 0时,有

||xn x||2 C||xn x||1 0,因而|| ||1比|| ||2强.

反过来,若范数|| ||1比|| ||2强,则必有C 0,使||x||2 C||x||1. 若不然,则对任意自然数n,存在xn X,使||xn||2 n||xn||1. 令yn

xn

,则

||xn||2

||yn||1

||xn||11

||xn||2n

||xn||2

1矛盾,所以必存在

||xn||2

故||yn 0||1 0,因而||yn 0||2 0,但这与||yn 0||2

C 0,使||x||2 C||x||1,对任意x X成立.

推论2.2.2 设|| ||1与|| ||2是线性空间X上的两个不同范数,则范数|| ||1与|| ||2等价当且仅当存在常数C1 0,C2 0,使得对任意x X,有

C1||x||1 ||x||2 C2||x||1

推论2.2.3 设|| ||1与|| ||2是线性空间X上的两个等价范数,则(X,|| ||1)是Banach空间当且仅当(X,|| ||2)是Banach空间.

思考题2.2.1 若|| ||1与|| ||2是线性空间X上的两个不同范数,且(X,|| ||1)和

(X,|| ||2)都是Banach空间,是否就一定有|| ||1与|| ||2等价呢？

定义2.2.2 设X是n维线性空间,|| ||是X上的范数,则称

(X,|| ||)为n维赋范线性空间.

有限维赋范线性空间是Minkowski在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为Minkowski空间.

若(X,|| ||)为n维线性空间,e1,e2, ,en为X的一组

线性无关组,则称e1,e2, ,en为(X,|| ||) 的Hamel基,此时对任意x X,x都可以唯一地表示成x

e

iin 1

n

定理2.2.4 设(X,|| ||)是n维线性空间e1,e2, ,en是X的Hamel基,则存在常数C1及C2 0使得

C1( | i|) ||x|| C2( | i|)

2

2

i 1

i 1

n

1

2

n

12

对任意x

e都成立.

iin 1

n

n

证明 对于任意 ( i) K,定义函数

f( ) ||

n

n

e||

iin 1

n

则对任意 ( i) K, ( i) K,有

|f( ) f( )| |||

||

e|| || e|||

ii

ii

n 1n

i 1

nn

e e||

ii

ii

i 1

i 1

n

i

n

|

i 1ni 1

i|||ei|| i

1n22|)(122|)

(

|

ni 1

i

||e

i 1

i

122||)

M(

n

12

|

i

i

这里M (

||e

n 1

i

||),因此f是Kn到R的连续函数.

n

12

2

n

由于K的单位球面S {( i) K|(

n

|

i 1

i

|2) 1}是紧集,因此f在S上达到上

下确界,即存在 0 ( i), 0 ( i) S,使得

(0)(0)

f( 0) inf{f( )| S} C1 f( 0) sup{f( )| S} C2

因此对任 ( i) K,有

n

|| ||Kn

故

(

|

i 1

n

i

122|)

S

C1 f(

即

) C2

|| ||K

n

C1( | i|) || 1e1 nen|| C2( | i|)

2

2

i 1

i 1

n

12

n

12

下面证明C1 0,容易知道C2 0的证法是类似的.

假设C1 0,则有f( 0) ||

n 1

n

(0)i

ei|| 0,故

n 1

n

(0)i

ei 0

由{ei}是X的Hamel基可知, i

(0)

0,从而 0 0,但这与 0 S矛盾.

定理 2.2.5 设X是有限维线性空间,|| ||1与|| ||2是X上的两个范数,则存在常数

C1 0, C2 0使得

C1||x||1 ||x||2 C2||x||1

定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是Banach空间.

证明 若{xm}为n维赋范线性空间(X,|| ||)的Cauchy列,则对于X的Hamel基

e1,e2, ,en有xm i

i 1

n

(m)

ei,由

n

12

n

12

C1( | i|) ||x|| C2( | i|)

2

2

i 1

i 1

可知{ i

(m)

}亦为Cauchy列,故存在 i R,使得 i

(m)

i,因而有 ( i),使得

( | i

i 1

n

(m)

i|) 0

2

12

令x

i 1

n

i

ei,则||xm x|| 0,因此{xm}是收敛序列,所以X是完备的.

在R中,M是列紧的当且仅当M是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间(X,|| ||) 中紧集与有界闭集的关系.

定理2.2.7 设(X,|| ||)是有限维的赋范线性空间,则M X是紧的当且仅当M是有界闭集.

