2014年高考理科数学总复习试卷第91卷题目及其答案

1 2014年高考理科数学总复习试卷第91卷题目及其答

案

一 选择题（每小题5分，共50分）

1. 已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则M N = （ ）

A ．?

B ．{}|0x x <

C ．{}|1x x <

D ．{}|01x x << 2．已知a 是实数，()(1)a i i -+是纯虚数（i 是虚数单位），则a =（ ）

A ．1

B ．－1 C

D

3

）

A ．23±

B ．23

C ．2

3- D ．21 4．设条件:0p a >；条件2:0q a a +≥，那么p 是q 的什么条件

（ ）. A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充分且必要条件

D ．非充分非必要条件

5．已知直线b a ,都在平面α外, 则下列推断错误的是（ ）

A ．αα////,//a b b a ?

B ．αα//,a b b a ?⊥⊥

C ．b a b a ////,//?αα

D ．b a b a //,?⊥⊥αα

6．方程223x x -+=的实数解的个数为( )

A ．2

B ．3

C ．1

D ．4

7．设等比数列{}n a 的公比2q =， 前n 项和为n S ，则

42

S a =（ ） A. 2 B. 4 C. 152 D. 172 8．已知向量(3,4)a =, (2,1)b =-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为（ ） A.233 B.323 C.2 D. 25

- 9．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是

边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那

第9题图)

2

么这个几何体的全面积为 （ ） A ．3

π2

B ．2π

C ．3π

D ．4π

10．函数)1x (f +是R 上的奇函数，0)]f(x -))[f(x x -(x R,x ,x 212121<∈?,则0)x 1(f >－ 的解集是（ ）

A )0,(-∞

B ),0(+∞

C )1,1(-

D ),1()1,(+∞?--∞

二．填空题：（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） （一）必做题（11～１３题）

11．对任意非零实数,a b ，若a b ?的运算原理如右

图程序框图所示，则32?= ． 12. 已知2()3(2),(2)f x x xf f ''=+则= .

13．已知,x y 满足条件0

20x y x x y k ≥??

≤??++≤?

（k 为常数） ，

若3z x y =+的最大值为8，则k = .

（二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分）

14.（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2

21

3

x y +=上的一个动点，则S x y =+的最大值为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形ABCD 中，

:1:2AE EB =, AEF ?的面积为6,

则ADF ?的面积为 .

三．解答题：(本大题共6小题，共80分，要求写出必要的解答过程) 16．（本小题满分12分）已知1tan 3α=-

，cos β=

,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值；

（2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．

（第15题图）

（

3

17.（本小题满分12分）某高校在某年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成

绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？

18．(本小题满分14分)

长方体1111ABCD A BC D -

中，1AA

2AB BC ==，O 是底面对角线的交点。

(Ⅰ) 求证：11//B D 平面1BC D ；

(Ⅱ) 求证：1

AO ⊥平面1BC D ； (Ⅲ)求三棱锥11A DBC -的体积。

19. （本小题满分14分）

已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且5102a a =.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .

4 20．(本小题满分14分)

已知抛物线方程2y mx =（m R ∈，且0m ≠）．

(Ⅰ)若抛物线焦点坐标为(1,0)，求抛物线的方程；

(Ⅱ)若动圆M 过(2,0)A ，且圆心M 在该抛物线上运动，E 、F 是圆M 和y 轴的交点，当m 满足什么条件时， ||EF 是定值．

21．（本题满分14分）

已知a 为正的常数，函数2()||ln f x ax x x =-+。

（1）若2a =，求函数()f x 的单调增区间；

（2）设()()f x g x x

=

，求函数()g x 在区间[1,]e 上的最小值。

5

参考答案

二 .填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） 11.2 ； 12.2- ； 13.－6 ；

14.2 ；

15.18ADF S ?= 16．解：（1）由

cos β=

(0,

)βπ∈

得sin β=

， tan 2β= ……………2分 于是tan()αβ+=

1

2

tan tan 311tan tan 13

αβ

αβ-++==-

+. ……………………………6分

（2）因为1tan ,(0,)3ααπ=-∈所以sin αα== ………………9分

()f x x x x x =x = …………11分 ()f x ………………………………………………………………12分

17．解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035?=人, …………… 1分 第3组的频率为

30

0.300100

=, ………2分 频率分布直方图如右: ………… 5分 （2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:

第3组:

30

6360?=人, ………… 6分 第4组:20

6260?=人, ………… 7分 第5组:10

6160

?=人, ………… 8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。 （3）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4

组的2位同学为1

2,B B ,第5组的1位同学为1C ,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,),A A

21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C (10)

6 分

其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有: 11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9中可能, …………11分 所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93155=…………12分

18．(Ⅰ) 证明：依题意：11//B D BD ，且11B D 在平面1BC D 外．……………………2分

∴11//B D 平面1BC D ……………4分

(Ⅱ) 证明：连结1OC

∵BD AC ⊥ 1A A B D ⊥

∴BD ⊥平面11ACC A …………5分

又∵O 在AC 上，∴1AO 在平面11ACC A 上

∴1AO BD ⊥ ∵2AB BC ==

∴11AC AC ==

∴OA =∴1

Rt AAO ?

中，12AO ==…… 7分 同理：12OC = ∵11AOC ?中，2221111AO OC AC +=

∴11AO OC ⊥ ∴1

AO ⊥平面1BC D ……………………………………………10分 (Ⅲ)解：∵1

AO ⊥平面1BC D ∴111132

V AO BD OC =????……………………………………………12分

112232=???=…………………………………………14分 19.(I)由已知得：111

510105,92(4),a d a d a d +=??+=+? 解得17,7a d ==,

所以通项公式为7(1)77n

a n n =+-?=.……………6分 (II)由277m n a n =≤，得217m n -≤，

7 即217m m b -=.497

7121

21==-++m m m m b b ∴{}m b 是公比为49的等比数列， 7(149)7(491)14948

m m m S -==-- ……………14分 20．解：(Ⅰ) 依题意：12

p =． ……………………………………………… 2分 ∴2p = ∴所求方程为24y x =． ………………………………4分

(Ⅱ)设动圆圆心为(,)M a b ，（其中0a ≥），E 、F 的坐标分别为1(0,)y ，2(0,)y 因为圆M 过(2,0)，故设圆的方程2222()()(2)x a y b a b -+-=-+…………6分 ∵E 、F 是圆M 和y 轴的交点 ∴令0x =得：22440y by a -+-=………8分

则122y y b +=，1244y y a ?=-

||EF ===10分 又∵圆心(,)M a b 在抛物线2y mx =上 ∴2

b ma = …………11分

∴||EF ==12分 ∴当4m =时，||4EF =(定值)． ……………………………………………14分

21.解：（1）由2a =，得2()|2|ln (0)f x x x x x =-+>， 当02x <<时，2

()2ln f x x x x =-+，21221()22x x f x x x x -++'=-+=， 由()0f x '=，得22210x x -++=

，解得x =

，或x =

当0x <<()0f x '>

2x <<时，()0f x '<； ∴函数()f x

的单调增区间为； …………2分

当2x ≥时，2

()2ln f x x x x =-+，21221()22x x f x x x x -+'=-+=，

8 由()0f x '=，得22210x x -+=，

此方程无解，∴函数()f x 在[2,)+∞上为增函数；…4分

∴函数()f x

的单调增区间为，[2,)+∞。 …………5分 （2）()ln ()||f x x g x x a x x

==-+，[1,]x e ∈， ①若1a ≤时，ln ()x g x x a x =-+，则222

1ln 1ln ()1x x x g x x x -+-'=+=， ∵[1,]x e ∈，∴0ln 1x ≤≤，∴1ln 0x -≥，21ln 0x x +->，∴()0g x '> ∴()g x 在[1,]e 上为增函数，∴()g x 的最小值为(1)1f a =-； …………8分

②若a e ≥时，则ln ()x g x a x x =-+，则222

1ln 1ln ()1x x x g x x x --+-'=-+=， 令2()1ln h x x x =-+-，则1()20h x x x

'=--<， 所以()h x 在[1,]e 上为减函数，则()(1)0h x h ≤=；

所以()g x 在[1,]e 上为减函数，()g x 的最小值为1()g e a e e

=-+； ………11分 ③当1a e <<，ln ,(,]()ln ,[1,]x x a x a e x g x x a x x a x ?-+∈??=??-+∈??

， 由①②知()g x 在[1,]a 上为减函数，在[,]a e 上为增函数，

∴()g x 的最小值为ln ()a g a a

=

， …………13分 综上得()g x 的最小值为1,1ln (),11,a a a g a a e a a e a e e ??-≤??=<

。 …………14分

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