最新导数理科压轴题集锦(题型丰富_都是高三的最新的一些考题)

1.已知函数f?x??ln?1?x??ax的图象在x?1处的切线与直线x?2y?1?0平行． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若方程f?x??1?m?3x?在?2,4?上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； 4（Ⅲ）设常数p≥1，数列

求证：an?1≥an． 20．（本小题满分14分） （Ⅰ）f'(x)??an?满足an?1?an?ln?p?an?（n?N+），a1?lnp．

1111?a， ?f'(1)??a由题意知-a?-?a?1---------3分 x?1222（Ⅱ）由（1）f(x)?ln(1?x)?x,?原方程为4ln(1?x)?x?m， 设g(x)?4ln(1?x))?x，得g'(x)?43?x， ?1?1?x1?x?当3?x?4时g'(x)?0,当2?x?3时，g'(x)?0,g'(3)?0，

g(x)在[2，3]上是增函数，在[3,4]上是减函数。?g(x)max?4ln4?3,又g(2)?4ln3?2,g(4)?4ln5?4.

由于g(2)?g(4)?2ln9e?0?g(2)?g(4). 25?a的取值范围是[4ln5?4,4ln4?3).---------------------------------------------------9分

（Ⅲ）证明：由f(x)?ln(1?x)?x(x?1)有f'(x)?当

x>0

时

，

1?x?1?,f'(0)?0, x?11?xf'(x)?0,当?1?x?0时，f'(x)?0,f(x)在(0,??)上是减 函?f(x)max?0,在(?1,??)上f(x)?0 f(x)在[?1,0)增函数。?ln(1?x)?x又p?an,?p?an?1??1

由an?1?an?ln(p?an)?ln(1?p?1?an),?an?1?an?p?1?an,

即an?1?p?1,当n?2时，an?1-an?ln(p?an)?ln[p?(p?1)]?0,即an?1?an

当n=1时，a2?a1?ln(p?lnp),由lnp?ln(1?(p?1))?p?1

?a2?a1?ln(p?(p?1))?a1,结论成立

?对n?N?,an?1?an ----------------------------------------------14分

2012届高三年级第一次四校联考数学评分标准(理科) 第3页（共4页）

2.已知a为常数，a?R，函数f(x)?x2?ax?lnx，g(x)?ex．（其中e是自然对数的底数）

（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y?f(x)的切线，设切点为P(x0,y0)，求证：x0?1； （Ⅱ）令F(x)?f(x)，若函数F(x)在区间(0,1]上是单调函数，求a的取值范围． g(x)解：（I）f?(x)?2x?a?1（x?0）． x …2分

2x0?ax0?lnx01所以切线的斜率k?2x0?a?， ?x0x02整理得x0?lnx0?1?0.

…4分

显然，x0?1是这个方程的解，又因为y?x2?lnx?1在(0,??)上是增函数， 所以方程x2?lnx?1?0有唯一实数解．故x0?1．

f(x)x?ax?lnx?，F?(x)?g(x)ex2 …6分

?x2?(2?a)x?a?ex（Ⅱ）F(x)?1?lnxx． …8分

设h(x)??x2?(2?a)x?a?111?lnx，则h?(x)??2x?2??2?a． xxx易知h?(x)在(0,1]上是减函数，从而h?(x)?h?(1)?2?a．

…10分

（1）当2?a?0，即a?2时，h?(x)?0，h(x)在区间(0,1)上是增函数． ?h(1)?0，?h(x)?0在(0,1]上恒成立，即F?(x)?0在(0,1]上恒成立． ?F(x)在区间(0,1]上是减函数．

所以，a?2满足题意． …12分

（2）当2?a?0，即a?2时，设函数h?(x)的唯一零点为x0， 则h(x)在(0,x0)上递增，在(x0,1)上递减. 又∵h(1)?0，∴h(x0)?0． 又∵h(e?a)??e?2a?(2?a)e?a?a?ea?lne?a?0， ∴h(x)在(0,1)内有唯一一个零点x?，

当x?(0,x?)时，h(x)?0，当x?(x?,1)时，h(x)?0.

