罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用

第3章中值定理与导数的应用

内容概要

课后习题全解

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=； （2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/

=ξf ，得到的根ξ便为所求。 解：（1）∵32)(2

--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ， ∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=

即为所求。 （2）∵

x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令

()0

f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数

25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。 知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10

f f f ξ-'=

-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。 解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在

区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，

∴要使(1)(0)()010

f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ±=，

∴5(01)12,ξ?=∈，使(1)(0)()10

f f f ξ-'=-，验证完毕。 ★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

解：要使

(2)(1)()21f f f ξ-'=-，只要3415ξξ=?=从而(12)ξ,=即为满足定理的ξ。 ★★4.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。

证明：不妨设所讨论的区间为][a,b ，则函数r qx px y ++=2在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导，从而有()()()f b f a f ξb a

-'=-，即a b r qa pa r qb pb q ξ-++-++=+)()(222， 解得2

a b ξ+=，结论成立。 ★5.函数3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

知识点：柯西中值定理。

思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程()()()()()()

f ξf b f a

g ξg b g a '-='-，得到的根ξ便为所求。 解：∵3)(x x f =及2

g()1x x =+在]21[,上连续，在)21(,内可导，且在)21(,内的每一点处有()20g x x '=≠，所以满足柯西中值定理的条件。要使

()(2)(1)()(2)(1)f ξf f g ξg g '-='-，只要37232=ξξ，解得)21(9

14,ξ∈=， ξ即为满足定理的数值。 ★★★6.设

)(x f 在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(=f 。求证： 存在)10(,ξ∈，使()()f ξf ξξ

'=-。 知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：从ξξf ξf )

()(/-=结论出发，变形为0)()(/=+ξf ξξf ，构造辅助函数使其导函数为

)()(/x f x x f +， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。

证明：构造辅助函数)()(x xf x F =，()()()F x f x xf x ''=+

根据题意)()(x xf x F =在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(1)1(=?=f F ， 0)0(0)0(=?=f F ，从而由罗尔中值定理得：存在)10(,ξ∈，使

()()()0F ξf ξξf ξ''=+=，即()

()f ξf ξξ'=-。

注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使()

()f x f x x '=-，只要

()1

[()]

[l n ()][l n ][l n ()]00[()]0()()f x x

f x f x x x f x x f x f x x x f x ''''''=-?=-?=?=?

= ∴只要设辅助函数)()(x xf x F =

★★7.若函数)(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，且)()()(321x f x f x f == )(321b x x x a <<<<，证明：在)(31,x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=。 知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：连续两次使用罗尔中值定理。

证明：∵ )(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，∴)(x f 在][21,x x 、][32,x x 内连续， 在)(21,x x 、)(32,x x 内可导，又)()()(321x f x f x f ==，

∴由罗尔定理，至少有一点)(211,x x ξ∈、)(322,x x ξ∈，

使得1()0f ξ'=、2()0f ξ'=；又()f x '在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导， 从而由罗尔中值定理，至少有一点?∈)(21,ξξξ)(31,x x ，使得()0f ξ''=。 ★★8.若4次方程0432

2314

0=++++a x a x a x a x a 有4个不同的实根，证明：

023432213

0=+++a x a x a x a

的所有根皆为实根。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。

证明：令432

23140)(a x a x a x a x a x f ++++=

则由题意，)(x f 有4个不同的实数零点，分别设为4321,x ,x ,x x ，

∵

)(x f 在][21,x x 、][32,x x 、][43,x x 上连续，在)(21,x x 、)(32,x x 、)(43,x x 上可导， 又0)()()()(4321====x f x f x f x f ，

∴由罗尔中值定理，至少有一点)(211

,x x ξ∈、)(322,x x ξ∈、)(433,x x ξ∈ 使得123()()()0f ξf ξf ξ'''===，即方程023*******=+++a x a x a x a 至少有3个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。

★★★9.证明：方程015=-+x x 只有一个正根。

知识点：零点定理和罗尔定理的应用。

思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。

解：令1)(5

-+=x x x f ，∵)(x f 在]10[,上连续，且01)1(>=f ，01)0(<-=f ， ∴由零点定理，至少有一点)10(,ξ∈，使得

01)(5=-+=ξξξf ； 假设015=-+x x

有两个正根，分别设为1ξ、2ξ（21ξξ<）， 则)(x f 在在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，且0)()(21==ξf ξf ，

