竞赛试题选编之立体几何

竞赛试题选编之立体几何 一．选择题

(2005年全国高中数学联赛)空间四点A、B、C、D满足

|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值（ ）

A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 ABCD?A?B?C?D?为正方体。任作平面?与对角线AC?垂直，使得?与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l.则（ ）

A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值 C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值

（2004年高中数学联赛）顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB?OB，垂足为B，OH?PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ） A.

5 3 B.

25 3 C.

6 3 D.

26 3（2003年高中数学联赛）在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为(A)

?3，则四面体ABCD的体积等于

3311 (B) (C) (D) 2323(2002年全国高中数学联赛)由曲线x2?4y，x2??4y，x?4，x??4围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2?y2?16，

y轴旋转一周所得的x2?(y?2)2?4，x2?(y?2)2?4的点组成的图形 y y 旋转体的体积为V2，则

（A）V1?4 4 12V2（B）V1?V2 23?4 O 4 x ?4 O 4 x （C）V1?V2 （D）V1?2V2

?4 ?4 （2001年全国高中数学联赛）

命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；

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命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是B

（A）64 （B）66 （C）68 （D）70

如图1，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点M、N分别在AB1、BC1上，且AM＝BN．那么，B D C ①AA1⊥MN；

B ②A1C1∥MN； A

N ③MN∥平面A1B1C1D1；

M ④MN与A1C1异面．

C1 D1 以上4个结论中，不正确的结论的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

A1 B1

正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于D （A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

空间中n（n≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论①没有任何两个平面互相平行；②没有任何三个平面相交于一条直线；③平面间的任意两条交线都不平行；④平面间的每一条交线均与n?2个平面相交．其中，正确的个数为D

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则圆锥侧面积和底面面积之比为（ ）

（A）3：1 （B）2：1 （C）1：1 （D）1：2 长方体ABCD?A1B1C1D1，AC1为体对角线．现以A为球心，AB、AD、AA1、AC1为半径作四个同心球，其体积依次为V1、V2、V3、V4，则有C （A）V4＜V1+V2+V3 （B）V4=V1+V2+V3 （C）V4＞V1+V2+V3 （D）不能确定，与长方体的棱长有关 若空间四点A,B,C,D满足AB?CD?8,AC?BD?10,AD?BC?13，则这样的三棱锥ABCD共有（A）个．

（A）0 （B）1 （C）2 （D）多于2

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l可以做B A1 （A）4条 （B）3条 （C）2条 （D）1条 圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，O为底面圆心，C为底面圆周上AB的三等分点，AC=2CB，则SA与OC的夹角为（ ）

D1 B1 D C1

C B A 第 2 页 共 6 页

A.45° B.60° C.arcos

2 4 D.arccos

3 4四面体ABCD的所有二面角均为锐角，相对的棱都两两相等，该四面体的六个二面角的平面角为αi（i =1，2，…，6）则

?cos?i?16i=（ ）

A.1 B.2 C.4 D.不是定值

设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则

V2为A V1（B）

（A）

1 2212 （C）常数，但不等于和 323S A' B' A D C B D' A'

D A A' C'

B B' C' B' C

D' C' （D）不确定，其值与四面体的具体形状有关

给定四棱锥S－ABCD，其中底面四边形不是平行四边形，用一个与四条侧棱都相交的平面截这个四棱锥，截得四边形A'B'C'D'，记集合M＝{四边形A'B'C'D'为平行四边形}，则有

A.M为空集 B.M为无穷集合 C.M为单元素集合 D.M的元素个数不确定

正方形纸片ABCD，沿对角线AC对折，使D点在面ABC外，这时DB与面ABC所成的角一定不等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.90°

长方体ABCD－A’B’C’D’中，AB’＝22，AD’＝17，则AC的取值范围是 A.(17－22，5)

B.(3，17＋22)

C.(3，5) D.(17－22，17＋22)

如图，五面体ABC－A'B'C'中，AB＝A'B'，则AA'，BB'，CC'共点的充要条件是

A.BC∥B'C'且AC∥A'C' B.BC≠B'C'且AC≠A'C'

C.AA'≠BB'，且∠BAA'≠∠B'A'A D.面ABC与面A'B'C'不平行 已知边长为a的菱形ABCD，?A?折成二面角θ，已知??[?3，将菱形ABCD沿对角线

C

A B

?2?3,3].则两对角线距离的最大值是（ ）

（A）

3333a （B）a （C）a （D）a 2442第 3 页 共 6 页

a、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的直线c有D （A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条

一圆台的上底半径为1cm，下底半径为2cm，母线AB为4cm，现有一蚂蚁从下底面圆周的A点，绕圆台侧面(即要求与圆台的每条母线均相交)向上底面圆周的B点爬行的最短路线是 (A)． (A)43?2?4?2?4? (B)43? (C)23? (D)23? 33331，且满足6二．填空题

（2005年高中数学联赛）如图，四面体DABC的体积为

?ACB?45?,AD?BC?AC2?3,则CD?.

