2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科A

2016届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学（理科A卷）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.若复数z?2i1?i（i是虚数单位），则z?( ) A．?1?i B．?1?i C．1?i D．1?i

2.已知集合A?{x|x2?5x?6?0}，B?{x|?3?x?3}，则A?B?( ) A．(?3,3) B．(?3,6) C．(?1,3) D．(?3,1)

?x?1?03.设变量,y满足约束条件??x?2y?2?0，则目标函数z?3x?4y的最小值为( )

??2x?y?2?0A．1 B．3 C．

265 D．?19 4.函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0)的部分图像如右图所示，则f(11?24)的值为( ) A．?62 B．?32 C．?22 D．?1

5.程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为( ) A．

18 B．1 C．2 D．4 - 1 -

6.为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论： 甲 9 乙 9 8 2 6 8 0 3 1 1 2 1 ①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温 ②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温 ③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差 ④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差 其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

y27.过点A(0,1)作直线，与双曲线x??1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( )

92A．0 B．2 C．4 D．无数

8.如图所示的数阵中，用A(m,n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15,2)为( ) A．

2971773 B． C． D．

101024224 - 2 -

9.已知函数y?f(x?2)的图象关于直线x??2对称，且当x?(0,??)时，f(x)?|log2x|，若

1a?f(?3)，b?f()，c?f(2)，则a,b,c的大小关系是( )

4A．a?b?c B．b?a?c C．c?a?b D．a?c?b

10.某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( ) A．4 B．

1620 C． D．12 33

11.A,B,C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于D，若OC??OA??OB（??R,??R），则???的取值范围是( )

A．(0,1) B．(1,??) C．(1,2] D．(?1,0)

12.如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计）.一个平面与两乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为( ) A．

152611 B． C． D． 4554 - 3 -

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.(x?16)的展开式中常数项为 . 4x??x1?sin,?1?x?014.已知函数f(x)??，且，则x的值为 . f(x)??22??log2(x?1),0?x?115.已知?ABC中，AC?4,BC?27,?BAC?60,AD?BC于D，则

32?BD的值为 . CD16.若函数f(x)?x?ax?bx(a,b?R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m?0)，且f(x)的极大值为

1，则m的值为 . 2三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

18.（本小题满分12分）

在平面四边形ACBD（图①）中，?ABC与?ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB?2，将?ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C'?ABC，且使C'D?2. ?BAD?30?，?BAC?45?，（Ⅰ）求证：平面C'AB?平面DAB； （Ⅱ）求二面角A?C'D?B的余弦值.

- 4 -

C'

C

A B

A B

①

D

②

D

19.（本小题满分12分）

某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：

（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；

（Ⅱ）在某场比赛中，考察他前4次投篮命中到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分.用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望. 20. （本小题满分12分）

已知抛物线C：y?2px(p?0)过点M(m,2)，其焦点为F，且|MF|?2. （Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：

2(x?1)2?y2?1相切，切点分别为A,B，求证：直线AB过定点.

21. （本小题满分12分）

已知f(x)?e?ax?2x?b（e为自然对数的底数，a,b?R）.

（Ⅰ）设f'(x)为f(x)的导函数，证明：当a?0时，f'(x)的最小值小于0； （Ⅱ）若a?0,f(x)?0恒成立，求符合条件的最小整数b.

x2请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

- 5 -

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆.

（Ⅰ）证明：AE//CD；

（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC?CF?FD?3，求四边形PBFA的外接圆的半径.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线C1：??2cos?和曲线C2：?cos??3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x|?|x?1|.

（Ⅰ）若f(x)?|m?1|恒成立，求实数m的最大值M；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a,b满足a2?b2?M，证明：a?b?2ab.

2016届高三数学一模理科答案

一．选择题：

A卷答案：1-5 BCBDA 6-10 CCCBB 11-12 BA B卷答案：1-5 ACADB 6-10 CCCAA 11-12 AB

- 6 -

二．填空题： 13.. ?5114. ?

