856高等代数考研真题答案08

河南科技大学

2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准

科目代码： 856 科目名称： 高等代数

一、（15分）计算下列各题：

1、（5分）已知4阶行列式D的第3行元素分别为 ?1,0,2,4，第4行元素对应的余子

式依次是5,10,a,4，求a的值。

?1?20???0?，求矩阵A。 2、（5分）已知矩阵A,B满足关系AB?B?A，其中B??21?002???3、（5分）设A为3阶方阵A的伴随矩阵，A=2，计算行列式|(3A)解：1、因为 a31A41?a32A42?a33A43?a34A44?0，??(3分) 这里aij和Aij分别是第i行第j列处的元素和该元素的代数余子式，

*

?1?1*A|。 221。??(5分) 21??0??12??1?110?，2、 因为AB?A?B，所以A(B?E)?B，A?B(B?E)?????(5分)

?2??002?????1*1?12?123?14?1?13、|(3A)?A|=|A?A|=|?A|=(?)|A|=?。??(5分)

233327011?1（-5）?0?10?2?（?a）?4?4?0，可得a?所以有 ?1?10x?x二、（15分）计算n(n?3)阶行列式：Dn?1x0?x 。（注释：该行列式主对角

?????1xx?0线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其

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余的元素都是x。要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）。

解（法一）：

011?1011?110x?x1?x0?Dn?1x0?xr1?(?x)?ri,(i?2,3,?,n)10?x??1?x???x?0?1?0?000??(6分) ????x当x?0时，再把第j列的

1倍加到第1列（j?2,3,?,n），就把Dn化成了上三角行列式 xDn?n?11x0?x0?00?010??100??(?1)n?1(n?1)xn?2 ， ??(12分)

?x???0??x当x?0时，显然有Dn?0。所以总有

Dn?(?1)n?1(n?1)xn?2。 ??(15分)

（法二）：把第2行的（-1）倍分别加到第3,4,?,n行，得

0110Dn???1x?001?????10?1x0?01x0?0?x1n?11?110?

??(6 分)0x?x?0x0x1??x再按第一列展开，得

x?x?Dn????xx0000l,(i?2,?3,n,?)?li?1?100?x?0?????x0?0?x0??x00?0?x分 )?(?1)n?1(n?1)xn?2。 ??(15第 2 页 （共9页）

三、（30分）证明下列各题

1、（10分）如果(f(x),g(x))?1，那么(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。

2、（10分）A为n阶方阵，如果A?A，则：秩(A?E)?秩(A)=n，其中E是n阶单位矩阵。

3、（10分） ?是线性空间V上的可逆线性变换，则?的特征值一定不为0。 解：1、令p(x)是f(x)g(x)和f(x)?g(x)的任一个公因式，则p(x)整除f(x)和g(x)之一，比如说整除f(x)，那么也整除(f(x)?g(x))?f(x)?g(x)，??(4分) 这也就说明p(x)是f(x)和g(x)的公因式，??(8分)

由(f(x),g(x))?1，可知(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1。??(10分)

2、由于A?A，所以A(A?E)?0，所以 秩(A?E)?秩(A)?n，??(4 分)又因为 A?(E?A)?E，所以 秩(E?A)?秩(A)?秩(E)?n，??(8分) 而 秩(E?A)?秩(A?E)，??(9分) 所以有 秩(A?E)?秩(A)=n。??(10分)

3、设向量?是线性变换?的关于特征值?的特征向量，则?????，??(3分) 用线性变换?的逆变换??122作用上面式子的两端，则有???(??1?)，??(6分)

由于特征向量??0，所以??0。??(10分) 四、（15分）设4元齐次线性方程组?i?为??x1?x2x2??0?x4?0，又已知某4

?0???1?????12元齐次线性方程组?ii?的通解为：k1???k2??,(k1,k2为任意常数)。

?1??2?????0???1?（1）（5分）求方程组?i?的基础解系；

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（2）（10分）问方程组?i?与?ii?是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。若没有，则说明理由。

解：（1）把方程组?i?的系数矩阵化成简化行阶梯形

?1100??1001?A??????，??(2分)

?010?1??010?1??0???1?????01求得线性无关的两个解向量为：?1???,?2???，??(4分)

?1??0?????0???1??0???1?????01则 ?1???,?2???为方程组方程组?i?的基础解系。??(5分)

?1??0?????0???1??0???1???k2??????k?2k?1212?,(k,k为任意常数) （2）（解法一）：方程组?ii?的通解 k1???k2?????1??2??k1?2k2?12??????k01?????2?中满足方程组?i?的解既是?i?和?ii?的公共解，将?ii?的通解代入方程组?i?，得

??k2?k1?2k2?0，??(5分) ?k?2k?k?0?122解得k1??k2，故当k1??k2??k?0时，向量

?0???1??0???1???1???????????12121??????????k1?k??k?k?k,(k为任意非零常数)满足方程组?i?，它当然?1?2?2??1??2??1???????????0101?????????1?第 4 页 （共9页）

??1????1?也是方程组?ii?的解，故方程组?i?与?ii?有非零公共解 k??，(k为任意非零常数)。

1???1?????(10分)

（解法二）： 为确定方程组?i?与?ii?的非零公共解，也可以令?i?与?ii?的通解相等，即令：

?0???1??0???1??????????0??1??1??2??1????2???k1???k2??，??(5分)

1012?????????0??1??0??1?????????1???1??0??0?10???????01?1?2???2??0??得到齐次线性方程组：?，??(7分)

