二维傅里叶变换推倒及理解

2D傅里叶变换理解心得

一、 目的

完整推倒2D傅里叶变换公式，加深对2D傅里叶变换公式的理解。 二、 内容

2维傅里叶变换，针对的信号函数是2维空间平面内的函数，2维傅里叶变换也有四种不同的形式。

1、 连续周期时域信号<---->非周期离散频谱。2D_CFS

fXY(x,y)表示2维周期连续信号，可以理解为一幅连续的图像信号（这里fXY(x,y)可以为复数信号，但工程实践中常为实信号），F(k,l)表示2维频谱信号，其中k,l取??XYXY??上的整数。

F(k,l)?00XY??fXY(x,y).e?2?j(ku0x?lv0y)dxdy???00fXY(x,y).e?2?j(ku0x?lv0y)dxdyXY2?j(ku0x?lv0y)?2?j(ku0x?lv0y)e.edxdy??00XY??1dxdy00

???00fXY(x,y).e?2?j(ku0x?lv0y)dxdyXY,k,l取-?+?上的实整数其中X,Y为fXY(x,y)在x坐标和y坐标上各自的最小正周期。u0,v0表示在x坐标和y坐标上各自的基频率，这里有u0?11,v0?，k,l取XY????上的整数，对应不同的频率成分，F(k,l)11,v0?。 XY的图像为离散的，且在x坐标和y坐标上的频率间隔分别为u0?fXY(x,y)?k???l??????2?j(ku0x?lv0y)F(k,l).e,x,y取-????+?上的实数

这里，F(k,l)为复数。

所以得到2D_CFS（2维连续傅里叶级数）

XY??2?j(ku0x?lv0y)f(x,y).edxdy?XY????F(k,l)?00,k,l取-?+?上的实整数 ?XY??????fXY(x,y)???F(k,l).e2?j(ku0x?lv0y),x,y取-?+?上的实数?k???l????2、 连续非周期信号?-----?连续非周期频谱 2D_CTFT

f(x,y)表示非周期的连续2维信号，F(u,v)表示其频谱，这里F(u,v)是连续非周期的2维信号

XY????F(u,v)?lim00X,Y???XY2?j(ku0x?lv0y)u0,v0?0??f(x,y).e?2?j(ku0x?lv0y)dxdy?.e?2?j(ku0x?lv0y)????X,Y???u0,v0?0??f(x,y).e?2?j(ux?vy)dxdylimXY??e00dxdy令F*(u,v)=F(u,v).limXY,则X,Y???u0,v0?0????F*(u,v)=?????X,Y???u0,v0?0?f(x,y).e?2?j(ux?vy)dxdyu,v取-?+?上的实整数 这里，1/limXY为无穷小量，为了使频谱的取值能够便于研究，这里进行了放大，得到

F*(u,v)，所以这里就不是2D_CFS，而是2D_CTFT(2维连续时间傅里叶变换)，这里仍然有

u0?11,v0?。 XYf(x,y)?k???l??????2?j(ku0x?lv0y)F(k,l).e???u0,v0?0,?f(x,y)?u???v?????????F(u,v).e2?j(ux?vy)

F*(u,v)=limXY.F(u,v)X,Y???u0,v0?0?F(u,v)=F*(u,v)/limXYX,Y???u0,v0?0?f(x,y)?u???v?????????F(u,v).e2?j(ux?vy)?u???v???X,Y???u0,v0?0??????F*(u,v).e2?j(ux?vy)limXY11u0?,v0?,XY1?lim?dudvX,Y???XYu,v?000

?f(x,y)?u???v?????????????F*(u,v).e2?j(ux?vy)dudv?

u???v?????F*(u,v).e2?j(ux?vy)dudv所以2D_CTFT为

?????*?2?j(ux?vy)F(u,v)=f(x,y).edxdy??????????????f(x,y)?*2?j(ux?vy)F(u,v).edudv????????u,v取-?x,y取-?+?上的实数+?上的实数

这里，u,v为x,y方向上的空间频率变量。 3、 离散周期信号?-----?离散周期频谱 2D_DFS

对连续信号fXY(x,y)按照x方向Tx的采样周期（单位不一定为时间），y方向（单位不一定为时间）Ty的采样周期进行采样，得到fMN(m,n)。

??X?MTx??x?mTx这里，?，?，所以

Y?NTy?nT??yy??fXY(x,y)?fXY(mTx,nTy)。

通常，我们会去掉离散信号的周期单位（时间或者距离），只取出点列，不要物理意义。 所以我们会得到离散周期信号

fMN[m,n]?fXY(mTx,nTy)，这就是一个单纯的2维点阵，

没有物理意义，是数学抽象出来的点阵。

XY??2?j(ku0x?lv0y)f(x,y).edxdy?XY????F(k,l)?00,k,l取-?+?上的实整数 2D_CFS ?XY??????fXY(x,y)???F(k,l).e2?j(ku0x?lv0y),x,y取-?+?上的实数?k???l????利用2D_CFS推倒2D_DFS