证明 设e1,e2, ,en为(X,|| ||)的Hamel基,则对任意x X,有x 定义K到X的算子T:

n

n

i 1

n

i

ei

T( ) iei

i 1

n

则存在C1 0,C2 0,使得

C1( | i|) ||T( i)|| C2( | i|)

2

2

i 1

i 1

n

12

n

12

从而T是Kn到X的连续算子,且是一一对应的. 由C1(

|

i 1

n

i

|) ||T( )||可知T 1是X到Kn的连续算子, 因此T是Kn到X的

1

2

12

拓扑同构.所以M的紧集当且仅当 T是有界闭集.

(M)为Kn的紧集,从而M是X的紧集当且仅当M

问题2.2.1 若赋范线性空间(X,|| ||)的每个有界闭集都是紧集,则X是否一定为有限维的赋范线性空间？

为了回答上面的问题,先来讨论Riesz引理,这是F.Riesz在1918年得到的一个很漂亮的结果.

引理2.2.8 （Riesz引理）设M是赋范线性空间(X,|| ||)的闭真子空间,则对任意

0 1,

存在x X,x 1,使得

x x

对任意x M成立.

证明 由于M是X的闭真子空间,因此X\M ,故存在y0 X\M,令

d d(y0,M) inf{||y0 x|||x M},

则d 0.

对任意0 1,由d的定义可知,存在x0 M,使得

d ||y0 x0||

令x

d

y0 x0

,则||x || 1,且对任意x M,有

||y0 x0||

||x x || ||x

y0 x01

|| ||y0 (x0 ||y0 x0||x)||

||y0 x0||||y0 x0||

由x0 M,x M和M是线性子空间,可知

x0 ||y0 x0||x M

因此

||y0 (x0 ||y0 x0||x)|| d

故

||x x ||

dd

||y0 x0||d

由Riesz引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.

定理2.2.9 赋范线性空间(X,|| ||)是有限维的当且仅当X的闭单位球

BX {x|||x|| 1}是紧的.

证明 明显地,只须证明BX是紧的时候,X一定是有限维的.

反证法,假设BX是紧的,但X不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的x1 X,

||x1|| 1,令M1 span{x1} { x1| K},则M1是一维闭真子空间,取

可知,存在x2 X,||x2|| 1且||x2 x||

1

,由Riesz引理2

11对任意x M1成立,从而||x2 x1|| . 22

同样地,令M2 span{x1,x2},则M2是二维闭真空子空间,因而存在x3 X,||x3|| 1,使||x3 x||

111

对任意x M2成立,从而||x3 x1|| 且||x3 x2|| . 222

利用归纳法,可得一个序列{xn} BX,对任意m n,有

||xm xn||

1

2

因而{xn}不存在任何收敛子序列,但这与BX是紧集矛盾,由反证法原理可知X是有限维赋范线性空间.

推论2.2.10 赋范线性空间X是有限维当且仅当X的每个有界闭集是紧的.

对于无穷维赋范线性空间X的紧集的刻画,就比较困难.在C[0,1]中,容易看出

A {f(x)||f(x)| 1} C[0,1]是C[0,1]的有界闭集,但不是紧集.为了讨论C[0,1]子集的紧性,

需要等度连续的概念,它是由Ascoli和Arzelà同时引入的.

定义2.2.3 设A C[0,1],若对任意的 0,都存在 0,使得对任意的f A,任意的

x,y [0,1],|x y| 时,一定有|f(x) f(y)| ,则称A是等度连续的.

Ascoli给出了A C[0,1]是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了A C[0,1]是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.

定理2.2.11 (Arzelà-Ascoli 定理) 设A C[0,1],则是紧的当且仅当A是有界闭集, 且A是等度连续的.

2.3 Schauder基与可分性

一个Banach空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, Schauder基是J.Schauder[ZurTheoriestetigerinFun

ktionalraumen,MathematischeZeitschrift,26(1927)pp.47 65.]引入的.

定义2.3.1 Banach空间(X,|| ||)中的序列{xn}称为X的Schauder基,若存在对于任意x X,都存在唯一数列{an} K,使得

x

n 1

nxn

容易看到,有限维赋范线性空间一定具有Schauder基.

例2.3.1 在l1中令en (0, ,0,1,0, ),则{en}为l1的Schauder基,明显地,在

c0,c,lp(1 0 )中,{en}都是Schauder基.

