2022年高考物理二轮专项训练卷 专题10 万有引力与航天(含解析)

专题10 万有引力与航天

1.某研究小组用天文望远镜对一颗行星进行观测，发现该行星有一颗卫星，卫星在行星的表面附近绕行，并测得其周期为T ，已知引力常量为G ，根据这些数据可以估算出 （ ）

A ．行星的质量

B ．行星的半径

C ．行星的平均密度

D ．行星表面的重力加速度

【答案】：C

【解析】：卫星以周期T 在行星的表面附近绕行，g m R T

m R Mm G '==22

24π 2

3334GT R M

ππρ==,可见选项C 正确。 2.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比（ ）

A ．轨道半径变小

B ．向心加速度变小

C ．线速度变小

D ．角速度变小

【答案】：A

【解析】：由开普勒定律知,C r T =32变轨后在周期变小，则轨道半径变小，A 正确；,r

M G a 2=向心加速度变大，B 错；,r v m r Mm G 2

2=,r GM v =线速度变大，C 错；,r

v ω=角速度变大，D 错。 3.把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周。由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求（ ）

A ．火星和地球的密度比，

B ．火星和地球绕太阳运行速度大小之比。

C ．火星和地球到太阳的距离之比

D ．火星和地球表面的重力加速度比，

【答案】BC

【解析】：由万有引力定律等于向心力得，r T πm r v m r Mm G 2

2224== ，GM r πT 3224=由周期之比可求轨道半径之比，即火星和地球到太阳的距离之比，C 正确；由，T

r v π2=可求火星和地球绕太阳运行速度大小之比，B 正确；重力加速度,R Gm g 2

=密度,R πm ρ343=由于不知道火星和地球的质量之比和半径之比，A 、D 错。

4.(多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫星、月球绕地球运行周期分别为

T 卫、T 月，地球自转周期为T 地，则(

)

A ．T 卫

B ．T 卫>T 月

C ．T 卫

D ．T 卫＝T 地

【答案】： AC

【解析】： 设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地运行的轨道分别为r 卫、r 同和r 月，因r 月>r 同>r 卫，

由开普勒第三定律

r 3

T

2＝k 可知，T 月>T 同>T 卫，又同步卫星的周期T 同＝T 地，故有T 月>T 地>T 卫，选项A 、C 正确。

5.(多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )

A ．从P 到M 所用的时间等于T 04

B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大

C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小

D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功

【答案】： CD

【解析】： A 错：由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等。B 错：由机械能守恒定律知，从Q 到N 阶段，机械能守恒。C 对：从P 到Q 阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小。D 对：从M 到N 阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功。

6.(2018·黑龙江省五校高三联考)如图所示，A 为近地气象卫星，B 为远地通讯卫星，假设它们都绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R ，卫星A 距地面高度可忽略不计，卫星B 距地面高度为h ，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是( )

A ．若两卫星质量相等，发射卫星

B 需要的能量少

B ．卫星A 与卫星B 运行周期之比为R 3R ＋h 3

C ．卫星A 与卫星B 运行的加速度大小之比为R ＋h R

D ．卫星A 与卫星B 运行速度大小之比为

R ＋h R 【答案】： D

【解析】： 虽然卫星B 的速度小于卫星A 的速度，但卫星B 的轨道比卫星A 的高，所具有的引力势能大，所以发射卫星B 需要的能量大，A 错误；根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即卫星A 与卫星B 运行周期之比为

R 3R ＋h 3，则B 错误；由GMm r 2＝ma ，则a ＝GM r 2，所以卫星A 与卫星B 运行的加速度大小之比为R ＋h 2R 2

，C 错误；由GMm r 2＝mv 2r ，得v ＝ GM r ，卫星A 与卫星B 运行速度大小之比为 R ＋h R

，所以D 正确。 7.(多选)(2018·河南郑州一模)2017年4月10日，三名宇航员在国际空间站停留173天后，乘坐“联盟MS －02”号飞船从国际空间站成功返回地球，并在哈萨克斯坦杰兹卡兹甘附近着陆。设国际空间站在离地面高度约400 km 的轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球同步卫星轨道离地高度约36 000 km ，地球半径约6 400 km 。下列说法正确的是( )