从而由罗尔定理，至少有一点)(21,ξξξ

∈，使得4()510f ξξ'=+=，这不可能。 ∴方程015=-+x x 只有一个正根。

★★10.不用求出函数

)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间。

知识点：罗尔中值定理的应用。

思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。

解： ∵)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 在]21[,、]32[,、]43[,上连续，

在)21(,、)32(,、)43(,内可导，且

0)4()3()2()1(====f f f f ， ∴由罗尔中值定理，至少有一点)21(1

,ξ∈、)32(2,ξ∈、)43(3,ξ∈， 使得123()()()0f ξf ξf ξ'''===，即方程()0f x '=至少有三个实根，

又方程()0f x '=为三次方程，至多有三个实根，

∴()0f x '=有3个实根，分别为)21(1,ξ∈、)32(2,ξ∈、)43(3,ξ∈。

★★★11.证明下列不等式：

（1） b a b a -≤-arctan arctan ； （2） 当 1>x 时，ex e x > ；

（3） 设 0>x

，证明x x <+)1(ln ； （4） 当0>x 时，x x +>+11)11(ln 。 知识点：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数()y f x =，通过式子()()()f b f a f ξb a -'=-（或()()()()f b f a f ξb a '-=-）证明的不等式。

证明：（1）令x x f arctan )(=， ∵)(x f 在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导， ∴由拉格朗日中值定理，得21arctan arctan ()()1a b f ξb a b a b a ξ'-=-=-≤-+。

（2）令x e x f =)()1(>x ，∵)(x f 在]1[,x 上连续，在)1(,x 内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得e e

x - )(x e ξ1-=， ∵x ξ<<1，∴e ex x e x e e e ξx -=->-=-)1()1(，从而当 1>x 时，ex e x >。

（3）令)1ln()(x x f +=)0(>x ，∵)(x f 在]0[,x 上连续，在)0(,x 内可导， ∴由拉格朗日中值定理，得1ln(1)ln(1)ln(10)()(0)1x x f ξx x ξ'+

=+-+=-=+， ∵x ξ<<0，∴x x ξ

<+11，即0>x ， x x <+)1ln(。 （4）令x x f ln )(=)0(>x ，∵)(x f 在]1[x x,+上连续，在)1(x x,+内可导， ∴由拉格朗日中值定理，得11ln(1)ln(1)ln ()(10)x x f ξx ξ

'+=+-=-=， ∵x ξx +<<1，∴x ξ+>111，即当0>x 时，x

x +>+11)11ln(。 ★★12.证明等式：)1(12arcsin arctan 22

≥=++x πx x x . 知识点：()0()f x f x C '=?=（C 为常数）。

思路：证明一个函数表达式)(x f 恒等于一个常数，只要证()0f x '=

证明：令)1(12arcsin

arctan 2)(2≥++=x x

x x x f ， 当1=x 时，有π=+1arcsin 1arctan 2；当1>x 时，有

2222222222(1)222122()1(1)1(1)1x x x x f x x x x x x +-?-'==+?++++- =

0)12(1222=+-++x

x ，∴()(1)f x C f π===； ∴)1(12arcsin arctan 22≥=++x πx x x 成立。 ★★★13.证明：若函数)(x f 在)(∞+∞,-内满足关系式()()f x f x '=，且1)0(=f ，则x e x f =)(。 知识点：()0()f x f x C '=?=

思路：因为 ()()1x x f x e e f x -=?≡，所以当设()()x F x e f x -=时，只要证()0F x '=即可

证明：构造辅助函数()()x F x e

f x -=， 则()()()0x x F x e f x e f x --''=-=；

∴()(0)1x F(x)e

f x C F -=≡== ∴x e x f =)(。

★★★14.设函数)(x f 在][a,b 上连续，在)(a,b 内有二阶导数，且有

b c a c ,f b f a f )(0)(0)()(<<>==，

试证在)(a,b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''<。

知识点：拉格朗日中值定理的应用。

思路：关于导函数)()(ξf n 在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。

证明：∵ )(x f 在][a,c 、][c,b 上连续，在)(a,c 、)(c,b 内可导， ∴由拉格朗日中值定理，至少有一点)(1

a,c ξ∈、)(2c,b ξ∈， 使得2()()()0f c f b f ξc b -'=<-，1()()()0f a f c f ξa c -'=>-；

又()f x '在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，从而至少有一点)(21,ξξξ∈， 使得2121