1633 215. 6 16. 三、解答题：

?2a2?a3?a5=4a1+8d=20?17. 解：（I）由已知得?， -------------------------------2分 10?910a1+d=10a1+45d=100??2?a1?1解得?，-------------------------------4分

d?2?所以{an}的通项公式为an?5?2(n?3)?2n?1，--------------------------------5分 （II）由（I）可知an?bn?(2n?1)?22n?1，

所以Sn?1?21?3?23?5?25?????(2n?3)?22n?3?(2n?1)?22n?1，①

4Sn?1?23?3?25?5?27?????(2n?3)?22n?1?(2n?1)?22n?1，②---------------------7分

①-②得：?3Sn?2?2?(23?25?????22n?1)?(2n?1)?22n?1

2?2?(23?25?????22n?1)?(2n?1)?22n?1 ?Sn?………………9分

?38(1?4n?1)2?2?()?(2n?1)?22n?11?4 ??3?6?2?8(1?4n?1)?(6n?3)?22n?1?---------------------11分

910?(6n?5)?22n?1?--------------------------12分

918. 解：（1）取AB的中点O，连C?O,DO，

在RT?ACB,RT?ADB，AB?2，则C?O?DO?1，又?C?D?2，

?C?O2?DO2?C?D2，即C?O?OD，…………2分

又?C?O?AB，AB?OD?O，AB,OD?平面ABD

?C?O?平面ABD，…………………4分

- 7 -

又?C?O?平面ABC?

?平面C?AB?平面DAB

…………5分

（2）以O为原点，AB，OC?所在的直线分别为y,z轴，建立如图空间直角坐标系，

则A(0,?1,0),B(0,1,0),C?(0,0,1),D(31,,0)， 22???????????????31?AC??(0,1,1),BC??(0,?1,1),C?D?(,,?1)…………6分

22??????????????????????n1?AC??n1?AC??0设平面AC?D的法向量为n1?(x1,y1,z1)，则???，即， ??????????????????n1?C?D?n1?C?D?0?y1?z1?0

?，令z1?1，则y1??1，x1?3， ?31

x1?y1?z1?0??22????n1?(3,?1,1)…………8分

???????????????????????n2?BC?n2?BC??0设平面BC?D的法向量为n2?(x2,y2,z2)，则???， ??????，即????????????n2?C?D?n2?C?D?0??y2?z2?03?z?1y?1，令，则，， x??322213x2?y2?z2?0??22???3?n2?(,1,1)………………10分

3???????cosn1,n2?3?3?(?1)?1?1?111053， ??35173?1?1??1?15?33- 8 -

二面角A?C?D?B的余弦值为-105.……………12分 3519.解：（I） 设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x， ∵0.05?2?0.10?0.20?0.5，且(0.40?0.20)?1?0.6?0.5，

∴x?[4,5] …………………2分

随机变量?的所有可能取值为-4，-2,0,2,4； …………………………………8分

16216?2?32133，P(X?2)?C4 ()()?P?X??4?????562555625??961233 P(X??2)?C4()()?5562521622232； P(X?0)?C4()()?5562521632133 P(X?2)?C4()()?55625481?3? P?X?4?????625?5?4X P

-4 -2 0 2 4 16 62596 625216 625216 62581 625 …………………10分

1696216216814

EX???4???(?2)??0??2??4??6256256256256255…………………12分

20.解：（1）抛物线C的准线方程为：x??p， 2?|MF|?m?pp?2，又?4?2pm，即4?2p(2?)--------------------2分 22?p2?4p?4?0,?p?2

抛物线C的方程为y?4x. -------------------4分

- 9 -

2（2）设点E(0,t)(t?0)，由已知切线不为y轴，设EA:y?kx?t

联立??y?kx?t2?y?4x，消去y，可得kx?(2kt?4)x?t?0

222?直线EA与抛物线C相切，???(2kt?4)2?4k2t2?0，即kt?1

代入

12x?2x?t2?0，?x?t2，即A(t2,2t)--------------------------------------6分 2t设切点B(x0,y0)，则由几何性质可以判断点O,B关于直线EF:y??tx?t对称，则