A ．飞船在返回地球的过程中机械能守恒

B ．经估算，国际空间站的运行周期约为90 min

C ．国际空间站的速度小于地球的第一宇宙速度

D ．返回时，需先让飞船与国际空间站脱离，再点火加速，然后即可下降

【答案】： BC

【解析】： 飞船在返回地球的过程中需要发动机做功控制速度，机械能不守恒，A 错误；根据万有引力提

供向心力，有GMm r 2＝m 4π2

T 2r ，解得T ＝ 4π2r 3GM ，可知T 1T 2＝ r 31r 32

，国际空间站的轨道半径为6 800 km ，地球同步卫星的轨道半径为42 400 km ，地球同步卫星的周期为24 h ，可得国际空间站的运行周期约为90 min ，B 正确；地球的第一宇宙速度是所有地球人造卫星的最大环绕速度，所以国际空间站的速度小于地球的第一宇宙速度，C 正确；返回时，需先让飞船与国际空间站脱离，然后减速才可下降，D 错误。

8.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )

A.n 3

k 2T B ．n 3

k

T

C.n2

k T D

．

n

k T

【答案】： B

【解析】：双星间的万有引力提供向心力。

设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。

对质量为m的恒星：G

Mm

L2＝m?

?

?

?

2π

T2·r

对质量为M的恒星：G

Mm

L2＝M?

?

?

?

2π

T2(L－r)

得G

M＋m

L2＝

4π2

T2·L

即T2＝

4π2L3

G M＋m

则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝

n3

k T，选项B正确。

9.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则()

A．每颗星做圆周运动的线速度为

Gm

R

B．每颗星做圆周运动的角速度为

3Gm

R3

C．每颗星做圆周运动的周期为2π

R3

3Gm

D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

【答案】：ABC

【解析】：每颗星受到的合力为F＝2G

m2

R2sin 60°＝3G

m2

R2，轨道半径为r＝

3

3R，由向心力公式F＝ma＝m

v2

r＝mω

2r＝m

4π2r

T2，解得a＝

3Gm

R2，v＝

Gm

R，ω＝

3Gm

R3，T＝2π

R3

3Gm，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确。

10.(多选)(2018·西安市质检)2013年4月出现了“火星合日”的天象。“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示，已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知()

A．“火星合日”约每1年出现一次B．“火星合日”约每2年出现一次

C．火星的公转半径约为地球公转半径的3

4倍

D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍

【答案】：BC

【解析】：由开普勒定律可得：

R3火

T2火

＝

R3地

T2地

，

R火

R地

＝

3T2

火

T2地

＝

3

4，选项C正确，选项D错误；地球绕太阳的公转周期为1年，根据“火星合日”的特点，可得

2π

T地

t－

2π

T火

t＝2π，可得：t＝

T地×T火

T火－T地

＝2年，选项A错误，选项B 正确。

11.我国于2016年9月15日发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船于10月19日凌晨与“天宫二号”对接成功。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

【答案】： C

【解析】：对于绕地球做圆周运动的人造天体，由

GMm

r2＝m

v2

r，有v＝

GM

r∝

1

r

，可见v与r是一一对应的。在同一轨道上运行速度相同，不能对接；而从同一轨道上加速或减速时由于发生变轨，二者不能处于同一轨道上，亦不能对接，A、B皆错误。飞船处于半径较小的轨道上，要实现对接，需增大飞船的轨道半径，飞船加速则轨道半径变大，飞船减速则轨道半径变小，C正确，D错误。

12.(多选)GPS全球定位系统有24颗卫星在轨运行，每个卫星的环绕周期为12小时。系统的卫星与地球同步卫星相比较，下面说法正确的是()

A．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星的

2 2倍

B．GPS系统的卫星轨道半径是地球同步卫星的3 2 2

倍

C．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星的2倍

D．GPS系统的卫星线速度是地球同步卫星的

3

2倍

【答案】：BD

【解析】：万有引力是卫星围绕地球转动的向心力，由G

Mm

r2＝m?

?

?

?

