概率论习题试题集6

一、填空题

第六章 参数估计

1. 若一个样本的观测值为0，0，1，1，0，1，则总体均值的矩估计值为___________，总体方差的矩估计值为___________。

2. 设1，0，0，1，1是来自两点分布总体B(1,p)的样本观察值，则参数q?1?p的矩估计值为

___________。

3. 若由总体F(x,?)（?为未知参数）的样本观察值所求得P(35.5?X?35.9)?0.95，则称

___________是?的置信度为___________的置信区间。

4. 设由来自正态总体X~N(?,0.9)容量为9的简单随机样本,得样本均值X?5,则未知参数?的置信度为0.95的置信区间为___________。

5. 设一批产品的某一指标X~N(?,?2),从中随机地抽取容量为25的样本,测得样本方差S?10,则总体X的方差?的置信区度为95%的置信区间为___________.

2

222

二、选择题

1. 设总体X~N(?,?),其中?已知,则总体均值?的置信区间长度l与置信度1??的关系是( ) （A）当1??缩小时,l缩短； （C）当1??缩小时,l不变；

22

22

（B）当1??缩小时,l增大； （D）以上说法都错。

2. 设总体X~N(?,?)，?已知，若样本容量n和1??均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度（ ）。 （A）变长；

（B）变短；

（C）不变；

（D）不能确定。

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3. 设X1,X2,?Xn是来自总体的一个样本，EX??,DX??，则方差?的无偏估计值是（ ）

1n1n2(Xi??)2； （A）当?已知时，统计量?(Xi??)；（B）当?已知时，统计量?ni?1n?1i?11n1n2(Xi?X)2。 （C）当?未知时，统计量?(Xi?X)；（D）当?已知时，统计量?ni?1n?1i?1 1

4. 设?为总体X的未知参数，?1,?2(?1??2)为样本统计量，随机区间(?1,?2)是?的置信度为1??

(0???1)的置信区间，则有（ ）

（A）P(?1????2)??；

（B）P(???2)?1??； （D）P(???1)??

?（C）P(?1????2)?1??；

5. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,X3，易证统计量?1?111X1?X2?X3， 236???111111122?2?X1?X2?X3；?3?X1?X2?X3；?4?X1?X2?X3都是总体均值EX??244333555??的无偏估计量，则其中更有效的估计量是（ ） （A）?1；

（B）?2；

（C）?3；

?

（D）?4

?三、计算题

1. 设X1,X2,?,Xn值.

2. 设某市的新生儿体重X(单位:克)服从正态分布N(?,?2),现测量10名新生儿的体重如下: 3100, 3480, 2520, 3700, 2520, 3200, 2800, 3800, 3020, 3260. (1)求参数?,?的矩估计;(2)求参数?的无偏估计.

3. 某铁路局证实,一个扳道员在5年内所引起的严重事故次数服从参数为?的泊松分布.设r表示一扳道员在5年内引起的严重事故次数,t表示观察到的扳道员人数,有

r t 0 44 1 42 2 21 3 9 4 4 5 2 22

为来

（1）求?矩估X的一个样本，X服从均匀分布U[1,?]，其中?未知。

求未知参数?的最大似然估计值以及求出一个扳道员在5年内引起严重事故的概率。

?(??1)x?,x?(0,1)4. 设总体X的概率密度f(x,?)??，其中???1。

,x?(0,1)?0求：（1）?的矩估计量；（2）?的最大似然估计量。 5. 某种清漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）如下： 6.0, 5.7, 5.8, 6.5, 7.0, 6.3, 5.6, 6.1, 5.0

2若干燥时间X服从正态分布N(?,?),求?的置信度为0.95的置信区间:(1)由以往经验知??0.6小

时；(2)?未知.

2

6. 设某地旅游者消费额服从正态分布N(?,?2)，且标准差??12元。今对该地区旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差的绝对值会小于2元，问至少要调查多少人？ 7. 为确定某种溶液中的甲醛浓度，取得4个独立测量值的样本，并算得样本均值X?8.34%，样本标准为S?0.03%。设被测总体近似地服从正态分布，??0.05，试分别求?,?2的置信区间。

8. 某手表厂生产的丽达牌手表,它的走时误差(单位:秒/日)服从正态分布,检验员从装配线上随机地抽取9只进行检测,检验的结果如下:-4.0, 3.1, 2.5, -2.9, 0.9, 1.1, 2.0, -3.0, 2.8 设置信水平为0.95,求该手表的走时误差的均值?和?的置信区间.