()()()0f ξf ξf ξξξ''-''=<-。 ★★★15.设)(x f 在][a,b 上可微，且()0()0()

()f a ,f b ,f a f b A,+-''>>==试证明)(/x f 在)(a,b 内至少有两个零点。

知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路：要证明在某个区间)(a,b 内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在][a,b 上有三个零点，即可

以利用罗尔中值定理，得出结论。

证明：∵()()()lim 0x a f x f a f a x a

++→-'=>-，由极限的保号性知， )(1a,δ+? （不妨设21b-a δ<），对于)(1a,δx +∈? ，均有0)()(>--a

x a f x f ， 特别地，)(11a,δx +∈? ，使得0)()(11>--a

x a f x f ，∴得A a f x f =>)()(1； 同理，由()0f b ,-'>得)(22b,δx -∈? （22b-a δ<

），使得0)()(22>--b x b f x f ， 从而得

A b f x f =<)()(2； 又∵

)(x f 在][21,x x 上连续，∴由介值定理知，至少有一点)(21,x x ξ∈使得A ξf =)(； ∵)(x f 在][a,ξ、][ξ,b 上连续，在)(a,ξ、)(ξ,b 内可导，且A b f ξf a f ===)()()(，

∴由罗尔中值定理知，至少有一点)(1

a,ξξ∈、)(2ξ,b ξ∈，使得12()()0f ξf ξ''==，结论成立。 ★★★16.设)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>，试证明存在唯一的b c c,a <<，使得

()()()f b f a f c b a

-'=

-。 知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。 思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。

证明：存在性。

∵)(x f 在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点)(a,b c ∈，使得

()()()f b f a f c b a

-'=-。 唯一性的证明如下： 方法一：利用反证法。假设另外存在一点)(a,b d ∈，使得()()()f b f a f d b a -'=

-， 又∵()f x '在][c,d （或][d,c ）上连续，在)(c,d （或)(d,c ）内可导，

∴由罗尔中值定理知，至少存在一点)()(a,b c,d ξ

?∈（或)()(a,b d,c ξ?∈），使得()0f ξ''=，这与)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>矛盾。从而结论成立。

方法二：∵)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>，∴()f x '在][a,b 单调递增， 从而存在存在唯一的)(a,b c ∈，使得

()()()f b f a f c b a -'=-。结论成立。 ★★★17.设函数)(x f y =在0=x 的某个邻域内具有n 阶导数，且

(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'====试用柯西中值定理证明：

)10()()()(<<=θn!θx f x

x f n n 。 知识点：柯西中值定理。

思路：对)(x f 、n

x x g =)(在]0[,x 上连续使用n 次柯西中值定理便可得结论。 证明：∵)(x f 、n

x x g =)(及其各阶导数在]0[,x 上连续，在)0(,x 上可导， 且在)0(,x 每一点处，(1)()!0n g x n x -=≠，又(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'====， ∴连续使用n 次柯西中值定理得，

(1)(1)11111(1)111()(0)()()(0)()()(0)(0)(0)

(0)

n n n n n n n n n f ξf f f ξf f x f x f x x g n n ξg n!ξg ξξ-------'''---====='--- )10()()(<<=θn!

