G函数图象的性质_求一次函数解析式

一次函数图象的性质

讲 义

【课前小测】

1. 下列解析式中，不是函数关系式的是（ ）

A .y= x (x≥0) B .y=－x (x≥0) x (x≥0) D. y=

－x (x≤0)

2. 下列各曲线中不能表示y是x的函数的是 （ B ）

A

．

B

C． D．

122

3. 下列函数（1）y= x－3x (5)y=x 1中，是一次

x函数的有（ ）

A． 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4.己知y k 2 x

k 1

．

2k 3是关于x的一次函数，则这个函数的表达式为

【考点分析】

知识点1 函数的图象

（1）画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

（2）一次函数：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-（3）画正比例函数y=kx的图象时：（0，0），（1，k）.

知识点 2 一次函数的图象：直线

一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 自变量取值范围：直线、射线、线段

知识点3 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

b

，0）. k

①k＞0时，y的值随x值的增大而（ ）；(从左-右，x增大) ②k﹤O时，y的值随x值的增大而（ ）．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；（当x=0时，y=b）

【例题精讲】

例1. 函数y＝4x－3中，y的值随x的值增大而 .

练习：（1）下列函数中，y随x增大而增大的是（ ）

（A） y＝－2x B） y＝－2x+1 （C） y＝x－2 （D） y＝2－2x

例2. 如图，直线L是一次函数y＝kx+b的图象，则k= ，

b= .

练习：（1）已知直线y＝kx+b（k≠0）与x轴、y轴都交于负半轴，则（ ）

（A）k＞0，b＞0 （B）k＜0，b＜0 （C）k ＞0，b＜0， （D）k＜0，b＞0 （2）一次函数y 2x 3的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（3）在函数y 2x 3中，当自变量x满足 时，图象在第一象限. （4）、当 时，一次函数y=(m+1)x+6的函数值随x的增大而减小。

（5）、直线y=(m+1)x+m2+1与y轴的交点坐标是（0，3），且直线经过第一、二、四象限，

则k= 。

（6）、直线y=kx+b上有两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），且x1＞x2，y1＜y2，则常数k

的取值范围是 。

（7）、将直线y=-2x+1沿y轴方向向上平移3个单位长，得到的直线解析式为 。

（8）、直线y=3x-2经过第 象限，y随x的增大而 。

课堂练习：

1 . 已知一次函数y (a 1)x b的图象如图2所示，那么a的取值范围是（ ） A．a 1

B．a 1

C．a 0

D．a 0

2. 如果一次函数y kx b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（ ） A．k 0，b 0

B．k 0，b 0

C．k 0，b 0

D．k 0，b 0

3. 如图3，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（ ） A．y x 2

B．y x 2

C．y x 2

D．y x 2

2 图

图

3

4如图4，把直线y＝－2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m，n)，且2m＋n＝6，

则直线AB的解析式是（ ）．

A、y＝－2x－3 B、y＝－2x－6 C、y＝－2x＋3 D、y＝－2x＋6

例3：“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到了终点。用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事相吻合的是 （ ）

A． B． C． D．

练习：（1）如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为

80

千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在3

逐渐减少.其中正确的说法共有（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

（2）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）农民自带的零钱是多少？（2分）

（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3分）

（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？（3分）

① 5元；②0.5元；③45千克（11+

69

15+） 1515

（3）如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动的路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④8 秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是 （ ）

A．①② B．②③④ C．②③ D．①③④

（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．

知识点3 正比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；

（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． 知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系

（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b； （2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．

例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．

知识点5 求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证

(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。

知识点6 待定系数法及用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1） 设：函数表达式

一次函数表达式为y=kx+b；正比例函数表达式为y=kx；有时需通过图像性质来判断函数形式。（如过原点，经过第二四象限等）

（2） 代：将已知点的坐标代入函数表达式，建立方程（组）； （3） 解：k与b的值，检验。（结合图像性质取舍k,b值） （4） 定：确定解析式

“待定系数法”的基本思想就是方程思想。本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义

构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程 。 思想方法小结 （1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． （2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系． 当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b； 当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b． （3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2 y1与y2相交；

k1 k2

② ； y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）

b b 12

③

k1 k2,

y1与y2平行；

b1 b2

k1 k2,④ y1与y2重合.

b b 12

基础知识应用题

本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数

（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．

例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意可知，

1 2k b,

3 k b,

4 k , 3解

5 b . 3

∴此函数的关系式为y=

45

x ． 33

练习1. （6分)已知y与x成一次函数，当x=0时，y＝3，当x=2时，y=7。 （1）写出y与x之间的函数关系式;（2）计算x＝4时，y的值; （3）计算y＝4时，x的值。

2. 关于一次函数提供如下信息： ①其图象是一条直线. ②该直线经过（0，0），（1，－a），（a，－4）三点. ③函数值自变量x 值的增大而减少.

根据这些信息，你能确定此函数的解析式吗？如果能，请写出你的解题思路：如果不能，说明还应增加怎样的条件？

3. 如果正比例函数的图象经过（2，4），则这个正比例函数的解析式 4. 若y x 2 3b是正比例函数，则b的值是 （ ） A. 0 B.

例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹

223

C. D. 332

簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．

例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值．

[分析] 由y-3与x成正比例，则可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，则可以写出关系式．

解：（1）由于y-3与x成正比例，所以设y-3=kx． 把x=2，y=7代入y-3=kx中，得 7-3＝2k， ∴k＝2．

∴y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3． （2）当x=4时，y=2×4+3=11． （3）当y＝4时，4=2x+3，∴x=

1

. 2

学生做一做 已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数关系式是 . 【注意】 y与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1. 例6．已知y=

，其中

=

(k≠0的常数)，

与

成正比例，求证y与x也成正比

例。 证明：∵ 设 ∵y= ∴y=

与=a

成正比例， (a≠0的常数), , ·a

=

(k≠0的常数),

=akx，

其中ak≠0的常数，

∴y与x也成正比例。

19.已知y与x+1成正比例关系，当x=2时，y=1，求当x=-3时y 的值？（7分）

练习1.设关于x的一次函数y a1x b1与y a2x b2，则称函数

y m(a1x b1) n(a2x b2)（其中m n 1）为此两个函数的生成函数．

（1）当x=1时，求函数y x 1与y 2x的生成函数的值；

（2）若函数y a1x b1与y a2x b2的图象的交点为P，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．（7分）

例2．已知一次函数=(3-

)

=(n-2)x+

-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断

是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位

置及增减性。 解：依题意，得

解得 n=-1， ∴

=-3x-1, =(3-

)x,

是正比例函数；

随x的增大而减小； 随x的增大而增大。

=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，=(3-)x的图象经过第一、三象限，

说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。 例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。 解：∵y=kx+b与y=5-4x平行， ∴k=-4,

∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴， ∴b=18， ∴y=-4x+18。

说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。

例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

解：∵点B到x轴的距离为2， ∴点B的坐标为（0，±2）， 设直线的解析式为y=kx±2, ∵直线过点A（-4，0）， ∴0=-4k±2, 解得：k=±

,

x+2或y=-x-2.

∴直线AB的解析式为y=

说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。

（1）图象是直线的函数是一次函数； （2）直线与y轴交于B点，则点B（0， （3）点B到x轴距离为2，则|

|=2；

）；

（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项，即b= （5）已知直线与y轴交点的纵坐标 下面只需待定k即可。

，可设y=kx+

； ，

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