从而F(x)在(0,x?)递减，在(x?,1)递增，与在区间(0,1]上是单调函数矛盾． ∴a?2不合题意．

综合（1）（2）得，a?2．

3.已知函数f(x)?1?lnx． x …15分

1（1）若函数在区间(a,a?)（其中a?0）上存在极值，求实数a的取值范围；

2（2）如果当x?1时，不等式f(x)?2k恒成立，求实数k的取值范围； x?1（3）求证?(n?1)！??(n?1)?en?2(n?N?)．

1?lnxlnx，x?0 ，则f?(x)??， ----------------------------1分 xx当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0．

22．解：（Ⅰ）因为f(x)? 所以f(x)在（0，1）上单调递增；在(1,??)上单调递减，

所以函数f(x)在x?1处取得极大值． ----------------------------------------------------- ---2分

1因为函数f(x)在区间(a,a?)（其中a?0）上存在极值，

2?a?11? 所以?1, 解得?a?1. -----------------------------------------------------------------4分

2a??1??2k（Ⅱ）不等式f(x)?，

x?1即为

(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx)?k, 记g(x)?,

xx所以g?(x)?[(x?1)(1?lnx)]?x?(x?1)(1?lnx)x?lnx?,-----------------------------------------------6分

x2x21令h(x)?x?lnx,则h?(x)?1?，?x?1,?h?(x)?0.

x ?h(x)在[1,??)上单调递增，?[h(x)]min?h(1)?1?0， 从而g?(x)?0

故g(x)在[1,??)上也单调递增，?[g(x)]min?g(1)?2，所以k?2 -------------------------------8分

2x?122（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)?恒成立，即lnx??1??1?,

x?1x?1x?1x(n?1)]?1? 令x?n(n?1)，则ln[n2， --------------------------------------------------------10分

n(n?1) 所以 ln(1?2)?1?ln(2?3)?1?ln(3?4)?1?2, 2?32, 3?42, 1?2???? ??

ln[n(n?1)]?1?2．

n(n?1)

111叠加得：ln[1?22?32??n2?(n?1)]?n?2[] ???

n(n?1)1?22?3 ?n?2(1?分

11)?n?2??n?2---------------------------------------------------------------------12n?1n?1则1?22?32??n2?(n?1)?en?2，

所以?(n?1)！??(n?1)?en?2(n?N?) ---------------------------------------------------------------------------14 4.已知函数f(x)?x?212ax?ln(1?x)，其中a?R. 2（Ⅰ）若x?2是f(x)的极值点，求a的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)在[0,??)上的最大值是0，求a的取值范围.

21.（理）（本小题满分12分） （Ⅰ）解：f?(x)?x(1?a?ax)1,x?(?1,??). 依题意，令f?(2)?0，解得 a?.

3x?11经检验，a?时，符合题意. ??4分

3x（Ⅱ）解：① 当a?0时，f?(x)?.

x?1故f(x)的单调增区间是(0,??)；单调减区间是(?1,0).

1② 当a?0时，令f?(x)?0，得x1?0，或x2??1.

a当0?a?1时，f(x)与f?(x)的情况如下：

x f?(x) f(x) (?1,x1) ? ↘ x1 (x1,x2) x2 (x2,??) 0 f(x1) ? ↗ 0 f(x2) ? ↘ 11?1)；单调减区间是(?1,0)和(?1,??). aa当a?1时，f(x)的单调减区间是(?1,??).

所以，f(x)的单调增区间是(0,当a?1时，?1?x2?0，f(x)与f?(x)的情况如下：

x (?1,x2) ? ↘ x2 (x2,x1) x1 (x1,??) f?(x) f(x) 0 f(x2) ? ↗ 0 f(x1) ? ↘ 1?1)和(0,??). a③ 当a?0时，f(x)的单调增区间是(0,??)；单调减区间是(?1,0). 综上，当a?0时，f(x)的增区间是(0,??)，减区间是(?1,0)；

所以，f(x)的单调增区间是(?1,0)；单调减区间是(?1,1a11?1)，减区间是(?1,0)和(?1,??)； aa当a?1时，f(x)的减区间是(?1,??)；

11当a?1时，f(x)的增区间是(?1,0)；减区间是(?1,?1)和(0,??).

aa当0?a?1时，f(x)的增区间是(0, ??10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a?0时，f(x)在(0,??)上单调递增，由f(0)?0，知不合题意. 当0?a?1时，f(x)在(0,??)的最大值是f(?1)，

1a1a当a?1时，f(x)在(0,??)单调递减，

可得f(x)在[0,??)上的最大值是f(0)?0，符合题意.