9. 设总体X服从正态分布N(?,?2),已知?2??0,要使总体均值?对应置信水平1??的置信区间的长度不大于l,问应抽取多大容量的样本?

10.总体X~U(?,2?)，其中??0是未知参数，又x1,???,xn为取自该总体的样本，x为样本均值。

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?? （1）证明?2x是参数?的无偏估计和相合估计. 3 （2）求?的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？

11. 设x1,x2,x3是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值?的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

?1?（1）?

111111112?2?x1?x2?x3；(3) ??3?x1?x2?x3； x1?x2?x3；（2）?23633366312.某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在??0.85，现抽取了一个容量为n?25的样本，测定其强度，算得样本均值为x?2.25，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间。 13.总体X~N(?,?)，?已知，问样本容量n取多大时才能保证?的置信水平为95%的置信区间的长度不大于k。

14. 0.50，1.25，0.80，2.00是取自总体X的样本，已知Y?lnX服从正态分布N(?,1)。 （1）求?的置信水平为95%的置信区间；

（2）求X的数学期望的置信水平为95%的置信区间。

15. 用一个仪表测量某一物体量9次，得样本均值x?56.32，样本标准差s?0.22。

3

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（1）测量标准差?大小反映了测量仪表的精度，试求?的置信水平为0.95的置信区间； （2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间。

16.已知某种材料的抗压强度X~N(?,?2)，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下： 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 。 （1）求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间

（2）如已知??30，求平均抗压强度?的置信水平为95%的置信区间; （3）求?的置信水平为95%的置信区间。

17．在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格率的置信水平为0.90的置信区间。

18.某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况。现记录了该商量过去的一些销售量，数据如下：

月销售量 月分数

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间。

19. 为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差，特置备了5个金属试块，其成分、金属含量、均匀性都有差别，设每个试块的测量值都服从正态分布，现对每个试块重复测量6次，计算得其样本标准差分别为s1?0.09,s2?0.11,s3?0.14,s4?0.10,s5?0.11，试求?的0.95置信区间。 参考答案：

?112一、填空题：1）,；2）q?；3）（35.5,35.9), (0.95)；4）4.412,5.588；

5249 1 10 6 11 13 12 12 13 9 14 4 15 2 16 1 5）60.969,193.533。

二、选择题：1）A：2）C；3） D； 4）C；5）C。 三、计算题：

1.??2X?1,1.9633；

?

,??178320;198133。 2.??3140?1.1233. ??X，??1.1230，P(X?0)?e?0.3253。

??2?? 4

?2X?14.??； ???2?X?n?lnXi?1n?1。

i5.(5.608,6.392),(5.558,6.442)。 6.至少要调查139人。

7.0.00029?10,0.0125?10。 8.(-1.865,2.425); (3.588, 28.624)。

?4?44?29. n?20u?。

l23??2,D(X)?10.解： （1）总体X~U(?,2?)，则E(X)?，从而 2123??2,D(x)? E(x)? 212n?)?于是，E(?

22??2x是参数?的无偏估计。进一步， E(x)??，这说明?3322?)?4?????0。这就证明了??也是?的相合估计。 D(?912n27n1n （2）似然函数为L(?)?()I{??x(1)?x(n)?2?}，显然L(?)是?的减函数，且?的取值范围为

?x(n)x(n)????x(1)，因而?的最大似然估计为?mle?。

22?的均值与方差，由于x的密度函数为 下求?(n)mlef(x)?n( 故

x???)n?1??1??n?n(x??)n?1,??x?2?，

n?(x(n))??x2?n?2n?1(x??)dx?n?n??0(t??)tn?1dt?2n?1?， n?1?(x2(n))??x?2?n?n(x??)n?14n2?8n?22dx??，

(n?2)(n?1)n?2?)?1Ex?2n?1???(n???)， E(?，从而D(x(n))?(n)22(n?1)(n?2)(n?1)2?不是?的无偏估计，而是?的渐近无偏估计。 这说明?mle又

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