θx f n ，从而结论成立。 习题3-2

★★1.用洛必达法则求下列极限： （1） x e e x x x sin lim 0-→-； （2） x-a a x a x sin sin lim -→； （3）22)2(sin ln lim x π-x πx →； （4）x arc x x cot )11ln(lim ++∞→；

（5）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→； （6）e

e x x x x -+-→ln 1lim 31； （7） x x-x x x sin tan lim 0-→； （8）x x x 2cot lim 0→；

（9） 2120lim x x e x →； （10）)1(lim 1-∞→x

x e x ； （11）)111(lim 0--→x x e x ； （12）)ln 11(lim 1x x-x x -→；（13）x x x a )1(lim +∞→； （14）x x x sin 0lim +→； （15）x x x

tan 0)1(lim +→； （16）x x-x e x x arctan 1)1ln(lim 0--+→； （17）x x x 10)sin 1(lim +→； （18）x x x )1(ln lim 0+→； （19）x x x x 12)1(lim +++∞→； （20）2)1tan (lim n n n

n ++∞→。 知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：00型与∞

∞型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于∞-∞型与∞?0型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于00型、∞1型与0

∞型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。 解： （1） 2cos lim sin lim 00=+=--→-→x

e e x e e x

x x x x x ； （2） a x a x a x a x a x cos 1

cos lim sin sin lim ==--→→； （3）818sin lim )2(4cos lim )2(4sin cos lim )2(sin ln lim 2

2222-=-=-=-=-→→→→x πx x πx x x

x πx πx πx πx πx ； （4）1)1(1lim 11)1(1lim cot )11ln(lim 22

=++=+-+-=++∞→+∞→+∞→x x x x x x x arc x x x x ； （5）17cos 27tan 2tan 2cos 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200=??==+→+→+→x

x x x x

x x x

x x x x x ； （6）e e x x e e x x x

x x x 413lim ln 1lim 2131=+=-+-→→； （7） 2230000tan sec 12tan sec 2lim lim lim lim 2sin 1cos sin cos x x x x x x x x x x x x x x →→→→--====--；

（8）2

1

2sec 21lim 2tan lim

2cot lim

2000

=

==→→→x x x x x x x x ； （9） +∞==-

-==→→→→2

2

2

2

103

1

3021

01

2

lim 2

2lim 1lim lim

x x x x x x x

x e x e x x e e x ； （或解为：2

2

1120

lim lim lim 1

u u u x x x u u e e x

e

u =

→→+∞→+∞===+∞） （10）1lim 1

1lim 1)1(lim

)1(lim 1

2

1

21

1==--=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x

x x x e x

e x x e e x ； （或解为：∵当x →∞时，11

1~

x

e x

-，∴1

1/11/lim (1)lim

lim 11/1/x x

x x x e x

x e x x

→∞→∞→∞--===） （11）(1)~20000111111

lim()lim lim lim 1(1)22

x

x x x e x x

x x x x x e x e x e x e x e x x -→→→→------====--； （12）21

2ln ln 1lim 1ln ln lim

ln )1(1

ln lim )ln 11(

lim 1111

=++=-+

=-+-=--→→→→x x x

x x x x

x x x x x x x x x x x ； （或解为：ln(1)~12100ln 1(1)ln(1)(1)ln(1)lim lim lim (1)ln ln(1)u u u x x u u x x x u u u u u u

x x u u u

+=-→→→-+++-++-==-+ 0ln(1)1

lim

22

u u u →+==）

（13）ln(1)

lim ln(1)lim

lim 11

lim(1)x x x a

a a x x x x

a x

x x

x a e x

e e

e

→∞→∞

→∞++→∞

+

====；

（14）

0000ln 1

tan sin lim sin ln lim

lim

lim

sin 0csc cot csc 0

lim 1x x x x x

x x x x

x x

x x x

x

x x e e

e

e

e +

+++

→→→→+

--→======；

（15）220001

ln sin lim lim lim

tan 0cot csc 000

1lim ()lim lim lim 1x x x x

x

x x

x

x x

x x x x e e e e x +++→→→++

+

+

-

--→→→→=====；

（16）2

202

00)1()1)(1(lim 11111

lim arctan 1)1ln(lim x x e xe x x x e x x x e x x x x x x x -+-+=+-

-+

=---+→→→

200(1)1

lim lim 22

x x x x x xe e xe x x →→-+=-=-=-；

（17）e e

e

x x

x

x x

x)

