基于MATLAB的连续信号数字谱分析

２００６年第１２期

中图分类号：ＴＮ９１１．６

文献标识码：Ａ

文章编号：１００９—２５５２（２００６）１２—０１３７一０４

基于ＭＡＴＬＡＢ的连续信号数字谱分析

卢忠强

（华东交通大学电气学院，南昌３３００１３）

摘要：通过ＭＡ７ＩＬＡＢ语言，对连续函数进行了数字谱分析，详细介绍了连续时间信号进行数

字谱分析的基本思路，并解释产生的混叠误差、栅栏效应、截断误差等，同时对产生误差的原因以及减少误差的相应措施进行了分析。

关键词：连续信号；ＭＡⅡＡＢ；傅里叶变换；频谱

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Ｏ

引言

连续信号的频谱分析在工程上有着广泛的应

ｍ）＝封：。砌）严ｄＱ

（２）

用，对于连续信号的频谱计算理论上可以采用直接积分的办法。它的好处是可以得出闭合的解析形式，其频谱可以精确地画出。但对于实际中遇到的大多数复杂的信号以及由测量得到的信号，包括传感器的输出，大多是连续非周期信号，不能采用这种

方法。这时，必须采用计算机辅助的方法。而用计

可以看出：积分式中时间与频率参数的积分区

间均为（一∞，＋∞）；而且被积函ｘ（Ｑ），戈（ｆ）数都

是连续的函数。显然，这两点无法满足计算机进行数字处理的要求，若要应用ＦＦＴ进行分析和处理，则必须在时、频域对参数进行有限化和离散化处理。有限化和离散化处理是在时、频域对被处理的连续信号的近似或逼近，是一种近似处理。下面进一步来讨论这种处理的原理。

①时域的有限化和离散化。时域的有限化：就是对信号的延续时间沿时间轴进行截断，也就是把时间区间由（一∞，＋∞）限定为［０，兀］。时域的离散化：就是对连续信号进行抽样，若采样周期为ｒ，则采样点数为』７、ｒ，有

算机的第一步就是把连续信号离散化，一是采样；二

是截断。从传统的直接积分方法出发，借助ＭＡＴ．

ＬＡＢ结合实际例子对连续信号进行数字谱分析的基本思路进行了说明，并解释了可能产生的误差、产生误差的原因，同时说明了减少误差的相应措施。

１

连续信号频谱分析的基本方法

传统的连续信号频谱分析的基本方法是采用直

接积分的方法，方法如下：

收稿日期：２００６—０６—１９

作者简介：卢忠强（１９８０一），男，华东交通大学在读硕士研究生，主

要研究领域为信号检测、信号处理。

万方数据　

一１３７—

ｔ＝ｎ＋ｒ

（凡＝０，１，２，…，Ⅳ一１）阻挡，看不见，把这种现象称为栅栏效应。连续时间信号只要采用数字谱分析的方法，就必定产生栅栏效应，栅栏效应只能减小而无法避免。能够感受的频谱最小间隔值，称为频谱分辨率，而频率分辨率与信号截断长度成反比，且频率分辨率越小，插值效果越好。因此即使连续信号是有限时间的，也应选择一个大的截断长度来改善栅栏效应。

贝０

ｒ，＝Ⅳｒ。

②频域的有限化和离散化。频域的有限化：在频率轴上取一个周期的频率区间，通常取所谓“主值区间”［ｏ，Ｑ。］。频域的离散化：就是对一个周期内的频谱进行抽样，若频域的采样周期为Ｑ，，采样点数为Ⅳ，则有

Ｑ＝后Ｑ

（Ｊ｝＝０，ｌ，２，…，Ⅳ一１）

（３）

③截断误差。截断误差是由于对信号进行截断，把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间以外的函数值均为零值的近似处理而产生的，这种处理相当于用一个矩形（窗）信号乘待分析的连续时间信号。必然会引起吉布斯效应（波动），也会把窗函数的频谱引入信号频谱，造成混叠，所以需要考虑其

则Ｑｌ＝诗＝等

设‰（ｆ）为绝对可积的连续信号，并设石（儿ｒ）

是它的采样序列，如果丁足够小，则

丑：（后Ｑ１）。丁×ＤＦＴ［戈。（ｎｒ）］＝

ｒ×Ｘ（后）

（４）

误差的问题。

３

２误差分析

对连续非周期信号的数字谱分析，其实质就是对信号在波形处在有限化的基础上，对波形与其频谱进行抽样。采样点越密，分析的结果和原信号越接近，近似程度越好，但误差总是存在的。