10?1?2??k1??0????????01????0?1????k2??0?解得，?1??2?k2,公共解为：

k1??k2(k2为任意非零常数)，由此得到方程组?i?与?ii?的非零

?0???1??0???1???1????????????0??1??1??2??1?（k2为任意非零常数）??(10分) ?1????2???k1???k2???k2??，

10121???????????0??1??0??1??1???????????五、（20分）设实二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?2x1x2?2x1x3?2?x2x3通过正交线

222性变换X?PY化成标准形f?2y1?2y2??y3，求常数?,?的值及所用的正交

222线性变换矩阵P。

解：实二次型以及标准形所对应的矩阵分别为

?1?1?A???11??1????1??2???????，B??2?，??(3分)

?1??????由于上面两个矩阵相似，所以主对角线上的元素之和相等，得到 ???1，??(6分)

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?1因为 A?2E??1?1?1???0，所以得到??1。??(9分) ?1?1?1??求?1?2对应的特征向量，解方程组?2E?A?X?0，

??1???1?????得到方程组?2E?A?X?0的两个正交的解为 ?1??1?,?2???1?，??(13分)

?0??2??????1??1???????62?????1??1?单位化?1??,??2???，??(14分) ?26?????2??0????????6?求?2??1对应的特征向量，解方程组??E?A?X?0，

?1???得到方程组??E?A?X?0的解为 ?3??1?，??(17分)

?1???????单位化?3??????1??3?1??。??(18分) 3?1??3??1??2??1?3????2??0?161?626?1??3?1??。??(20分) 3?1??3?则所用的正交变换矩阵为 P???1?2

六、（15分）符号L(?1,?2,?,?m)表示由向量?1,?2,?,?m生成的子空间。设有子空间

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?????x1??x1?????????xx????V1?????2?x1?x2?x3?x4?0?，V2?????2?x1?x2?x3?x4?0?。

?x3??x3??????????????x4??x4?????（1）（5分）将V1和V2用符号L(?1,?2,?,?m)的形式表示出来； （2）（10分）求子空间V1?V2和V1?V2的维数和一组基。

解：（1）。解线性齐次方程组x1?x2?x3?x4?0得到子空间V1的基础解系统：

??1???1???1???????100?????? ，??(2分) ?1?,?2?,?3??0??1??0???????00?????1?同样道理可以得到子空间V2的基础解系统：

?1???1??1???????100??????，??(4分) ?1?,?2?,?3??0??1??0???????00?????1?所以V1?L(?1,?2,?3)，V2?L(?1,?2,?3)。??(5分) （2）。显然可以看出，子空间V1和V2的维数都是3

V1?V2?L(?1,?2,?3,?1,?2,?3)，??(2分)

矩阵经过行初等变换后可以得到：

?1?0(?1,?2,?3,?1,?2,?3)???0??00100001000010?1??00?，??(4分)

01??00?所以可以看出向量?1,?2,?3,?1是V1?V2的一组基，从而V1?V2的维数是4。??(6分) 由公式： 维(V1)?维(V2)?维(V1?V2)?维(V1?V2)，可知：维(V1?V2)?2，??(8分)

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解方程组??x1?x2?x3?x4?0可以得到V1?V2的一组基：

?x1?x2?x3?x4?0??1??0?????0?1?1???,?2???。??(10分)

?1??0?????0???1?七、（10分）列向量?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是R空间的两组基，线性变换?在

n?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n下的矩阵分别为A和B，证明：A和B是相似的.

证明： 设可逆矩阵P是基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过度矩阵，即：

(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)P，??(5分)

因为 ?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)A，?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)B， 所以

?(?1,?2,?,?n)??((?1,?2,?,?n)P)?(?1,?2,?,?n)AP?(?1,?2,?,?n)P?1AP,根据同一线性变换在同一组基下的矩阵是惟一的，可以得到

??(8分)

B?P?1AP，也即矩阵A和B是相似的。??(10分)

八、（15分）如果向量?可以由向量组?1,?2,?,?m线性表出，证明：表示方法是惟一的充 分必要条件是向量组?1,?2,?,?m线性无关的。

证明：（必要性）设?由向量组?1,?2,?,?m线性表出且表示方法惟一为：

??l1?1?l2?2???lm?m，

设u1?1?u2?2???um?m?0，则有

??(l1?u1)?1?(l2?u2)?2???(lm?um)?m，??(5分)

由于表示方法惟一，所以可以得到：ui?0,(i?1,2,?,m)， 故?1,?2,?,?m线性无关。??(8分)

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（充分性）假设有两种表示方法：

??l1?1?l2?2???lm?m 和

??u1?1?u2?2???um?m，

上面两式相减得到：(l1?u1)?1?(l2?u2)?2???(lm?um)?m?0， 因为?1,?2,?,?m线性无关，所以有li?ui?0,i?1,2,?,m 说明表示方法惟一。??(15分)

九、（15分）设A是m阶实对称矩阵且正定，B为m?n实矩阵，B?为B的转置矩阵，证明

B?AB 为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n。

解：（必要性）因为B?AB 为正定矩阵，所以对任意的列向量x?0，有x?(B?AB)x?0，即

(Bx)?A(Bx)?0，于是 Bx?0。??(5分)

因此，方程Bx?0只有零解，从而r(B)?n。??(8分)

（充分性）由于 (B?AB)??B?A?B?B?AB，故B?AB为实对称矩阵。??(10分)

如果r(B)?n，则线性方程组方程Bx?0只有零解，从而对任意的n维实列向量x?0，

有Bx?0。??(13分)，

又A是正定矩阵，所以对于Bx?0有(Bx)?A(Bx)?0，于是当x?0时，x?(B?AB)x?0。 故B?AB 为正定矩阵。??(15分)

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