所以，f(x)在[0,??)上的最大值是0时，a的取值范围是[1,??). ????12分

由f(?1)?f(0)?0，知不合题意.

x35. 已知函数f(x)?ln(2ax?1)??x2?2ax(a?R).

3 （1）若x?2为f(x)的极值点，求实数a的值；

（2）若y?f(x)在[3,??)上为增函数，求实数a的取值范围；

1(1?x)3b?有实根，求实数b的最大值。 （3）当a??时,方程f(1?x)?23x22?x2ax?(1?4a)x?(4a?2)?2a??????12?x?2x?2a?22．解：（1）f'(x)?2ax?12ax?1分

因为x?2为f(x)的极值点，所以f'(2)?0 即

2a?2a?0，解得a?0，又当a?0时，f'(x)?x(x?2)，从而x?2为f(x)4a?1为

的极值点成立。????2分 （2）因

f(x)在区间

?3,???上为增函数，所以

f'(x)?22x?2ax?(1?4a)x?(4a?2)???2ax?1?0在区间?3,???上恒成立。????3分

①当a?0时，f'(x)?x(x?2)?0在区间?3,???上恒成立，f(x)在区间?3,???上为增函数，符合题意。????4分

②当a?0时，由函数f(x)的定义域可知，必有2ax?1?0对x?3成立，

故只能a?0????5分

故2ax?(1?4a)x?(4a?2)?0对x?3恒成立 令g(x)?2ax?(1?4a)x?(4a?2)，其对称轴为x?1?22221?1 4a从而要使g(x)?0对x?3恒成立，只要g(3)?0即可????6分

?g(3)??4a2?6a?1?0 解得：3?133?13?a? 44?a?0，故0?a?3?13 4综上所述，实数a的取值范围为?0,?3?13??????7分 4??(1?x)3b1b+可化为，lnx?(1?x)2?(1?x)?．（3）若a??时，方程f(1?x)? 3x2x问题转化为b?xlnx?x(1?x)?x(1?x)?xlnx?x?x在?0,???上有解，

223即求函数g(x)?xlnx?x?x的值域．????????????8分 以下给出两种求函数g?x?值域的方法：

解法一：g(x)?xlnx?x?x?x(lnx?x?x)，令h(x)?lnx?x?x(x?0) 则h'(x)?2322231(2x?1)(1?x)????9分 ?1?2x?xx所以当0?x?1时，h'(x)?0，从而h(x)在(0,1)上为增函数 当x?1时，h'(x)?0，从而h(x)上为减函数 因此h(x)?h(1)?0????10分 而x?0，故b?x?h(x)?0????11分 因此当x?1时，b取得最大值0????12分

解法二：因为g(x)?x(lnx?x?x)，所以g'(x)?lnx?1?2x?3x

2216x2?2x?1设p(x)?lnx?1?2x?3x，则p'(x)??2?6x??????9分

xx2当0?x??1?7?1?7时，p'(x)?0，所以p(x)在?0,上单调递增 ???66??当x??1?7?1?7时，p'(x)?0，所以p(x)在?上单调递减 ,????6?6???1?7?23?1?，又p?2???2?1?2?4?0??6?ee?e???3??e4?0???

因为p(1)?0，故必有p?10分

?11?7?因此必存在实数x0??2,使得g'(x0)?0 ??e?6??当0?x?x0时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,x0)上单调递减； 当x0?x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(x0,1)上单调递增

当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(1,??)上单调递减????11分 又因为g(x)?xlnx?x?x?x(lnx?x?x)?x(lnx?)