(x x

x x x ===++→+→→→→sin

1cos lim

sin 1ln lim

1

00

lim lim )

sin 1(lim ；

（18）00

2

0011()ln[ln ]

ln lim lim 1

11lim

lim

ln 1/01lim(ln )1x x x x x x x x

x

x

x

x

x

x e

e

e

e

x

++→→++→→+?------→=====；

（19）

1)1(lim 2

2

2

211lim

111lim

)1ln(lim

12====+++++++

+++∞

→+∞

→+∞

→+∞→x x x x x x x x x

x x x x e

e

e

x x ；

（20）令

2

)1tan ()(x x

x x f =，则22

201ln tan ln 1

lim 01tan lim (tan )lim()t t t t

x

x t t x t t x e x t +

→+=

-→+∞→==

2223

323

00001

sin 2sec tan sec tan sin cos 2lim

lim

lim

lim 2tan 22cos 2t t t t t t t t t t t t

t t t t t

t t t

t e

e

e

e

+

+

+

+

→→→→----====

22

2

2

00(1cos )~1cos221lim

lim

2

663

t t x x t t t

t

e

e

e +

+→→--===

=

∴2

1

31lim (tan )n n n e n

+→+∞= ★★2.验证极限x

x

x x sin lim

+∞→存在，但不能用洛必达法则求出。

知识点：洛必达法则。

思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决

所有的未定型极限问题。

解：∵ 101)sin 1(lim sin lim

=+=+=+∞→∞→x x x x x x x ，∴极限x

x

x x sin lim

+∞→存在； 若使用洛必达法则，得x x x x sin lim +∞→x x

x x cos lim 11

cos 1lim ∞→∞→+=+=，

而x x cos lim

∞

→不存在，所以不能用洛必达法则求出。

★★★3.若

)(x f 有二阶导数，证明2

()2()()

()lim

h f x h f x f x h f x h

→+-+-''=。 知识点：导数定义和洛必达法则。

思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h 的导数，然后利用导数定义得结论。

证明：∵ 200()2()()()()lim

lim 2h h f x h f x f x h f x h f x h h h

→→''+-+-+--= 0()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h

→''''+-+--=

//001()()1()()lim lim ()22h h f x h f x f x h f x f x h h

→→''''+---=+=-，∴结论成立。 ★★★4.讨论函数?????+=-,e ,e x x f x x 2111])1([)(00≤>x x 在点0=x 处的连续性。 知识点：函数在一点连续的概念。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。 解：∵120001111(1)ln(1)1lim ln lim lim 1200(1)lim ()lim[]x x x x x x x x x x e x x x x x x f x e e e e

+++→→→++-++-+→→+==== 011lim 21x x e +→-+=)0(21

f e ==-，∴)(x f 在0=x 处右连续； 又∵

)0()(lim 21

0f e x f x ==-→-，∴)(x f 在0=x 处左连续； 从而可知，?????+=-,

e ,e x x

f x x 2111])1([)(00≤>x x 在点0=x 处连续。 ★★★5.设)(x

g 在0=x 处二阶可导，且0)0(=g 。试确定a 的值使)(x f 在0=x 处可导，并求(0)f '，其中() ,0() ,

0g x x f x x a x ?≠?=??=? 。

知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。

解：要使)(x f 在0=x 处可导，则必有)(x f 在0=x 处连续，

又∵)(x g 在0=x 处(0)0g =，∴x x g x f a x x )(lim )(lim 00→→==)0(0)0()(lim /0g x g x g x =--=→； 由导数定义，0()(0)(0)lim 0x f x f f x →-'=-200()(0)()(0)lim lim 0x x g x g g x g x x x x →→'-'-==-

0()(0)1lim (0)22

x g x g g x →''-''==。

内容概要

习题3-3

★1.按)1(-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。 知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法。求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式，则依次求)(x f 直到1+n 阶的导数在0x x =处的值，然后带代入公式即可。

解：3()46f x x x '=+，(1)10f '=；2()126f x x ''=+，f (1)18''=；

()24f x x '''=，(1)24f '''=；24)()4(=x f ；24)1()4(=f ；0)()5(=x f ；

将以上结果代入泰勒公式，得

(4)234

(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!

f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。

★★2.求函数x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。 知识点：泰勒公式。

思路：同1。

解

：()f x '=，1(4)4f '=；321()4f x x -''=-，1(4)32

f ''=-； 523()8f x x -'''=，3(4)256

f '''=；2741615)(--=x x f )(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)234(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!