?y0t?0?2t2???1x???2t22t?0t2?1?x00?1，解得：，即B(,)-------------------------------8分 ??22t?1t?12t?y??y0??t?x0?t0??t2?1??22思路1：直线AB的斜率为kAB?直线AB的方程为y?整理y?2t(t??1) 2t?12t2(x?t)?2t，--------------------------------------10分 2t?12t(x?1) t2?1?直线AB过定点恒过定点F(1,0)--------------------------------------11分

当t??1时，A(1,?2),B(1,?1)，此时直线AB为x?1，过点F(1,0). 综上，直线AB过定点恒过定点F(1,0)--------------------------------------12分

思路2：直线AF的斜率为kAF?2t(t??1)， 2t?1直线BF的斜率为kBF2t?022t?t?21?2(t??1)，

2tt?1?12t?1?kAF?kBF，即A,B,F三点共线--------------------------------------10分

当t??1时，A(1,?2),B(1,?1)，此时A,B,F共线. --------------------------------------11分

?直线AB过定点F.--------------------------------------12分

21. 解：（Ⅰ）证明：令g(x)?f?(x)?e?2ax?2,则g?(x)?e?2a

xx - 10 -

因为a?0，令g?(x0)?0，x0?ln2a

所以当x?(??,ln2a)时，g?(x)?0，g(x)单调递减；

当x?(ln2a,??)时，g?(x)?0，g(x)单调递增--------------------2分

则f?(x)min?g(x)min?g(ln2a)?eln2a?2aln2a?2=2a?2aln2a?2--------------------3分 令G(x)?x?xlnx?2，(x?0)

G?(x)?1?(lnx?1)??lnx

当x?(0,1)时，G?(x)?0，G(x)单调递增 当x?(1,??)时，G?(x)?0，G(x)单调递减

所以G(x)max?G(1)??1?0，所以f?(x)min?0成立. --------------------5分

（Ⅱ）证明：f(x)?0恒成立，等价于f(x)min?0恒成立 令g(x)?f?(x)?e?2ax?2，则g?(x)?e?2a 因为a?0，所以g?(x)?0，所以g(x)单调递增，

又g(0)??1?0，g(1)?e?2a?2?0，所以存在x0?(0,1)，使得g(x0)?0---------------------6分 则x?(??,x0)时，g(x)?f?(x)?0,f(x)单调递减；

xxx?(x0,??)时，g(x)?f?(x)?0,f(x)单调递增；

2所以f(x)min?f(x0)?e0?ax0?2x0?b?0恒成立.........(1)

x且e0?2ax0?2?0...........(2)

xxex0?1)?2x0?(0?1)ex0?x0即可-----------------8分 由（1）（2）,b??e?ax?2x0??e?x0(22x020x0ex0?2?0，所以x0?(0,ln2)---------------------9分 又由（2）a?2x0令m(x)?(?1)ex?x,x?(0,ln2)

x2n(x)?m?(x)?1(x?1)ex?1 2- 11 -

n?(x)?1xxe?0， 2所以n(x)?n(0)?1?0所以m(x)单调递增， 2，

m(x)?m(0)?(?1)e0??1，

m(x)?m(ln2)?(ln2?1)eln2?ln2?2ln2?2---------------------11分2

所以b??1，所以符合条件的b=0---------------------12分

法2：令x?0,f(0)?1?b?0,b??1，故符合条件的最小整数b?0.-------------------6分

x2现证明b?0时，f(x)?0 求f(x)?e?ax?2x的最小值即可

令g(x)?f?(x)?e?2ax?2，则g?(x)?e?2a 因为a?0，所以g?(x)?0，所以g(x)单调递增，

又g(0)??1?0，g(1)?e?2a?2?0，所以存在x0?(0,1)，使得g(x0)?0 则x?(??,x0)时，g(x)?f?(x)?0,f(x)单调递减；

xxx?(x0,??)时，g(x)?f?(x)?0,f(x)单调递增；

2所以f(x)min?f(x0)?e0?ax0?2x0x

.(1)