2π

T2r得卫星运动的周期T＝2π

r3

GM，设GPS系统的卫星半径为r1，周期为T1，地球同步卫星半径为r2，周期为T2，根据周期公式解得

r1

r2＝

3

?

?

?

?

T1

T22＝

3

2

2，A错误，B正确；

v1

v2＝

2πr1

T1

2πr2

T2

＝

r1

r2·

T2

T1＝

3

2，C错误，D正确。

13.(2018·河北省保定市高三调研考试)如图所示，地球赤道上空人造卫星先沿椭圆轨道运行，其近地点P到地球中心的距离为r，远地点Q到地球中心的距离为8r，该卫星在远地点Q处点火变轨进入地球同步轨道，成为一颗沿圆轨道运行的地球同步卫星，下列说法中正确的是()

A．卫星在近地点和远地点的加速度之比为8∶1

B．卫星变轨前从P处运动到Q处的过程中，引力势能增加，机械能减少

C．卫星在远地点Q处变轨前瞬间加速度减小，速度变大

D．卫星在椭圆轨道运行的周期小于12小时

【答案】： D

【解析】：根据公式F向＝

GMm

R2＝ma，得卫星在近地点和远地点的加速度之比为(8r)

2∶r2＝64∶1，选项A 错误；卫星的机械能是动能与势能之和，只有变轨时才需对卫星做功，卫星在同一椭圆轨道运行时的机械能不变，选项B错误；卫星在远地点Q处需点火加速才能变轨进入地球同步轨道，但同一位置加速度不改变，故选项C错误；根据开普勒第三定律，所有行星的轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方成正比，有T21∶T22＝R31∶R32，又T2＝24 h，R2＝8r，R1＝4.5r，代入得卫星在椭圆轨道运行的周期为T1＝10.125

h<12 h ，选项D 正确。

14.(多选)随着地球资源的枯竭和空气污染(如雾霾)的加重，星球移民也许是最好的解决方案之一。美国NASA 于2016年发现一颗迄今为止与地球最类似的太阳系外的行星，与地球的相似度为0.98，并且可能拥有大气层和流动的水，这颗名叫Kepler-452b 的行星距离地球约1 400光年，公转周期约37年，它的半径大约是地球的1.6倍，重力加速度与地球相近。已知地球表面第一宇宙速度为7.9 km/s ，则下列说法正确的是( )

A ．飞船在Kepler -452b 表面附近运行时的速度小于7.9 km/s

B ．该行星的质量约为地球质量的1.6倍

C ．该行星的平均密度约是地球平均密度的58

D ．在地球上发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度 【答案】： CD 【解析】： 设

Kepler -425b 行星的半径为R ，飞船的质量为m ，第一宇宙速度为v ，由万有引力定律得，

mg ＝m v 2R ，解得v ＝gR ，则v K v 地＝ R K R 地＝ 1.6>1，故v K >7.9 km/s ，选项A 错误；设Kepler -425b 行星的质量为M ，由万有引力近似等于重力得，G Mm R 2＝mg ，解得M ＝gR 2G ，则M K M 地＝R 2K R 2地

＝2.56，选项B 错误；行星的密度ρ＝M 43

πR 3＝3g 4πRG ，则ρK ρ地＝R 地R K ＝58，选项C 正确；第三宇宙速度是卫星脱离太阳引力束缚的发射速度，由于该行星是太阳系以外的行星，因此发射航天器到达该星球，航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，选项D 正确。

15.(多选)如图所示，a 为静止在地球赤道上的一个物体，b 为绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，c 为地球的同步卫星，其轨道半径为r ，设地球半径为R ，下列说法正确的是( )

A ．b 与c 的周期之比为

r R B ．b 与c 的周期之比为R r R r

C ．a 与c 的线速度大小之比为R r

D ．a 与c 的线速度大小之比为

R r

【答案】： BC

【解析】： 对b 和c ，由万有引力定律和牛顿第二定律有

G Mm r 2＝mr ????2πT 2，得b 与c 的周期之比为R r R r ，选项A 错误，B 正确；a 和c 的角速度相同，由v ＝ωr 得，a 与c 的线速度大小之比为R r

，选项C 正确，D 错误。

16.(2016·全国乙卷·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )

A ．1 h

B ．4 h

C ．8 h

D ．16 h

【答案】： B

【解析】：万有引力提供向心力，对同步卫星有：GMm r 2＝mr 4π2T 2，整理得GM ＝4π2r 3

T

2 当r ＝6.6R 地时，T ＝24 h

若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R 地

三颗同步卫星A 、B 、C 如图所示分布

则有4π2 6.6R 地3T 2＝4π22R 地

3T ′2 解得T ′≈T 6

＝4 h ，选项B 正确。 17.我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T 。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。

A B C O O' D

E

【解析】：如图，O 和O / 分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A 是地月连心线OO / 与地月球面的公切线ACD 的交点，D 、C 和B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E 点。卫星在 运动时发出的信号被遮挡。 设探月卫星的质量为m 0，万有引力常量为G ，根据万有引力定律有

r T m r Mm G 222）（π= ① 12102102r T m r mm G

）（π= ② 式中，T 1是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得

3

121??

? ??=??? ??r r m M T T ③ 设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有 π

βα-=1T t ④ 式中， α＝∠CO / A ，β＝∠CO / B 。由几何关系得

r cos α＝R －R 1 ⑤

r 1cos β＝R 1 ⑥

由③④⑤⑥式得

)r R arccos r R R (arccos mr Mr T

t 111331--??=π ⑦ 评分参考：①②式各4分，④式5分，⑤⑥式各2分，⑦式3分。得到结果

)r R R arcsin r R (arcsin mr Mr T

t 111331--??=π 18.假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略。已知稳定的四星系统存在两种基本的构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道

运行。设每颗星体的质量均为m ，它们做圆周运动的半径为R ，试分别求出这两种情况下四星系统的运动周期T 1和T 2。（已知万有引力常量为G ）

【解析】：第一种情况，O 对A 的作用力为 2

12Gm F R

= ………① C 对A 的作用力为 2

2

3Gm F R '= ……… ② B 、 C 对A 的合力为 2

22

33Gm F R =…… ③ 故对A 有 2

1221

4F F m R T π+= …………… ④ 由①③④得 132(33)R T R Gm

π=+…………⑤ 第二种情况，D 对A 的作用力为 2

124Gm F R

= ……… ⑥

C 对A 的作用力为2

22Gm F R

'= ……… ⑦ B 、 C 对A 的合力为2

22

22Gm F R = …… ⑧ 故对A 有 2

1222

4F F m R T π+= ……… ⑨ 由①③④得 24(122)R T R Gm

π=+ …… ⑩ 19.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心距离分别为r A ＝8.0×104km 和r B ＝1.2×105 km 。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。

⑴求岩石颗粒A 和B 的线速度之比。

⑵求岩石颗粒A 和B 的周期之比。

B A

B C O

【解析】：这位同学的解答不正确，两颗卫星的角速度不相同。正确的解法如下：

⑴ 设土星质量为M 0，颗粒质量为m ，颗粒距土星中心距离为r ，线速度为v ，根据牛 顿第二定律和万有引力定律：r

mv r m GM 2

20= 解得： r GM v 0=对于A 、B 两颗粒分别有： 0A A GM v r =0B B

GM v r = 得： 2

6=B A v v ⑵设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T ，则： 2πr T v =

对于A 、B 两颗粒分别有： A A A 2πr T v =和B B B

2πr T v = 得： A B 269

T T = 20.2007年10月24日18时05分，在我国西昌卫星发射中心，长三甲运载火箭成功将“嫦娥一号”送上太空。

实现了中华民族千年飞天梦，它标志着我国载人航天技术有了新的突破。

(1)若长三甲运载火箭起飞时总质量为4300kg ，起飞推动力为4106.9?N ，运载火箭发射塔高100m 。假设运载火箭起飞时推动力不变，忽略空气阻力及运载火箭质量的变化，求长三甲运载火箭需多长时间才能飞离发射塔?

