数学广角数与形教案-数学六年级上第八章人教版

人教版 数学教案 六年级上册 第八章 数学广角 数与形

第八章 数学广角

数与形

1、 教学目标

1.1 知识与技能：

1．重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。

2.引导学生探究算式左边的加数与大正方形左下角的小正方形和其他“┐”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。

1.2过程与方法：

1.借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。

2.使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想

1.3情感态度与价值观：

在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题

能力得到培养。培养学生通过数与形结合来分析思考问题，从而感悟数形结合的思想，提高解决问题的能力。

2、 教学重点/难点/考点

2.1教学重点：

让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系。

2.2 教学难点：

体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。

2.3 考点分析：

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学生会利用图形来解决一些有关数的问题，把数与行结合起来解决问题可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。

3、专家建议

（1）重视“数”“形”之间的联系，重视找到解题规律。引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。

（2）借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题：从观察抽象的算式特点开始，先通过简单的计算找到得数规律，再借助多种几何图形直观验证计算过程及结果，使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。

（3）通过举一反三，培养数学能力：在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。

数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与行结合起来解决问题可使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。

4 、教学方法

情境演示、启发式教学法、 实践操作法。

5、教学用具

教具：正方形块 ，课件

学具：完全相同的小正方形纸卡若干

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6 、教学过程

6.1复习导入，引入新课（课件出示） 一、复习旧知：看谁算得又对又快 1.口算：

102＝ 100 82＝ 64 72＝

49 32＝9

（ 9 ）2＝81 （5 ）2＝25

（ 4 ）2＝16

2、说一说：在0除外的自然数中，奇数有哪些？偶数有哪些？

奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19...... 偶数有：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20......

3.算一算：

1＋3＋5 ＝（9 ） 1＋3＋5＋7＋9＝（ 25 ） 1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝（ 36 ）

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（ 100 ）

二、复习旧知：形图包含的数学问题——加减法

1.先观察图形，然后说一说图形中包含了什么数学问题？怎样解答？

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1）2＝1

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生：5－2=3（个）

师：有时，图形中包含有数学问题.

2. 复习旧知：形图包含的数学问题——利用线段图理解分数应用题

张东看一本200页的故事书，第一天看了这本书的1/4，第二天看了余下的1/3，第二天看了多少页？

200页

？页

第一天1/4 第二天余下1/3

3. 复习旧知：形图包含的数学问题——利用面积模型解释乘法分配律

(a+b) c=ac+bc

c a b 4.教师小结：(课件出示）

数与形， 本是相倚依， 焉能分做两边飞。

数缺形时少直观，形缺数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事休。 切莫忘，

几何代数统一体，永远联系莫分离。

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数与形密不可分，可用“数”来解决“形”，也可用“形”来解决“数”的问题，今天我们来深入

研究“数”与“形”（板书）

6.2探究新知

一、教学例1：（课件出示）

1.我们一起来看看这些图中图2和图3各有多少个像图1这样的小正方形？

生：图二中有四个图一这样的小正方形图三中有9个这样的小正方形？

2.同学们动动脑尝试用算式表示出每个图中小正方形的个数？

生：图一：1×1=1：图二2×2=4：图三：3×3=9。

3.观察这几个图形与计算出的得数（1,4,9）.你还有什么发现？

生：从图一开始小正方形的个数是在前一图基础上分别加3，加5.

师：根据学生的回答，把图中小正方形涂上不同的颜色进行演示。

4.如果我们把刚才同学们表示图中小正方形个数而列出的不同算式综合起来，会是什么样的呢？

生：1=1×1

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1+3=2×2=4

1+3+5=3×3=9

5.按照这样的规律图4会是什么样子？有几个这样的小正方形？

同桌两人合作，仿照黑板上的算式，一人说等号左边的部分怎么写，一人说等号右边部分怎么写，有困难可以在草稿上画一画图.

例1 观察一下，下面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。

1..观察例1中的这些题目，你有什么发现？

1=( 1 )2

2.学生汇报：

1+3= ( 2 )2 1+3+5=( 3 )2

生1：我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他?°L?±形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。 生2：我发现，从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。

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从1开始，连续奇数相加的和就等于加数个数的平方。（课件出示）

生3：大正方形左下角的小正方形和其他正方形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。 生4：左边加法算式里的加数都是奇数。 生5：有几个数相加，和就是几的平方。 生6：第几个图形就有几个数相加，和就是几的平方。

1=（ 1 ）2 1+3=（ 2 ）2 1+3+5=（ 3 ）2 ?? ??

