小中-2014第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛

第五届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛

笔试一解析（小学中年级，时间：60分）

一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分）

1. 在我国长度计量单位中，1米＝3尺，1丈＝10尺，1千米＝2里，那么1里＝ 丈．

答案：150

供题：桦树湾教育 尹 飞

解析：1千米＝1000米＝3000尺＝300丈，所以1里＝150丈

2. 六个等腰直角三角形如图摆放，那么四个空白三角形的

面积和是两个阴影三角形的面积和的 倍． 答案：6

供题：华杯北京管委会 陈 平 解析：设最小的三角形面积是1份，那么6个三角形的面积从小到大依次是1、2、4、8、16、32份，（2＋4＋16＋32）÷（1＋8）＝ 6

3. 足球队中，每队共11人上场，其中1人是守门员，不参与后卫-中场-前锋的队形排列．已

知后卫人数在3-5人之间，中场人数在3-6人之间，前锋人数在1-3人之间，那么，按照后卫-中场-前锋人数来说，有 种阵型． 答案：8

供题：巨人教育 居思远 解析：枚举法：

后卫数是3时，可以343,352,361； 后卫数是4时，可以433,442,451； 后卫数是5时，可以532,541； 总计8种．

4. 一艘游轮，从上游A地开往下游B地，需要1小时．原路返程时，将船速提高到原来的

2倍，也需要1个小时．那么，如果游轮从A地出发时也采用2倍船速，需要 分钟可以到达B地． 答案：36

供题：学而思培优 孙佳俊

解析：由两次都是1小时可知，提速后逆水速度 = 原顺水速度，即 原船速＋水速＝2×原船速－水速，

设水速是1份，那么船速原来是1份，提速后是4份． 原顺水速度是3份，用时60分钟；

提速后，顺水速度是5份，用时3×60÷5 ＝ 36（分钟）．

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二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）

5. 桌面上放有10张卡片，编号分别是1、1、2、2、3、3、4、4、5、5．现在将这10张卡

片打乱，并从左至右排成一排，然后数出夹在两个1之间的卡片数、两个2之间的卡片数、两个3之间的卡片数、两个4之间的卡片数和两个5之间的卡片数．这5个数总和的最大值是 ． 答案：20

供题：桦树湾教育 成俊峰

解析：把10张卡片从左至右依次编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，而两张卡片之间的卡片数 = 这两张牌的编号之差－1，问题转化成在这10个编号中选5个数做被减数，另5个做减数．最大是（10＋9＋8＋7＋6）－（5＋4＋3＋2＋1）－5 ＝ 20．

6. 如图，在5×5表格的每个格子中都填上一个自然数（自然数包括0），

使得每个2×2方格所填四个数的平均数都是100．那么，整个5×5表格所填25个自然数的平均数的最小值是 ． 答案：64

供题：华杯北京管委会 陈 平

解析：每个2×2小方格4个数的和是400，取左上角、左下角、右

上角和右下角4个2×2小方格，它们所含的16个小格相互之间不重叠，所以整个表格的和不会小于400×4＝1600，平均数不会小于1600÷25＝64．

构造64：第二行的第2和第4个数、第四行的第2个和第4个数，这4个数都是400，其余数均是0．

7. 在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．则算式中的

两个乘数的和是 ．

2 答案：658

0 供题：华杯北京管委会 陈 平

1 解析：由于第二个乘数的十位一定比百位大，所以题中所给的

4 “1”不可能是9×9的个位数；由于2口1×1口口不可能是六

位数，所以题中所给的1不可能是1×1的个位数；那么“1”一定是3×7的个位数；

由题中所给的“2”只可能由1口口×口口2或者2口口×口口1得到； 综合上面的分析，可得以下4种情况：

①1口3×7口2 ②1口7×3口2 ③2口3×7口1 ④2口7×3口1，

如果是情况①，那么7口2中的口一定大于7，只能是8或9，再通过第2行的0分析，得到只能是113×782，163×782，但均不成立； 如果是情况②，总乘积不可能是六位数；

如果是情况③，题中所给的“1”所在行就是四位数了；

如果是情况④，对于3口1的口进行逐一尝试，看是否有2口7×口＝口口0口，有：277×341，217×361，267×361，277×341，287×371，267×391 检验，可知只能是287×371＝106477． 所以本题答案为：287＋371＝658

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8. 老师共买了53支铅笔，分给了A，B，C，D四个同学，分到最多的与最少的铅笔数相

差不到5支．如果B把分到的铅笔全部给A，那么A的铅笔数是C的2倍；如果B把分到的铅笔全部给C，那么C的铅笔数是D的2倍．由此可知，B分到 支铅笔． 答案：15

供题：学而思培优 胡 浩

解析：设A，B，C，D分到的铅笔数分别是A，B，C，D， 由B＋C＝2D，知C、D、B依次成等差数列，设公差为K； 由A＋B＝2C，知A、C、B依次成等差数列，则公差为2K； 由4人铅笔数相差不会超过4，所以K＝0或1； 若K＝0，则4×B＝53，但53不是4的整数倍；

若K＝1， A＜C＜D＜B，则4×C＋1＝53，C＝13，B＝15． A＞C＞D＞B，则4×C－1＝53，但54不是4的整数倍． 综上所述，B分到15支铅笔．

三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）

9. 四只猫、四只狗和四只老鼠分别关在12个笼子内．如果猫和老鼠在同一列，猫就会喵

个不停；如果老鼠左右被两只猫夹着，老鼠就会吱个不停；如果狗两侧被猫和老鼠夹着，狗就会汪个不1 ○2 ○3 ○4 ○5 ○6 ○停．其它情况下动物都不叫．某天，编号是3、4、6、