（2）10月25日17时55分，北京航天飞行控制中心按照预定计划，向在太空飞行的嫦娥一号卫星发出变轨指令，对其实施远地点变轨。指令发出130秒后，嫦娥一号卫星近地点高度由约200公里抬高到约600公里，第一次变轨圆满成功。把嫦娥一号卫星的运动看作匀速圆周运动，则嫦娥一号卫星在变轨前绕地球做匀速圆周运动的周期是多少?(将地球视作均匀球体，地球表面重力加速度g ＝10m/s 2，地球半径R ＝6400km ，结果保留两位有效数字)

【解析】：（1）s 04103410103410691002223

34..)/..((F-mg)/m h a h t =???-??=== （2）由万有引力定律有：h)(R )T πm(h)(R Mm G

+=+222及2gR GM = 代入相关数据：s 10351046101020104644326366223

2?=???+?=+=.).()..(gR

h)(R πT π

21.天文工作者观测到某行星的半径为R 1，自转周期为T 1，它有一颗卫星，轨道半径为R 2，绕行星公转周期为T 2。若万有引力常量为G ，求：

（1）该行星的平均密度；

（2）要在此行星的赤道上发射一颗质量为m 的近地人造卫星，使其轨道平面与行星的赤道平面重合，设

行星上无气体阻力，则对卫星至少应做多少功？

【解析】：（1）卫星与行星之间的万有引力提供卫星绕行星作圆周运动的向心力：

222

222R )T (m R m

GM π=行星 313

4R M πρ=行星又Θ 31

22323R GT R πρ=∴ （2）发射质量为m 的人造卫星在该行星的近地轨道，可以认为其轨道半径为R 1，万有引力提供向心力： 1

221R mv R m

GM =行星 该人造卫星在此行星表面随行星一转自转：1102T R v π= 该卫星要发射，至少应给它做功为卫星动能的增量：

2

1212122322202222121T R m R T R m mv mv W ππ-=-= 22.小玉所在的学习小组在研究了“嫦娥一号”相关报道后得知，绕月卫星在完成其绕月的伟大历史使命后，最终将通过撞击月球表面完成最后的多项科学使命，对此同学们做了相关的研究并提出了相应的问题。

（1）“嫦娥一号”探月卫星执行的一项重要任务就是评估月壤中氦3的分布和储量。两个氘核聚变生成一个氦3的核反应方程是：MeV 26323211.He H ++→，请在横线上写出相应粒子的符号。

（2）同学们提出若“嫦娥一号”以速率v 竖直撞击月球后，可弹回到距月球表面大约为h 的高度，设此过程动能损失了50%，则由此可推算出月球表面的重力加速度g′ 多大？

（3）设月球半径约为地球半径的1/4，月球的质量约为地球质量的1/81，不考虑月球自转的影响，在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？（地表处的重力加速度g 取10m/s 2，地球半径R =6400km ，计算结果保留两位有效数字）

【答案】：月球表面的重力加速度h

v g 42

='；在月球上发射一颗环月卫星，最小发射速度为1.8km/s 。 【解析】本题考查原子核反应方程、机械能守恒定律、万有引力定律、牛顿第二定律等知识。考查理解能

力、综合分析能力。

（1）n 1

（2）设竖直弹回的速度大小为v 2，则： %mv mv 502

121222?= 由机械能守恒定律可得： h g m mv '=222

1 两式联立解得： h

v g 42

=' （3）设地球、月球质量分别为M 1、M 2，地球、月球半径分别为R 1、R 2，卫星质量为m ，在地球、月球上

发射卫星的最小速度分别为v 1、v 2。

在地球表面附近，

121R v m mg = 最小发射速度km/s 810640010311

=??==s /m gR v 对地球近地卫星，根据万有引力定律有1212

11R v m R m M G = 对月球近地卫星，根据万有引力定律有22222

2R v m R m M G = 解①②两式得km/s 81881

4121122.s /km v R R M M v =?=?= 23.我国成功发射了“嫦娥一号”探测卫星，标志着中国航天正式开始了深空探测新时代．已知月球的半径约为地球的41，月球表面的重力加速度约为地球的6