232141?0，则g(x)?0，又g(1)?0 4因此当x?1时，b取得最大值0????12分

1?a6.已知函数f(x)?lnx?ax??1(a?R).

x?1(Ⅰ)当a?时，讨论f(x)的单调性；

2当x?0时，lnx?（Ⅱ）当a?0时，对于任意的n?N?,且n?2，证明：不等式

111132n?1 ???????f(2)f(3)f(4)f(n)42n(n?1)11?a?ax2?x?a?121．解析（I）原函数的定义域为(0,??)，因为f'(x)??a?2? 2xxx当a?0时，f'(x)?x?1x?1,令f'(x)??0得x???所以此时函数f(x)在(1,??)上是增22xx函数，在(0,1)上是减函数；

?ax2?x?a?112??得?ax?x?1?a??当a?0时，令f'(x)?，解得x?1或x??1x2a（舍去），此时函数f(x)在(1,??)上增函数，在(0,1)上是减函数；

?ax2?x?a?1112当0?a?时，令f'(x)?，解得??得?ax?x?1?a??1?x??1 2x2211?1)上是增函数，在(0,1)和(?1,??)上是减函数 ???6分 aa1（II）由（I）知：a?0时，f(x)?Lnx??1在(1,??)上是增函数，

x此时函数f(x)在(1,?x?1时f(x)?f(x)?0

设g(x)?f(x)?(x2?1)?Lnx?1?x2(x?1) x11?2x3?x?1?(x?1)(2x3?2x?1)则g'(x)??2?2x? ?22xxxx单调递减 ,x(?2x2?2x?1?0恒成立 ?x?1时，g'(x)?0g?x?1时，g(x)?g(1)?0,即f(x)?x2?1

又f(x)?0,?111111?2??(?) f(x)x?1(x?1)(x?1)2x?1x?1?111111111111??????(1?????????) f(2)f(3)f(4)f(n)232435n?1n?1111132n?1 ?(1???)??22nn?142n(n?1)?不等式得证 ?????????????12分

7.已知函数f(x)?ax?1?lnx(a?R)．

（Ⅰ）讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数f(x)在x?1处取得极值，对?x?(0,??),f(x)?bx?2恒成立， 求实数b的取值范围；

（Ⅲ）当0?x?y?e且x?e时，试比较

21．解：（Ⅰ）f?(x)?a?1ax?1，当a?0时，f?(x)?0在(0,??)上恒成立，函数f(x) ?xx在(0,??)单调递减，∴f(x)在(0,??)上没有极值点；

2y1?lny的大小． 与x1?lnx当a?0时，f?(x)?0得0?x?11，f?(x)?0得x?，

aa∴f(x)在(0,)上递减，在(,??)上递增，即f(x)在x?∴当a?0时f(x)在(0,??)上没有极值点，

1a1a1处有极小值． a当a?0时，f(x)在(0,??)上有一个极值点． ································································· 3分 （Ⅱ）∵函数f(x)在x?1处取得极值，∴a?1， ∴f(x)?bx?2?1?令g(x)?1?1lnx················································································· 5分 ??b， ·

xx1lnx，可得g(x)在0,e2上递减，在e2,??上递增， ?xx????∴g(x)min?g(e2)?1?（Ⅲ）证明：ex?y1e2，即b?1?1． ······································································ 7分 2eln(x?1)exey???， ············································· 8分 ln(y?1)ln(x?1)ln(y?1)ex令g(x)?，则只要证明g(x)在(e?1,??)上单调递增，

ln(x?1)1??ex?ln(x?1)?x?1???，

又∵g?(x)?ln2(x?1)显然函数h(x)?ln(x?1)?∴h(x)?1?1在(e?1,??)上单调递增． ···································· 10分 x?11?0，即g?(x)?0， eexey?∴g(x)在(e?1,??)上单调递增，即，

ln(x?1)ln(y?1)∴当x?y?e?1时，有ex?y?ln(x?1)． ································································ 12分

ln(y?1)8. 设函数f(x)?lnx?ax,(a?R)

（1）判断函数f(x)的单调性；

（2）当lnx?ax(0,??)上恒成立时，求a的取值范围； （3）证明：(1?)?e(n?N?).