1，6（2005年高中数学联赛）如图，四面体DABC的体积为且满足?ACB?45?,AD?BC?AC2?3,则CD?.

（2004年高中数学联赛）如图、正方体

D1C1ABCD?A1BC11D1中，二面角A?BD1?A1的度数是

____________。

（2003年高中数学联赛）将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.

正三棱锥V-ABC底面边长为a,侧棱长为b,M为高

A1FEDCAB1VMbVO上一点,=,过M作平行于侧棱VA及底

MOaB边BC的平面,则此平面截正三棱锥所得截面面积为______

正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，E是CD中点，F是BB1中点，则四面体AD1EF的体积是 ．5； 24已知异面直线a、b所成的角为60°，过空间一点P作与a、b都成角?（0＜?＜90°）的直线l，则这样的直线l的条数是

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?0,0????30??1,??30???f(?)= ．f?????2,30????60?；

?3,??60????4,0????90?（2001年全国高中数学联赛）正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1 ，则直线

A1C1与BD1的距离是 。

(2000年全国高中数学联赛)一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. D 如图，三棱柱上有一个空间五边形ABCDE，AB的中点为

A A1，BC的中点为A2，CD的中点为A3，DE的中点为A4，E A4 A3

连结A1A3，A2A4，M是A1A3的中点，N是A2A4的中点，

M N MNA1

则＝___________. AEC 在正四面体ABCD中，点M、P分别是AD、CD的中点，点A2 B N、Q分别是△BCD、△ABC的中心．则直线MN于PQ的夹角的余弦值为 ．

1； 18长方形ABCD的长AB是宽BC的23倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合折痕线EF、GH分别交原对角线AC于M、N，则折后截面AMN与底面AFH所成的角是 ．

一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为V1，圆柱的体积为V2，且V1?kV2，则k的最小值是

4 3在四面体P?ABC中，PA=PB=a，PC=AB=BC=CA=b，且a＜b，则范围为 ??2?3,1??；

a的取值b??同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为?、?，则tan(?＋?)的值是 ．?43R 3a已知空间三个平面?//?//?，?在?与?之间，?与?的距离为4?，?与?的距离为2a，又边长为9a的正三角形ABC，A在平面?内，B在平

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面?内，C在平面?内，AC交平面?于D，则?ABC所在平面与这三个平面所成的锐角是 。

如图，直三棱柱ABC－A'B'C'中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，AA'＝2，连结A'B，A'C，则侧面A'BC与面A'AB所成角的正切值为___________.

长方体的底面积是4，对角线长也是4，则长方体的侧面积的最大值为 三．解答题

单位正方体ABCD?A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M．

（1）求证：AN、B1M为异面直线；

（2）求出AN与B1M的夹角．（2）arccosA' C'

B'

C A B

2． 3求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积 在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．arccosb2?c2a2

若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)

三棱柱P—ABC的侧面和底面都成45°角，△ABC的一个内角B=60°，两边a、c是方程3x2 – 27x +32 =0的两根，求此三棱锥的高。

在三棱锥A—BCD中，DB=a，DC=b，又知∠DAB+∠BAC+∠DAC=90°，∠ADB=∠BDC=∠ADC=90°试求在三棱锥A—BCD内所容体积最大的球的半径。

若四面体相对棱中点的3条连线都相等，则这个四面体的对棱两两垂直。 过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求

S最大S最小之值

23 3证明：存在4条两两异面的直线，使得没有任何直线能与之同时相交。

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面?内，C在平面?内，AC交平面?于D，则?ABC所在平面与这三个平面所成的锐角是 。

如图，直三棱柱ABC－A'B'C'中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，AA'＝2，连结A'B，A'C，则侧面A'BC与面A'AB所成角的正切值为___________.

长方体的底面积是4，对角线长也是4，则长方体的侧面积的最大值为 三．解答题

单位正方体ABCD?A1B1C1D1中，正方形ABCD的中心为点M，正方形A1B1C1D1的中心为点N，连AN、B1M．

（1）求证：AN、B1M为异面直线；

（2）求出AN与B1M的夹角．（2）arccosA' C'

B'

C A B

2． 3求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积 在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．arccosb2?c2a2

若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18)

三棱柱P—ABC的侧面和底面都成45°角，△ABC的一个内角B=60°，两边a、c是方程3x2 – 27x +32 =0的两根，求此三棱锥的高。

在三棱锥A—BCD中，DB=a，DC=b，又知∠DAB+∠BAC+∠DAC=90°，∠ADB=∠BDC=∠ADC=90°试求在三棱锥A—BCD内所容体积最大的球的半径。

若四面体相对棱中点的3条连线都相等，则这个四面体的对棱两两垂直。 过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求

S最大S最小之值

23 3证明：存在4条两两异面的直线，使得没有任何直线能与之同时相交。

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