1．地球半径R 地 = 6.4×103km ，地球表面的重力加速度g = 9.8m/s 2．求绕月球飞行的卫星的周期最短约为多少？（计算结果保留1位有效数字）

【解析】：绕月球飞行的卫星，轨道半径越小，则周期越短，因此周期最短的卫星在很靠近月球表面的

轨道上运行，轨道半径可看成月球的半径．

设月球的半径为R 月、月球表面的重力加速度为g 月, 卫星的最短周期为T ，则

月月mg R T

m =2)2(π 将4地月R R =，g g 6

1＝月代入可得

g

R T 232地π= 代入数据解得卫星的最短周期约为

T = 6×103s

24.10月24日，“中国嫦娥一号”告别“故乡”发射升空，开始出使月球的旅程。它首先被送入近地点200公里、远地点约5.1万公里、运行周期约为16小时的地球同步转移轨道, 在此轨道上运行总计数10小时之后，嫦娥一号卫星进行第１次近地点加速，将自己送入周期为24小时的停泊轨道上，在停泊轨道飞行３天后，嫦娥一号实施第２次近地点加速，将自己送入远地点高度12.8万公里、周期为48小时的大椭圆轨道，10月31日，嫦娥一号实施第３次近地点加速,进入远地点高度为38万公里的奔月轨道，开始向着月球飞去。11月5日，来到月球面前的高速飞行的嫦娥一号卫星放缓了自己的脚步，开始第一次“刹车”制动，以使自己被月球捕获，之后，经过第二次、第三次的制动，嫦娥一号卫星绕月运行的椭圆轨道逐步变为轨道周期127分钟、轨道高度200公里的环月轨道。月球的半径为1.7×106m ，则月球表面的重力加速度为多少？地球表面的重力加速度约为月球表面重力加速度的几倍？（地球表面g =9.8m/s 2）

【解析】： 嫦娥一号绕月球作圆周运动，由万有引力提供向心力，设轨道半径为r ，月球半径为R ，则

r m r

Mm G

22ω= 其中 T πω2= r=h+R 设月球表面重力加速度为g ′，对月球上质量为m ′的物体，有

'mg R

'Mm G =2 联立以上各式，可得

223

24R

T )h R ('g +=π 代入数据，可解得g ′=1.6m/s 2

地球表面重力加速度为月球表面重力加速度的倍数 6='

=g g k 25.欧洲科学家宣布在太阳之外发现了一颗可能适合人类居住的类地行星Gliese581c 。这颗围绕红矮星Gliese581运行的星球有类似地球的温度，表面可能有液态水存在，距离地球约为20光年，直径约为地球的

1.5倍 ，质量约为地球的5倍，绕红矮星Gliese581运行的周期约为13天。假设有一艘宇宙飞船飞临该星球表面附近轨道，下列说法正确是 （ ）

A ．飞船在Gliese581c 表面附近运行的周期约为13天

B ．飞船在Gliese581c 表面附近运行时的速度大于7.9km/s

C ．人在Gliese581c 上所受重力比在地球上所受重力大

D ．Gliese581c 的平均密度比地球平均密度小

【答案】BC

【解析】：周期的平方与轨道半径的3次方成正比，飞船在Gliese581c 表面附近运行的周期的周期应小于13天，A 错.

r v m r Mm G 22=, r GM v =, 15

151>==.rM MR v v 地地，v >v 1=7.9 km/s, B 对 mg r Mm G =2，15

15222>==.M r MR mg mg 地地地，C 对 334r M

πρ=，15

153地3地3地>==.M r MR ρρ，D 错 26.美国的一个研究小组宣布,他们在蛇夫星座中发现一颗富含水份的行星“GJl214b”。“GJl214b”距离地球约40光年，体积约为地球的2.7倍，质量约是地球的6.5倍，环绕着一颗比太阳小且温度低的红矮星运行，轨道半径为209万公里，公转周期为38小时。已知地球半径为6400km ，地球表面的重力加速度g 取9.8m/s 2，引力常量G 取6.67×10-11N·m 2·kg -2.由以上信息可估算出 （ ）