f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+- 427

32)4(1285)4(5121)4(641)4(412---+---+=x ξx x x ，（ξ介于x 与4之间）。

★★★3.把2211)(x x x x x f +-++=在0=x 点展开到含4x 项，并求)0()3(f 。

知识点：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论

)(1112n n x o x x x x +++++=- 。 解：32222211)1(2112112111)(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=+-+=+-++-=+-++= )(2221))(1)(1(2144233x o x x x x o x x x +-++=+-++=；

又由泰勒公式知3x 前的系数

(0)03!f '''=，从而(0)0f '''=。 ★★4.求函数x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式。 知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为对数函数时，通常利用已知的结论

x x =+)1ln()(1

)1(32113

2++++-+-+-n n n x o n x x x 。 方法一：（直接展开）1()f x x '=，1(2)2f '=；21()f x x ''=-，1(2)4f ''=-； 32

()f x x '''=，1(2)4f '''=；n n n x n x ,f )!1()1()(1)(--=- ，n n n n f 2

)!1()1()2(1)(--=-； 将以上结果代入泰勒公式，得

(4)234(2)(2)(2)(2)ln (2)(2)(2)(2)(2)12!3!4!

f f f f x f x x x x !''''''=+-+-+-+-+

n (n)x n f )2(!)2(-+))2((n x o -+=23)2(21)2(212ln ---+x x --?+33)2(2

31x ))2(()2(2

1)1(1n n n n x o x n -+-?-+-。 方法二：2)2

2(21222ln )221ln(2ln )22ln(ln )(---+=-+

+=-+==x x x x x x f 2313)2(2

1)2(212ln ))22(()22(1)1()22(31---+=-+--+--+-x x x o x n x n n n ))2(()2(2

1)1()2(231133n n n n x o x n x -+-?-+--?+- 。 ★★5.求函数x x f 1)(=按)1(+x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。 知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论2121111(1)n n n x x x x x

ξ++=+++++--。 方法一：21

()f x x '=-，(1)1f '-=-；32

()f x x ''=，(1)2f ''-=-；46

()f x x '''=-，

(1)6f '''-=-1)(!)1()(+-=n n

n x

n x ,f ，!)1(!)1()1(1)(n n f n n n -=--=-+； 将以上结果代入泰勒公式，得 231(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!

f f f f x x x x ''''''---=-+++++++

n n x n f )1(!

)1()(+-+1)1()1()!1()(+++++n n x n ξf =n x x x x )1()1()1()1(132+--+-+-+-- 121

)1()1(++++-+n n n x ξ（ξ介于x 与1-之间）。

方法二：n x x x x x x )1()1()1()1(1[)

1(11132+++++++++-=+--= ])1()1(121++++-+n n n x ξ=n 32)1()1()1()1(1+--+-+-+--x x x x 121

)1()1(++++-+n n n x ξ

（ξ介于x 与1-之间）。

★★6.求函数x xe y =的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式。

知识点：麦克劳林公式。

思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。)(x f 中含有x

e 时，通常利用已知结论 )(212n n

x

x o n!x !x x e +++++= 。 方法一：(1)x y x e '=+，(0)1y '=；(2)x y x e ''=+，(0)2y ''=；x (n)e n x ,y )(+= ， n y n =)0()(，将以上结果代入麦克劳林公式，得

23(0)(0)(0)(0)(0)()1!2!3!!

(n)x n n f f f f xe f x x x x o x n ''''''=+++++++ +++=!23

2

x x x )!1(-+n x n )(n x o +。 方法二： +++=+-++++=--!2))()!1(!21(3

2112x x x x o n x x x x xe n n x

)!