J.Schaud在e1928年还在C[0,1]中构造一组基,因而C[0,1]也具有Schauder基. 具有Schauder基的Banach空间具有许多较好的性质,它与Banach空间的可分性有着密切联系.

定义2.3.2 (X,|| ||)是赋范线性空间,若存在可数集M X,使得M X,即可数集在

X中稠密,则称X是可分的.

若(X,|| ||)可分,则存在可数集{xn} X,使得对任意x X及任意 0,都有某个

xn {xn},满足||xn x|| .

例2.3.2 由于有理数集Q是可数集,且Q R,因此R是可分的.类似地,Rn也是可分的赋范空间.

例2.3.3 对于1 p ,lp都是可分的,因为取M {(xi)|存在N,使得i N时，

xi 0,并且i N时,xi都是有理数},则M是可数集,并且M lp.实际上,对任意

x lp,由( |xi|) 可知,对任意 0,存在N,使得

p

i 1

1

p

i N 1

|x|

i

p

p

2

, 取有理数

q1,q2, qN,使 |qi xi|

p

i 1

N

p

2

,则x (q1,q2, qN,0 0) M,且

1p

x x ( |qi xi|p

i 1

N

i N 1

|x

i

|p) ,因此M lp,所以lp是可分的.

例2.3.4 由Weierstrass逼近定理可知对任意x C[a,b],必有多项式pn x 0,取

M为[a,b]上有理系数的多项式全体,则M是可数集,且M C[a,b],因而C[a,b]是可分

的赋范线性空间.

定理2.3.5 若(X,|| ||)赋范空间有Schauder基,则X一定可分的. 证明 为了简明些,这里只证明(X,|| ||)为实的情形.

设{ei}为X的Schauder基,则任意x X有x

n

ae

i 1

ii

,这里ai R.

令M {

qe

i 1

ii

|n N,qi Q},则M是可数集,且对任意x X及任意 0,存在

x M,

使得x x ,因此M X,所以M为可分的赋范空间.

对于复赋范空间(X,|| ||),可令M {

(q ip)e|n N,q,p

i

i

i

i

i 1

n

i

Q},证明是类似的.

问题2.3.1 是否每个赋范空间都具有Schauder基？ 例2.3.6 赋范空间l 没有Schauder基.

由于l 不可分,因而一定没有Schaud基e.事实上,假设l 可分,则存在

xm (xi

令

(m)

) l ,使得X {xm}.

(i)(i)

xi 1,当 |xi| 1 时； (i)

0，当 |x| 1 时.i

xi

则sup|xi

(0)

(0)

| 1 1 2,即x0 (xi

(0)

) l ,并且

(m)(0)

||xm x0|| sup|xi(m) xi(0)| |xm xm| 1

1 i

所以{xm}不存在任何收敛子列收敛于x0,故x0 {xm},从而X {xm},但这与假设

l {xm}矛盾,因此l 不可分.

另外,还再进一考虑下面的问题：

问题2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有Schauder基？

上面问题自从S. Banach在1932年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分Banach空间,如c0,l1等都具有Schauder基，因此大家都以为问题的答案是肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的.P.Enflo在1972年举出了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有Schaude基r[A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.]

2.4 线性连续泛函与Hah 定理nBanach

S.Banach1929年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线

性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共轭空间是完

备的赋范线性空间. S.Banach还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是和H.Hahn各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即S.Banach

Hahn Banach定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.

泛函这名称属于Hadamard,他是由于变分问题上的原因研究泛函.

定义2.4.1 设(X,|| ||)是赋范线性空间,f为X到K的映射,且对于任意x,y X及

, K,有

f( x y) f(x) f(y)

则称f为X的线性泛函.

例2.4.1 在l 上,若定义f(x) x1,则f为l 上的线性泛函.

由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.

定理2.4.2 设f是赋范线性空间(X,|| ||)上的线性泛函,且f在某一点x0 X上连续,则f在X上每一点都连续.

证明 对于任意x X,若xn x,则

xn x x0 x0

由f在x0点的连续性,因此

f(xn x x0) f(x0)

所以f(xn) f(x),即f在x点连续.

这个定理说明,要验证泛函f的连续性,只须验证f在X上某一点（例如零点）的连续性就行了.

问题2.4.1 是否存在一个赋范线性空间X,X上任意线性泛函都连续？

例2.4.3 Rn上任意线性泛函都是连续的.