A ．红矮星的质量

B ．红矮星的密度

C ． “GJl214b”行星的质量

D ． “GJl214b”行星的密度

【答案】ACD

【解析】：行星环绕着红矮星运行有，,r T m r m M G

2224π行行红=,r T M 322G 4π=∴红 A 正确； 对地球的近地卫星有mg R m

M G =2

地地，所以，

地地2gR GM =可以求得地球的质量M 地和地球的密度ρ地；可进而求得“GJl214b”行星的质量m 行=6.5M 地，

“GJl214b”行星的密度地地地行行行ρρ27

6.527V 6.5V ===m m ，C 、D 正确. 2

7.火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍。根据以上数据，以下说法正确的是

A ．火星表面重力加速度的数值比地球表面小

B ．火星公转的周期比地球的长

C ．火星公转的线速度比地球的大

D ．火星公转的向心加速度比地球的大 【答案：AB

【解析】：由mg R

Mm G =2得2R M G g =，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的2/5，A 正确； 由r T πm r Mm G 22

24=得GM

r πT 32=，公转轨道半径大的周期长，B 对；

周期长的线速度小，(或由r

GM v =判断轨道半径大的线速度小)，C 错；

公转向心加速度2

r M

G

a =，D 错。本题考查万有引力定律及行星的运动，难度中等。 28.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像。图中坐标系的横轴是lg (T /T 0)，纵轴是lg (R /R 0);这里T 和R 分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T 0和R 0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是

【答案】：B

【解析】：根据开普勒周期定律，周期的平方与轨道半径的三次方成正比，

可知32kR T =，3

020kR T =，

两式相除后取对数，得：30

3

2

02R R lg

T T lg

=，

整理得：0

032R R lg T T lg

=，选项B 正确。 29.经过天文望远镜的长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。

现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者间相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。 （1）试计算该双星系统的运动周期T ；

1 2 3 0

R lg 0

T T lg A

1 2

3 0

R R lg 0

T T lg B

1 2

3 0

R R lg 0

T T lg C

1 2

3 0

R R lg 0

T T lg

D

（2）若实验上观测到运动周期为T′，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着密度为ρ的暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，并假定暗物质与星体间的相互作用同样遵守万有引力定律。试根据这一模型计算该双星系统的运动周期T ′。

【解析】：⑴242222L T

M L M G ?=π GM

L L T 2π=∴ ⑵242234222

322

L T M )L ()L (GM L M G ?'=?+ππρ )

L M (G L L T 3236πρπ+='∴ 30.牛顿在1684年提出这样一些理论：当被水平抛出物体的速度达到一定数值v 1时，它会沿着一个圆形轨道围绕地球飞行而不落地，这个速度称为环绕速度；当抛射的速度增大到另一个临界值v 2时，物体的运动轨道将成为抛物线，它将飞离地球的引力范围，这里的v 2我们称其为逃离速度，对地球来讲逃离速度为11.2km/s 。法国数学家兼天文学家拉普拉斯于1796年曾预言：“一个密度如地球而直径约为太阳250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不允许任何物体（包括光）离开它。由于这个原因，宇宙中有些天体将不会被我们看见。”这种奇怪的天体也就是爱因斯坦在广义相对论中预言的“黑洞（black hole ）” 。 已知对任何密度均匀的球形天体，v 2恒为v 1的2倍，万有引力恒量为G ，地球的半径约为6400km ，太阳半径为地球半径的109倍，光速c=3.0×108m/s 。请根据牛顿理论求：

（1）求质量为M 、半径为R 的星体逃离速度v 2的大小；

（2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径应为多少？

（3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，试通过计算分析，该恒星能否被我们看见。

【解析】：（1）R v m R

Mm G 212= R

GM v v 2212== （2） M 黑洞=10M 地球

对地球：地球

地球地球R GM v 22=；对黑洞：c R GM v >=黑洞黑洞黑洞22（c 为光速） 地球地球黑洞黑洞地球

黑洞地球地球黑洞22210v c v v R R R M R M ≥==

m 0890m )

10(3)10(11.2106400101028233222.c v R R =?????=≤地球地球黑洞 （3）R 恒星=248×109 R 地球，M 恒星=（248×109）3M 地球（密度相同） c .R GM R GM v >?=???=??==m/s 103.028m/s 10924810211109248228322）（地球

地球恒星恒星恒星 所以不能被我们看见 dy

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