棣莫弗定理与欧拉公式

棣莫弗定理与欧拉公式

编写人：刁国龙 审核人：叶新红

学习目标：1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的

幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。 2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。 3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。

学习重点：棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幂运算。

复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。

学习难点：复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。

复数在电工学中的应用。

学习过程：

一、 知识链接：

1、 若z1 r1 cos 1 isin 1 ，z2 r2 cos 2 isin 2 ，则z1 z2 因此，复数的积的模等于 ，积的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：

2、 若z1 r1 cos 1 isin 1 ，z2 r2 cos 2 isin 2 ，则

z1

z2

因此，复数的商的模等于 ，商的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：

注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。 3、棣莫弗定理

若z r cos isin ，则z n N

n

证明：

因此，复数的n次幂的模等于 ，辐角等于 4、复数的指数形式：

欧拉公式：cos isin

1

欧拉公式表示复数：z a bi r(cos isin ) （复数的指数形式） 5、复数指数形式乘除法则： 若z1 re1,z2 re

i

i 2

，则z1 z2 ；

z1

。 z2

证明：

6、复数指数形式乘方法则： 若z rei ,则z

n

证明：

7、复数的极坐标形式：

r 表示模为的复数。即r 复数的极坐标形式的运算法则：

（1）r1 1 r2 2（2）

r1 1

（其中r2 2 0）

r2 2

n

（3） r

二、 例题讲解：

例1、 利用复数的三角形式计算下列各式： （1）2cos30 isin30

（2

cos

2

00

3

cos60 2

isin600

4

isin

3 cos 74 3

isin 7

（3

2cos400 isin400 （

4）2 cos

5 5 isin66

1

2

5

（5） 2 cos isin

（6）1 （7） cos isin

3

7

66

小结：

例2、 将下列复数化为指数形式： （1） cos

4

isin

4

（2cos

5 5

3 isin 3

（4）cos

3

isin

6

（5） 1 i

（6i

例3、 将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式：（1）2ei

3

（2 i

2 3

（3）8e

i

2

3

77 3） cos 5 isin5 7） 4i （8）0

（ （

例4、 计算： （1）5.6e

i

2

10e

i

6

（2）5e

i

4

e

i 4

i

（3

）24

4

例5、 将下列复数化为复数的极坐标形式： （1）z1 cos

例6、

已知复数z1 3e

i 6

6

isin

6

（2

）z2 3 （3

i

3

,z2 6，用复数的极坐标形式分别求出：

z1

（3）z13 z2

i

（1）z1 z2 （2）

例7、在并联电路中，已知两个正弦交流电流为

i1

t 1200 A,i2 t 300 A，求总电流i

4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e8ae.html