循环小数及较复杂的小数四则计1

循环小数及较复杂的小数四则计算

内容提要：

1. 循环小数转化成分数的方法。（1）纯循环小数化成分数，其分子是第一个循环节的数字

组成的数，分母由9组成，9的个数等于循环节的位数。 (2)混循环小数化成分数，其分子是小数点右边第一个数字写到第一个循环节末位的数字组成的数减去不循环数字组成的数所得的差，分母是数字9和0所组成的数，9的个数等于循环节的位数。

2.等差数列求和公式。

等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1

3.循环小数自身的特点决定了它往往与分数计算、周期问题密切联系。

.....9999994.0.9 ==1,0.99 ==1，0.999==1﹍

999999.例1：计算5.04×0.25?154。（浙江省小学数学夏令营试题） 【简析】先将循环小数转化为分数，再约分计算。

..25×154 9925 =5.04×?154

9?11解：原式 =5.04×

=196

例2:6÷7的商的小数点后面第1000个数是几？这1000个数字的和是多少？

【简析】6÷7=0.857142，商是一个纯循环小数。循环节有6位，只要算出1000里有几个6，余下几，小数点后第1000个数是循环节中第几位数字。

解：因为6÷7=0.857142，1000÷6=166?4，所以6÷7的商小数点后面第1000个数是第166+1=167个循环节中第4个数字，即1.这1000个数字的和是：（8＋5＋7＋1＋4＋2）×166+（8＋5＋7＋1）=4503.

答：第1000个数是1，这1000个数字的和是4503.

例3：计算87878787×0.88??8÷1010101÷0.111??1 10个8 10个1

【简析】87878787可分解为87×1010101，运用交换律及添括号的方法可简算。 解：原式=（87878787÷1010101）×（0.88??8÷0.111??1）

10个8 10个1

=87×8 =696

例4;把小数0.8702531变成循环小数，要使第100位上的数是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字上面。

【简析】把小数0.8702531变成循环小数，循环节的末位一定是1，否则就不成为一个循环小数。要是第100位上的数是5，那么第101位是3，第102位是1，在这第102位中减去最

....初的“8702531”7位，剩下95位应正好包含若干个完整的循环节。

解：因为100+2-7=95,95=5×19.所以，循环节应是5位，即表示循环节的两个点应分别在0和1上面。

答：表示循环节的两点应加在0和1上面。

例5：划去小数0.46572391后面若干位数字，再添上表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，例如;0.46572,请找出这样的小数中最大的和最小的。

【简析】要使新产出的循环小数尽可能大，必须使循环节的第一个数字比划去的第一个数字大，并且尽可能大。反之亦然。

解:最大的循环小数是：0.4657;最小的循环小数是0..46

例6：计算20.04+20.03-20.02-20.01+20+19.99-19.98-19.97+?+0.04+0.03-0.02-0.01. 【简析】观察棵发现，若将每4个数分成一组，（20.04+20.03-20.02-20.01）每组得数都等于0.04最后将每组得数加起来。

解：原式=(20.04+20.03-20.02-20.01)+（19.99-19.98-19.97）+?+（0.04+0.03-0.2-0.1）=0.04+0.04+??+0.04=20.04 501个0.04 例7：计算：

......0.076923?0.230769?0.307692?0.692307?0.769230?0.923076（浙江省小学数学夏令营试题） 【简析】观察可发现：

..................0.076923?0.923076?0.999999?1,运用交换律可简算。

...........解：原式?(0.076923?0.923076)?(0.230769?0.769230)?(0.307692?0.692307=1+1+1=3

例8：计算0.1+0.2+0.3+??+0.8+0.9+0.10+0.11+??+0.98+0.99+0.100（江苏省小学数学竞赛试题）

【简析】先分组，前9个一位小数组成一个等差数列，公差为0.1，项数为9，中间90个两

位小数也组成一个等差数列，公差为0.01，项数为90，最后还有一个三位小数0.100，三组数的和再相加。

解：原式=（0.1+0.2+??+0.8+0.9）+（0.10+0.11+??+0.98+0.99）+0.100=（0.1+0.9）

×9÷2+（0.10+0.99）×90÷2+0.100=405+49.05+0.1=53.65 例9：计算：0.1?0.2?0.3??+0.88?0.89（江苏省小学数学竞赛试题） 【简析】因为0.9...........?1，所以前9个循环小数可分组，

.......0.1?0.8?0.2?0.7?0.3?0.6?0.4?0.5?0.9?1，进行计算。后面80个两位

循环小数可先化成分数，再用等差数列求和的方法计算。 解：原式=(0.1?0.2?0.3??

...0.9)?.101189(10?89)?80?2?????)?5??5?40?45 99999999课后练习

1. 把下面循环小数化成分数：

.....（1）0.7 （2）0.13 （3）0.478 （4）5.123 2.计算：0.1?0.2?0.3???0.8?0.9

3在循环小数6.72016953的某一位再添上一个表示循环节的点后，分别求出最大和最小的循环小数。

4.在循环小数0.38492617中，小数点后第100位的数是几？

5.计算：0.16?0.16（结果写成分数）

（2005年第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试题）

6.计算：0.11?0.21?0.31?0.41?0.51?0.61?0.71?0.81?0.91

7.计算：

...........................

.......(0.91?0.82?0.73?0.64)?(0.1?0.2?0.3?0.4.

8.计算：18.9×276.276+0.36-27.6×189.189

9.在括号中填上合适的数，使等式能够成立。 0.6+0.06+0.006+?=2004÷（ ）

（第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题）

110.计算：（0.3?0.1875?）×65

400

11.0.96-0.92+0.88-0.84+0.80-0.76+0.72-0.68+0.64-0.60= (2004年浙江省数学夏令营试题)

12.比较0.6182,0.6182,0.6182,0.6182,0.6182的大小 （ ）<( )<( )<( )<（ ）

（2004年浙江省数学夏令营试题）

.13.x÷7=0.ABCDEF,那么A+B+C+D+E+F等于多少？

........

14.在循环小数

0.0123456中，移动表示循环节的圆点，使新的循环小数小数点后面第

.200位上的数字是4，那么新的循环小数是多少？

..B15在下面的算式中，A、B是两个自然数，C.D.E.F代表四个不同的数字，=0.CDEF,

A那么（A+B）的最小值为多少？（2003年ABC卷试题）

16.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+?0.99

17.计算：124.124124÷37×111÷1.001001

18.计算：

0.123?0.321?0.234?0.432?0.345?0.543?0.456?0.654?0.567?0.765?0.678?0.876 ........................

19.在小数2.71828365的末尾划去若干位数字，填上表示循环节的两个小圆点，得到一个循环小数，例如：

.2.71828，请找出这样小数中最大和最小的小数。

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