1(-+n x n

)(n x o +。 ★★7.验证当210≤

e 的近似值时，所产生的误差小于010.，并求e 的近似值，使误差小于010.。

知识点：泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。

解：010192121!42!4!4)(442143.x e x e x R ξ<=≤≤=；646048181211.e ≈+++≈。

★★8.用泰勒公式取5=n ，求21ln .的近似值，并估计其误差。

知识点：泰勒公式的应用。 解：设)1ln()(x x f +=，则

(5)2

5

(0)(0)(0)()(0)1!2!5!

f f f f x f x x x '''≈+++

+

2

2

x x -=55x +

+ ，从而182305

2042032022020)20(21ln 5

432.......f .≈+-+-≈=；其

误差为：

00001070620)

1(61)(66

6

5..x ξx R ≈≤+-=。 ★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：

（1） )3(lim 233x x x x x --++∞→； （2）2

2

2

sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+

→ 。

知识点：泰勒展开式的应用。

思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。

解：（1）])1

1()31([lim )3(lim 21

3122

3

3

x x x

x x x x x x x --+=--++∞→+∞→

))]1

(12)

121

(21)1(211())]1(o 3311([lim 2222x

o x x x x x x x +?-+-?+-+?+=+∞→2

1))1(8921(lim =++=+∞→x o x x 。 （2）2

2

1

2202220

)(cos )1(21

1lim sin )cos (1211lim 2

2x e x x x x e x x x x x x x -+-+=-+-+→→

121)

(2

3)(81lim )))(1()(21()

(2)

12

1(21211(211lim 444402222244220-=+-+=++-+-+-++-+=→→x o x

x o x x x o x x o x x o )x x x x x 。 ★★10.设0>x ，证明：)1ln(2

2

x x x +<-。 知识点：泰勒公式。

思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展

开的一部分时，可考虑用泰勒公式。

解：33

2)1(32)1ln(ξx x x x ++-=+（ξ介于0与x 之间），∵ 0>x ，∴0)

1(333>+ξx ， 从而2

)1(32)1ln(2332x x ξx x x x ->++-=+，结论成立。 （也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）

★★11.证明函数)(x f 是n 次多项式的充要条件是0)()1(≡+x f n 。

知识点：麦克劳林公式。

思路：将)(x f 按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。

解：必要性。易知，若)(x f 是n 次多项式，则有0)()1(≡+x f n 。

充分性。∵0)()1(≡+x f n ，∴)(x f 的n 阶麦克劳林公式为：2(0)()(0)(0)2!

f x f x f f x '''=++ 3()(1)1(0)(0)()3!!(1)!n n n n f x f x f ξx n n ++'''++++=+2(0)(0)(0)2!

f x f f x '''++ 3

(0)3!

f x '''+!)0()(n x f n n ++ ，即)(x f 是n 次多项式，结论成立。 ★★★12.若)(x f 在][a,b 上有n 阶导数，且(1)()()()()()0n f a f b f b f b f b -'''====

== 证明在)(a,b 内至少存在一点ξ，使

)(0)()(b ξa ξf n <<=。 知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。

思路：证明)(0)()(b ξa ξf n <<=，可连续使用拉格朗日中值定理，验证)()1(x f n -在][a,b 上满足罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据)(x f 在b x =处的泰勒展开式及已知条件得结论。 方法一：∵ )(x f 在][a,b 上可导，且)()(b f a f =，

∴由罗尔中值定理知，在)(a,b 内至少存在一点1ξ，使得

1()0f ξ'=； ∵ ()f x '在][][1a,b ,b ξ?上可导，且()0f b '=，

∴由罗尔中值定理知，在)()(1a,b ,b ξ?内至少存在一点2ξ，使得2()0f ξ''=；

依次类推可知，)()1(x f n -在][1,b ξn - ][a,b ?上可导，且0)()()1(1)1(==---b f ξf n n n ，

∴由罗尔中值定理知，在)()(1a,b ,b ξn ?-内至少存在一点ξ，使得0)()(=ξf n 。 方法二：根据已知条件，)(x f 在b x =处的泰勒展开式为：

(1)()21()()()()()()()()()()2!(1)!!

n n n n

f b f b f ξf x f b f b x b x b x b x b n n --'''=+-+-++-+--n n b x n ξf )(!

)()(-=)(b ξx <<， ∴)(a f 0)(!

)()(=-=n n b a n ξf ，从而得0)()(=ξf n ，结论成立。 内容概要

习题3-4

★1.证明函数)1ln(2x x y +-=单调增加。

知识点：导数的应用。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e9zq.html