XYXYF(k,l)???00fXY(x,y).e?2?j(ku0x?lv0y)dxdy?XYMTxNTy?2?j(k00XY??fXY(x,y).e?2?j(ku0x?lv0y)dxdyk,l为整数,x,y为实数2?j(ku0x?lv0y)?2?j(ku0x?lv0y)e.edxdy??0011mTx?lnTy)MTxNTyF[k,l]?00MTxNTy?2?j(k1mT?l1nT)xyMTxNTy??0fXY(mTx,nTy).e.edmTxdnTydmTxdnTy??e0?2?j(k11mTx?lnTy)MTxNTyMTxNTy?00MTxNTy??0fXY(mTx,nTy).e?2?j(k11m?ln)MN?2?j(k11m?ln)MNdmTxdnTy??e0.e?2?j(k11m?ln)MNdmTxdnTy11m?ln)MNMTx??mTxNTy??nTymTx=0?=nTy=0?fXY(mTx,nTy).ee?2?j(k11m?ln)MN?2?j(k?mTx?nTym,n这里为非负整数MTx??mTxNTy??nTymTx=0?nTy=0?.e?2?j(k11m?ln)MN?mTx?nTy?m?1，?n?1。令fMN[m,n]?fXY(mTx,nTy)MTx?TxNTy?TymTx=0nTy=0MTx?TxNTy?TymTx=0nTy=0MTx?TxNTy?TymTx=0nTy=0MTx?TxNTy?TymTx=0nTy=0MTx?TxNTy?TymTx=0nTy=0??fMN[m,n].e?2?j(k11m?ln)MNTxTy?上式=???2?j(k1TxTyTxTy??fMN[m,n].e11m?ln)MN=??1TxTy????中Tx，Ty为常数，等价于??m=0n=0MNM?1N?1?MTx?TxNTy?TymTx=0nTy=0M?1N?1?上式=m=0n=0??f[m,n].eM?1N?1m=0n=0?2?j(k11m?ln)MNM?1N?1TxTy=m=0n=0xy??fMN[m,n].eMN?2?j(kmln?)MN

??1TT所以通过上面的推倒，我们可以看出2D_CFS推出了2D_DFS，说明其本质是一致的。

图中，蓝色连续曲线采样后的图形，既可以理解为只在采样点处有定义，其他点没有定义的点列，也可以理解为有着周期性质的矩形红色图像（这里仅是示意图，红色图形骤变点函数值应该和蓝色图形该店函数值严格相等。）。而矩形红色图像是2D_CFS和2D_DFS的桥梁，它的频率成分既可以当做点列用2D_DFS计算，又可以当做连续函数用2D_CFS计算，结果是一致的。

在推倒过程中，我们发现，积分?和逐项求和?本质上是一致的，都是以一定的步长在求曲线和横坐标所夹图像的面积，只是因步长的不同而导致精度不同而已，而2D_DFS中的公式分子

M?1N?1m=0n=0??fMN[m,n].e?2?j(k11m?ln)MNTxTy，??fMN[m,n].em=0n=0M?1N?1?2?j(kmln?)MN就是在求红色矩形图像在一个周期中的

面积，只不过横坐标选取不同，但最后分子分母一相消，就导致结果一致。所以有时候通过红色矩形图像来理解采样，和傅里叶变换公式，有着事半功倍的效果。

很自然，反变换就是把个频率成分加起来就行了： fMN[m,n]???F[k,l].ek?0l?0M?1N?12?j(kmln?)MN,m,n取整数

但这里为了对称令正反变换形式一致，添加了系数，这里不再赘述。 所以得到2D_DFS公式如下： kmln?2?j(?)?1M?1N?1MNfMN[m,n].e???F[k,l]?MNm=0n=0??kmlnM?1N?12?j(?)?f[m,n]?1F[k,l].eMN??MN?MNk?0l?0?k,l取整数,具有周期性

m,n取整数4、 离散非周期信号?-----?连续周期频谱 2D_DTFT

?????*?2?j(ux?vy)F(u,v)=f(x,y).edxdy??????????????f(x,y)?*2?j(ux?vy)F(u,v).edudv????????u,v取-?x,y取-?+?上的实数+?上的实数

对f(x,y)进行按照x方向Tx的采样周期（单位不一定为时间），y方向（单位不一定为时间）

Ty的采样周期进行采样，得到f[m,n]。

limX?limMTx???x?mTx?X????M????这里，?，?

y?nTlimY?limNT?yy??N?????Y????????F(u,v)=?*?????????f(x,y).e?2?j(ux?vy)dxdyF*(?x,?y)?lim?limM????N??????????????f(mTx,nTy).e?2?j(k?2?j(k11mTx?lnTy)MTxMTxdmTxdnTyM????N??????????f[m,n].e????11m?ln)MMdmTxdnTy?m?n?TxTylim????M????N??????????f[m,n].e?2?j(k11m?ln)MM?TxTy?TxTy令F(?x,?y)=

????????f[m,n].e???2?j(?xm??yn)?m?nm???n?????f[m,n].e?2?j(?xm??yn)1F*(?x,?y)TxTy

F(?x,?y)也具有周期性，所以反变换时只需取一个主周期进行计算就可以了。

????f(x,y)?????11??F*(u,v).e2?j(ux?vy)dudv*F??(k11**??F(?x,?y).e0011f[m,n]?limM????N????0011112?j(?xm??yn),).edkdl具有周期性MTxNTyMTxNTy2?j(?xm??yn)1?TxTy?TxTyTxTy11d?xd?y

??F(?x,?y).e002?j(?xm??yn)d?xd????F(?x,?y).e002?j(?xm??yn)d?xd?所以2D_DTFT

??????2?j(?xm??yn)?F(?x,?y)???f[m,n].em???n?????11?f[m,n]?F(?,?).e2?j(?xm??yn)d?d?

xyx???00?

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