7 ○8 ○9 ○10 ○11 ○12 ○7、8、9这6个笼子很吵闹，其它笼子很安静，那么

四只狗所在笼子的编号之和是 ． 答案：28

供题：顺天府学 王 刚

解析：由6、7很吵闹，得到1、12是老鼠，6、7是猫；

如果8是狗，那么9一定是老鼠，9的老鼠无法被猫夹着，不成立； 如果8是老鼠，那么9是猫，由9也吵闹，得到3是老鼠， 由3吵闹，得到2和4都是猫，这样已经有5只猫，不成立； 所以8只能是猫，由8吵闹得到2是老鼠．

如果3是猫，那么9是老鼠，10必须也是猫，不成立； 如果3是老鼠，它根本无法吵闹，不成立；

所以3是狗，那么4是猫，由4吵闹，得到10是老鼠，那么其余位置都是狗． 综上，狗的编号之和是3＋5＋9＋11＝28． A

10. 如右图，从A点出发，要求每条路都必须经过，但都恰好只走

D E 一次，最后回到A点．那么，满足条件的走法有 种．

答案：32

供题：桦树湾教育 赵晓峰

B F C

解析：从A出发有2种选择，不妨设从A到D，那必须将其它路都走完，最后由E回A．

去掉AD、AE后，图可变为右图．右图中从D出发，要使每条路线恰走一遍，最后走到

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E点，途中D、E、F被路过的次数分别为1次，1次，2次． 按树形枚举，不同的“蛙跳方式”只有以下4类： （1）D-E-F-D-F-E； （2）D-F-E-D-F-E；

D E

（3）D-F-E-F-D-E； （4）D-F-D-E-F-E． F 每一类“蛙跳方式”所对应的走法都有2×2=4种．

所以，从A出发每条路线恰好走一遍回到A点的走法共有2×4×4 = 32种走法．

11. 商店有编号为1~89的89个金币等待销售，每个售价30元，其中只有1个是“幸运币”．菲

菲每次可以选择其中一些编号向诚实的营业员提问：“幸运币的编号在其中吗？”．如果得到的答案是“在”，那么菲菲需要支付20元钱咨询费，如果得到的答案是“不在”，那么菲菲需要支付10元钱咨询费，当然，她也可以什么都不问，直接选择一些金币买走．菲菲至少需要支付 元才可以保证自己一定能得到幸运币． 答案：130

供题：桦树湾教育 成俊峰

解析：考虑更一般的情形：有n枚金币待售且其中只有一枚幸运币． （1）即便n = 2时，如果菲菲不咨询任何问题，直接买走两个金币，她当然能得到幸运币，

但她需要一共需要支付60元；如果菲菲就某个编号提问，要保证得到金币，她需要支付20 + 30 = 50元．这意味着不管n是多少，菲菲都需要明确到底哪枚才是幸运币后才进行购买才最划算．所以：

菲菲需要支付的钱 = 甄别出幸运币的咨询费 + 买走幸运币的购买费 此公式中“甄别出”的含义为：“在最不利的情况下也能判断出”．为叙述方便，如无特别说明，下文中“甄别出”也都为这一含义，不在特意强调“一定”、“保证”． （2）接下来我们通过找规律来探寻：菲菲从n枚待售金币中甄别出幸运币所需要支付的咨

询费m的变化情况（注意，要么不变，要么变大10）

待售金币n枚 2 3 4 5 6 7 8 …

咨询费用m元 20 30 40 40 50 50 50 … 通过找规律我们发现：

2×10元咨询费，最多可以从2枚金币中甄别出幸运币，记作E(2) = 2； 3×10元咨询费，最多可以从3枚金币中甄别出幸运币，记作E(3) = 3； 4×10元咨询费，最多可以从5枚金币中甄别出幸运币，记作E(4) = 5； 5×10元咨询费，最多可以从8枚金币中甄别出幸运币，记作E(5) = 8；

将2，3，5，8单独列出，我们发现这个数列的特点：从第3项起，每一项等于它前面两项的和！如果将此数列一直写下去，为： 2，3，5，8，13，21，34，55，89

题目中给出的89正是这个数列中的第9项，至此，就考试而言，已经大致可以猜得本题答案为：咨询费100元 + 购买费30元 = 130元．

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（3）下面对（2）中发现的规律给出解释．

我们重审E(m)的含义为：10m元的咨询费，可以从E(m) 枚或者更少的金币中甄别出幸运币，但无法从多于E(m) 枚金币中甄别出幸运币．

当m≥3时，菲菲将待售金币分成两堆，然后就第一堆提问．

如果得到的答案为“是”，菲菲需要先付20元，接下来剩余的10×(m－2)元咨询要从第一堆中甄别出幸运币，说明第一堆待售金币的个数不能超过E(m-2)枚； 如果得到的答案为“否”，菲菲需要先付10元，接下来剩余的10×(m－1)元咨询要从第二堆中甄别出幸运币，说明第二堆待售金币的个数不能超过E(m-1)枚． 所以E(m)≤E(m-2)+E(m-1)．

另一方面，当待售金币有E(m-2)+E(m-1)枚时，菲菲将待售金币分成第一堆E(m-2)枚，第二堆E(m-1)枚，然后就第一堆提问，即可用10m元钱从E(m-2)+E(m-1)中甄别出幸运币．

所以E(m)= E(m-2)+E(m-1)

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