对一非周期连续信号数字谱分析的过程，要对￡和Ｑ作有限化和离散化处理。从频谱来看，即用一个有限长抽样序列的ＤＦＩＩ来近似无限长连续信号的频谱，其结果必然产生误差。另外，要用实际的数字系统来实现ＤＦｒ的快速运算，也会产生误差，如有限字长引起的误差等。本文只讨论由于信号的逼近所产生的误差，主要包括：频率混叠误差、栅栏效应和截断误差

①混叠误差。产生混叠误差的原因是：信号的离散化是通过抽样实现的，而抽样频率再高总是有限的。除带限信号外，如果信号的最高频率Ｑ趋于无穷，则实际器件无法满足抽样定理。而抽样过程如果不满足抽样定理，就会产生频谱的混叠，即混叠误差。要减少或避免混叠误差，应该提高抽样频率，

以设法满足抽样定理，或者采用抗混叠滤波这样的

实例分析与结论

现要对一个连续信号ｚ（￡）＝ｅ加 １‘（ｆ≥０）进

３．１实例分析

行数字谱分析，并对上述三种误差进行分析。

先取六组不同的ｒ和Ⅳ进行分析：

①采样间隔ｒ＝１ｓ，采样点数Ⅳ＝６４，数据截断

长度Ｌ＝胛＝６４ｓ。

②采样间隔ｒ＝２ｓ，采样点数＾ｒ＝６４，数据截断

长度三＝＾Ｔ＝１２８ｓ。

③采样间隔丁＝１ｓ，采样点数Ⅳ＝３２，数据截断

长度￡＝Ｍ’＝３２ｓ。

④采样间隔ｒ＝２ｓ，采样点数Ⅳ＝３２，数据截断长度Ｌ＝Ⅳｒ＝１６ｓ。

⑤采样间隔ｒ＝ｌｓ，采样点数Ⅳ＝１６，数据截断

长度Ｌ＝旧＝１６ｓ。

⑥采样间隔ｒ＝２ｓ，采样点数Ⅳ＝１６，数据截断长度￡＝＾口＝３２ｓ。

得到上述六组数据下的幅频特性如图１所示。从图ｌ中可以直观地看到频率混叠的严重程度

信号预处理措施。

②栅栏效应。对于非周期信号来说，理论上应具有连续的频谱，但数字谱分析是用ＤＦｒ来近似的，是用频谱的抽样值逼近连续频谱值，只能观察到有限个频谱值，每～个间隔中的频谱都观察不到。

如同通过“栅栏”观察景物一样，一部分被“栅栏”所

和截断误差。为了更具体地说明这种误差，用相对

误差来评价频率混叠的严重程度，相对误差这里指

奈奎斯特频率处的幅特性与峰值的比。同时用相对的波动来讨论其截断误差，相对波动这里指幅特性

的峰值减去Ｎｙｑｕｉｓｔ频率处的幅特性的差值，除以数

据截断长度￡。详细说明如表１所示。

一１３８一

万方数据　

１５

１ｊ２１０

Ｎ：６４

●

＝

罾

益５

八

／／…＼

．１

０

０

５７∞旬７酷４

０

７皓４

１

５７∞

０

１５

Ｔ：１．Ｎ：３２

１５

Ｔ＝２．Ｎ＝３２

—１０Ｃ

ｍ

×

一５

０

／＼ｉ

Ｔ：１．Ｎ＝１６

＾

八

＝１０

罾

苎５

八

｜／／＼

．１

０

５７∞田７８５｜０７８５４

１

５７∞ｏ

１５

１５

１｜＿２

Ｎ；１６

１０

＝１０

Ｇ

ｍ

×

一５

／Ｌ

八

…一

ｇ×

一５

夕℃

．１．５７∞．０７日５４

０．７８５４

１

八

０

０

Ｓ７∞ｏ

图ｌ采样参数不同所得到的频率谱特性图

表１采样参数不同的频谱特性比较

采样参数、、＼

ｒ＝１

Ⅳ＝１６

、、、＼频谱分析Ｎｙ卿ｓｔ频率处的幅特性

Ｏ．４１９０Ｏ．ｇ玎６０．５０３６１．０５４８Ｏ．５２４１

ｒ＝２ｒ＝ｌ

Ⅳ＝３２

ｒ＝２７－＝１

Ⅳ＝６４

ｒ＝２

幅特性的峰值

８．３８６７８。８０６７１０．Ⅸ；ｏ１０．５８３６１０．４９０９１１．０１５０

混叠误差

０．０５０００．０９９７０．Ｑ５０００．０９１９７０．０５０００．０９９７

相对波动

Ｏ．４９８０Ｏ．２４７８Ｏ．２９９３０．１４８９０．１５５８Ｏ．Ｕ７７５

１．０卯８

从表１中可以看出在ｒ都取相同值的时候混叠误差相同，也就说明它们的频率混叠的程度是相同的，当ｒ的取值越小时频率混叠越小。再从相对波动可以看出数据截断长度￡越小截断误差越大（即波