师：根据这个同学的发现，想一想，第10个图中有多少个小正方形？第100个图中呢？

3.同学们非常善于观察和思考，学习中我们利用计算求出了图形中小正方形的个数，反过来直观的图形也更好地帮助我们理解了计算中各数的含义。

4.你能利用规律直接写一写吗？如果有困难，可以画图来帮助。

1+3+5+7=( 4 )的平方

1+3+5+7+9+11+13=( 7 )的平方

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1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 =9的平方

5.做一做：请你根据例1的结论算一算：（课件出示）

（1） 1+3+5+7+5+3+1=（25）

可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42 5＋3＋1＝ 32 42＋ 32 ＝25

（2）1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（85 ） 原式=7的平方+6的平方=85

二、教学例2：（课件出示例2）

例2 计算

1.观察与发现

这个算式你能发现什么规律？

1.从左往右看这些分数越来越小。 2.这些分数的分子都是1，分母都是偶数。 3.从第2个数开始，每个数是前一个数的1/2。 师：算式右边省略号表示什么意思？你准备怎么计算这道题？

生：意思是按照这样的规律写下去，加数有无数个。我准备先求出前两个加数的和，再用和去加第 3个加数，得数再去与第四个加数相加，以此类推。

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2.学生汇报进行计算 3.学生汇报：

1/2+1/4=3/4 3/4+1/8=7/8 7/8+1/16=15/16

课件出示：

1

＋ 2 3

＋ 4 7 8 15 16

?

1

4 1 8 1

＝ ＝

3 4 7 8 15 16 31 32

＋ ＋

16 1 32 ＝ ＝

我一个一个加下去看看，像有点规律：加下去，等号右边的分数越来越接近于1。 师：谁再来说说你加到了第几个加数，得数多少？

学生汇报，板书：32/32，63/64，127/128??

师：观察这些算式的得数，你有什么发现？ 生1：得数的分子与分母相差1.

生2：得数的分子与分母都越来越大，说明等分的份数越来越多，取得份数也越来越多，分子比分母只少一份。

生3：如果一直加下去，等号右边的分数会越来越接近1.

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4.思考：

可以画一个圆来帮助思考。用一个圆或一条线段表示“1”。

＝1

师：这个算式在图中表示什什么？（要求的结果就是涂色部分的面积） 课件出示：

生1：从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1. 生2：有些问题通过画图解决更直观。

5. 请用“形”来解释这个结果。

6.图形结合计算：（课件出示）

计算：

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6.3巩固练习：（课件出示）

1. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？

3 －1＝ 82

5 －3 ＝ 1622

7 －5 ＝ 242211 －9 ＝ 4022

照这样画下去，第5个图形最外圈有（ 40 ）个小正方形。

2.做一做：（课件出示）

下面每个图形中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？

红

1 2 3 4

色

：

蓝色： 8 10 12 14

照这样下去，第6个图形有（ 6 ）个红色小正方形 ，（ 18 ）个蓝色小正方形。第10个图

形有（ 10 ）个红色小正方形 ，（ 26 ）个蓝色小正方形。

3.看谁算得又对又快

11＝ 8＋ 16

4.运行图：

113＋ ＝ 8515 4 33167111＋ ＋ ＝ 2488

小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800 m远的公园健身中心，用时20分钟。妈妈到了健身中心后

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直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸爸是走回家中，用了15分钟。

下面几个图哪个是妈妈离家的时间和离家距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？ （一）读题。

看懂了吗？题目主要讲了一个什么事情？

（二）课件呈现一张图：你觉得这幅图表示的是谁走的？（妈妈） 追问：为什么？

（三）课件呈现其余两张。你觉得哪个是小兰，哪个是爸爸？

有时候图可以帮助我们直观地解决问题，有时候也能帮助我们分析问题， 理清题目意思。

5.想一想：为什么“a×b+a×c=a×(b+c)”？请画图来解释 （1）同桌交流。

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（2）独立完成，汇报订正。

6. 如下图，正方形的边长是a，如果边长增加b，使它变成一个更大的正方形，现在面积是多少？

6.4课堂小结

这节课的收获有哪些，知道了哪些数学问题？ 通过本课学习，在我们解决数学问题时，常用的数学方法中数形结合思想是最直观也是最美妙的，数和形有着十分密切的联系，在一定条件下可以互相转化、互相渗透。 我们知道数形结合的奇妙，在网上我们可以了解更多的趣味数字，像花朵数、巧数、金蝉脱壳数，它们神秘有趣，这正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，树形结合百般好，隔离分家万事休。

6.5板书设计

数与形

例1、1=（ 1 ）2

1+3=（ 2 ）2 1+3+5=（ 3 ）2

利用以上规律学生写出： 1+3+5+7=（ ）2

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1+3+5+7+9+11+13=（ ）2 ?? ??

例2、计算

111111++++++?=1

248163264

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