且e0?2ax0?2?0...........(2)

xf(x)min?f(x0)?ex0?x0x0x(e?2)?2x0?(1?0)ex0?x0---------------8分 22ex0?2又由（2）a??0，所以x0?(0,ln2)---------------9分

2x0现在求函数p(x)?(1?)ex?x,x?(0,ln2)的范围

x211q(x0)?p?(x)?(1?x)ex?1，q?(x0)??xex?0，

221所以q(x)?q(0)???0，所以p(x)单调递减，

2p(x)?p(0)?(?1)e0?1

ln2ln2p(x)?p(ln2)?(1?)e?ln2?2?ln2?0-------------11分

2

所以b=0是符合条件的. -------------12分 选做题：

- 12 -

22.解：（I）连接AB,

?P、B、F、A四点共圆，

．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ??PAB??PFB． ．

又?PA与圆O切于点A, ??PAB??AEB,．．．．．．．．．．．．．4分

??PFB??AEB

．．．．．．．．．．．．5分 ?AE//CD.．

（II）因为PA、PB是圆O的切线，所以P、B、O、A四点共圆， 由?PAB外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆， 四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆， ．．．．．．．．．．．．7分 ?OP是该外接圆的直径. ．

由切割线定理可得PA2?PC?PD?3?9?27．．．．．．．．．．．．．9分

?OP?PA2?OA2?27?25?213.

．．．．．．．．．．．10分 ?四边形PBFA的外接圆的半径为13. ．

23解：（I）C1的直角坐标方程为?x?1??y2?1， ．．．．．．．．．．．．2分 ．．．．．．．．．．．．4分 C2的直角坐标方程为x?3；

（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A,

2?PQ?OP,?PQ过点A(2,0),

?x?2?tcos?设直线PQ的参数方程为??t为参数?，

y?tsin??代入C1可得t?2tcos??0,解得t1?0或t2??2cos?， 可知|AP|?|t2|?|2cos?|．．．．．．．．．．．．6分 代入C2可得2?tcos??3,解得t/?可知|AQ|?|t/|?|21， cos?1．．．．．．．．．．．8分 |．

cos?11所以PQ=|AP|?|AQ|?|2cos?|?||?22,当且仅当|2cos?|?||时取等号，

cos?cos?

- 13 -

所以线段PQ长度的最小值为22.．．．．．．．．．．．．10分

?1?2x, x?0?24.解：（I）由已知可得f(x)??1, 0?x?1，

?2x?1, x?1?所以fmin(x)?1， ．．．．．．．．．．．．3分 所以只需|m?1|?1，解得?1?m?1?1，

?0?m?2，

所以实数m的最大值M?2. ．．．．．．．．．．．．5分 （II）法一：综合法

?a2?b2?2ab

?ab?1

?ab?1，当且仅当a?b时取等号，①．．．．．．．．．．．．7分

又?ab?a?b 2?ab1? a?b2abab，当且仅当a?b时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分 ?a?b2ab1．．．．．．．．．．．10分 ?，所以a?b?2ab.．

a?b2?由①②得，?法二：分析法因为a?0,b?0,

所以要证a?b?2ab，只需证(a?b)?4ab， 即证a2?b2?2ab?4a2b2，

- 14 -

222．．．．．．．．．．．．7分 ?a2?b2?M，所以只要证2?2ab?4a2b2，即证2(ab)2?ab?1?0，

即证(2ab?1)(ab?1)?0，因为2ab?1?0，所以只需证ab?1， 下证ab?1，

因为2?a2?b2?2ab，所以ab?1成立， 所以a?b?2ab．．．．．．．．．．．．10分

- 15 -

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