动越大），而在数据截断长度￡相同时采样周期ｒ和

增大ｒ。这是两个相互矛盾的要求。因此在计算连续信号的频谱时可以按照以下的步骤来选择采样周期

ｒ和采样点数Ⅳ。

①先初步选择时间记录长度￡，使得。到￡之间包括了大部分非零的连续信号，然后逐次减小ｒ和加大Ⅳ的步骤来选择周期丁，使得时间采样造成的频率混叠可以忽略不计。方法就是：选择一个较小

采样点数Ⅳ的不同对截断误差的影响很小。而对于栅栏效应其实质也就是讨论频率分辨率Ｄ，频率分

辨率Ｄ与￡成反比，且Ｄ越小，在从通过ＦＦＴ计算出

的Ⅳ１值。算出ｒ１＝Ｌ／Ⅳ１，然后用Ⅳ１点的Ｆ丌来计

算频谱ｘ（２兀后／（Ⅳｌ丁１））。将ｘ乘以ｒｌ并插值，这就得出了连续信号的频谱的第一次近似值。然后用ｒ２＝ｒｌ／２及Ⅳ２＝２Ⅳｌ重复这一计算。由于两个计

算结果是在同样的￡下得到的，它们具有相同的截

的样本值中插值出来的结果就越好。因此即使连续信号是有限时间的，也愿意选择一个大的Ｌ＝Ⅳｒ

来改善频率分辨率。

由于上述三种误差的存在，当用Ｆ丌来计算连

续信号的频谱时必须注意。很明显，采样周期ｒ应该选得小些以减少混叠，而Ⅳ要选得足够大来提高分辨率；如果，ｖ是确定的，为了减小频率混叠就要减小丁；为了减小截断效应，需要增加Ｌ＝Ⅳｒ，所以要

断效应，这样两个频谱间的误差都是由于频率混叠造成的。如果两个频谱非常接近（这里取最大幅度误

差小于峰值的２％），那么频率混叠可以忽略。以后

的计算中都可采用他作为采样周期，如果精度还不

一１３９—

万方数据　

够，可以另选较小的ｒ３，心和较大的Ⅳ３，Ⅳ４等。

②在选定ｒ后，进一步选择￡。用丁和２Ⅳ来计

法近似得到的频谱差是很小。从图３所画的频谱特性中可以看到两者的差别非常小。

算连续信号的频谱，即把Ｌ增加一倍。并与ｒ，Ⅳ的结果进行比较。因为两个频谱所用的ｒ相同，它们的奈奎斯特频率范围和频率混叠应该相同。因此，两个频谱之间的任何差别都是由于截断效应不同（￡不同）引起的。如果两者的误差不大，这个Ⅳ就可以接受；如果两者的误差太大，就把Ⅳ加倍，直到用两个Ⅳ算出的频谱非常接近为止（这里取误差小于２％）。这时得到的频谱应该很接近于连续信号的真实幅频特性。

使用ＭＡ，ｎＡＢ按照上述思想进行编程，程序流程图如图２所示。

３．２结论

图３近似频谱与精确频谱的差别

当用肿来计算连续信号的频谱时必须注意

混叠误差、栅栏效应、截断误差对计算结果的影响。很明显，采样周期丁应该选得小些以减少混叠，而Ⅳ要选得足够大来提高分辨率；如果Ⅳ是确定的，为

了减小频率混叠就要减小ｒ；为了减小截断效应，需要增加￡＝Ⅳ丁，所以要增大ｒ。这是两个相互矛盾

的要求。因此在计算连续信号的频谱时可以按照文中提到的步骤来选择满足精度要求的ｒ和Ⅳ。所得到的近似频谱与精确频谱的差别在一般场合可以满

足要求。参考文献：

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图２程序流程图

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为了论证这个论断，可以按下式解析地求出

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（５）［６］姚天任，江太辉．数字信号处理［Ｍ］．２版．武汉：华中科技大学

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责任编辑：么丽苹

按照式（５）可以画出精确的频谱，它与按上述方

（上接第１０９页）另外，可以考虑在比例公平算法中增加

Ｓｔａｇｅ

２Ｉ．Ｓｊ．２００６．

时延要求来满足实时业务，但同时也会增加算法复

杂度，所以在实际工程应用中需要对公平性和算法复杂度做适当的折衷。

基于ＮｏｄｅＢ的分组调度作为ＨＳｕＰＡ中的关键技术之一，随着｝颧ＪＰ！Ａ的进一步演进，￣虹ＭＯ和ＯＦＤＭ技术的引入，势必会引起分组调度新的研究热潮。参考文献：

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责任编辑：么丽苹

一１４０一

万方数据　

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e9v4.html