事实上令ei (0, 0,1,0, 0),则任意x R,有x

n

xe,设

iii 1

n

xm R,xm 0,则xm xi

n

n

(m)

ei,且xi

n

(m)

0对任意i都成立.

i 1

因此f(xm) f(

xiei) xi

(m)

i 1

i 1

n

(m)

f(ei) 0 f(0),所以f在0点连续,从而f在

Rn上任意点都连续.

定义2.4.2 若X上的线性泛函把X的任意有界集都映为K的有界集,则称f为有界线性泛函,否则f为无界线性泛函.

定理2.4.4 设f为赋范线性空间(X,|| ||)上的线性泛函,则f是有界的当且仅当存在

M 0,使|f(x)| M||x||.

证明 若存在M 0,使得对任意x X,|f(x)| M||x||,则对于X中的任意有界集

F,有r 0,使得对任意x F,有||x|| r,因此,|f(x)| M||x|| Mr对所有x F成立,

所以f(F)为K的有界集,即f为有界线性泛函.

反之,若f为有界线性泛函,则f把X的单位球面S(X) {x|||x|| 1}映为K的有界集,因此存在M 0,使得对一切||x|| 1,有

|f(x)| M

故对任意x X,有

|f(

所以

x

)| M ||x||

|f(x)| M||x||

例2.4.5 对c {(xi)|(xi)为收敛序列},范数||x|| sup|xi|,若定义f为f(x) limxi,

i

则f为c上的线性泛函,由于||x|| sup|xi|,因此

|f(x)| |limxi| ||x||

i

所以f为c上的有界线性泛函.

对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的,S.Banach在1929年证明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.

定理2.4.6 设X是赋范线性空间,则X上的线性泛函是连续的当且仅当f是有界的. 证明 若f是有界的,则由上面定理可知存在M 0,使得|f(x)| M||x||,因此当

xn x时,有f(xn) f(x),即f为连续的.

反之,假设f为连续线性泛函,但f是无界的,则对任意自然数n,存在xn X,使得

|f(xn)| n||xn||

令yn

1xn

,y0 0,则||yn y0|| 0,由f的连续性可知f(yn) f(y0),但n||xn||nf(xn)

1,f(y0) 0,从而 |f(yn) f(y0)| 1,但这与f(yn) f(y0)矛盾.

n||xn||

f(yn)

所以f为连续线性泛函时,f一定是有界的.

线性泛函的连续性还可以利用f的零空间是闭集来刻画.

定理2.4.7 设X是赋范线性空间,则X上的线性泛函是连续的当且仅当

N(f) {x|f(x) 0}为X的闭线性子空间.

证明 明显地N(f)为线性子空间,因此只须证N(f)是闭的.

若f是连续线性泛函,则当xn N(f),xn x时,必有f(xn) f(x),因而

f(x) 0,即x N(f),所以N(f)是闭子空间.

反之,若N(f)是闭的,但f不是有界的,则对于任意正整数n,有xn X,使

|f(xn)| n||xn||

令yn 取zn 由于

xn

,则||yn|| 1,且|f(yn)| n. ||xn||

yny1y

,z0 1, f(yn)f(y1)f(y1)

||zn z0|| ||

yn||yn||1

|| 0 f(yn)|f(yn)|n

因而zn z0,且f(zn) f(

yny

1) 0,即zn N(f),从而由N(f)是闭集可f(yn)f(y1)

知z0 N(f),但这与f(z0) 1矛盾,因此当N(f)是闭子空间时,f一定是连续的. 从上面的讨论容易看出,X上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数.

定义2.4.3 设f为X上的线性连续泛函,则称

||f|| sup

x 0

|f(x)|

||x||

为f的范数.

明显地,若记X上的全体线性连续泛函为X,则在范数||f||下是一赋范空间,称之为

X的共轭空间.

虽然H.Hahn在1927年就引起了共轭空间的概念,但S.Banach在1929年的工作更为完全些.

容易看出,对于任意f X,还有||f|| sup|f(x)| sup|f(x)|.

||x|| 1

||x|| 1

但对于具体的赋范空间X,要求出X上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.

例2.4.8 设f为l1的连续线性泛函,若取{ei}为l1上的Schauder基,则对任意x (xi),有x

xe, 故f(x) x

iii 1

i 1

i

f(ei),因而

|f(x)| |

xf(e)| |x||f(e)| sup|f(e)|( |x|)

i

i

i

i

i

i

i 1

i 1

i 1

从而||f|| sup|f(ei)|. 取ei (0, 0,1,0, 0) l1, 则||ei|| 1, 且

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