1nn

8.设函数f(x)?lnx? (1)当a?b?12ax?bx. 21时，求函数f(x)的最大值； 2

12a（0?x?3） ax?bx?，

2x1其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；

22(3)当a?0，b??1，方程2mf(x)?x有唯一实数解，求正数m的值． 21.（本小题满分12分）解: （1）依题意，知f(x)的定义域为（0，+∞），

111当a?b?时，f(x)?lnx?x2?x，

242111?(x?2)(x?1)?????2分 f'(x)??x??x222x令f'(x)=0，解得x?1．（∵x?0）

因为g(x)?0有唯一解，所以g(x2)?0，当0?x?1时，f'(x)?0，此时f(x)单递增；

当x?1时，f'(x)?0，此时f(x)单调递减。

3所以f(x)的极大值为f(1)??，此即为最大值 ?????4分

4x?a1a(2）F(x)?lnx?，x?(0,3]，则有k?F'(x0)?02≤，在x0?(0,3]上恒成立，

2xx012所以a≥(?x0?x0)max，x0?(0,3]

21211当x0?1时，?x0?x0取得最大值，所以a≥???8分

2222(3)因为方程2mf(x)?x有唯一实数解，

(2)令F(x)?f(x)?所以x?2mlnx?2mx?0有唯一实数解， 设g(x)?x?2mlnx?2mx，

222x2?2mx?2m2则g'(x)?．令g'(x)?0，x?mx?m?0．

xm?m2?4mm?m2?4m?0（舍去）因为m?0，x?0，所以x1?，x2?，

22当x?(0,x2)时，g'(x)?0，g(x)在（0，x2）上单调递减， 当x?(x2,??)时，g'(x)?0，g(x)在（x2，+∞）单调递增 当x?x2时，g'(x2)=0，g(x)取最小值g(x2)．

2?g(x2)?0,??x2?2mlnx2?2mx2?0,则?既?2?????10分

g'(x)?0,?2??x2?mx2?m?0.所以2mlnx2?mx2?m?0，因为m?0，所以2lnx2?x2?1?0（*） 设函数h(x)?2lnx?x?1，因为当x?0时， h(x)是增函数，所以h(x)?0至多有一解．

m?m2?4m1?1，解得m??12分 因为h(1)?0，所以方程（*）的解为x2?1，即

229.已知函数f(x)?12x?(a?3)x?lnx. 2（Ⅰ）若函数f(x)是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；

（Ⅱ）方程f(x)?(?a)x2?(a?2)x?2lnx有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； （Ⅲ）在函数f(x)的图象上是否存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)，线段AB的中点的横坐标为x0，有f(x0)?/'12y1?y2成立？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．

x1?x2解（Ⅰ）f(x)?x?a?3?1(x?0). 1分 x/若函数f(x)在(0,??)上递增，则f(x)?0对x?0恒成立，即a??(x?)?3对x?0恒成立，而当x?0时，?(x?)?3??2?3?1.?a?1. 若函数f(x)在(0,??)上递减，则f(x)?0对x?0恒成立，即a??(x?)?3对x?0恒成立，这是不可能的．

综上，a?1. a的最小值为1． 4分 （Ⅱ）解1、由f(x)?(a?)x?(a?2)x?lnx?ax?x?a?/1x1x1x1222lnx?x 2x?1?2??1?x?2x?lnx?x?1?x?2lnxlnx?x?x?令r?x?? ?r'x????x2x4x3得1?x?2lnx=0的根为1，所以

当0?x?1时，r'?x??0，则r?x?单调递增，当x?1时，r'?x??0，则r?x?单调递减， 所以r?x?在x?1处取到最大值r?1??1，又x?0时r?x??0 ，又x???时r?x??0， 所以要使

y?lnx?xx2与

y?a有两个不同的交点，则有

0?a?1 ?????8分

（Ⅲ）假设存在，不妨设0?x1?x2.

1212x1?(a?3)x1?lnx1?x2?(a?3)x2?lnx2f(x1)?f(x2)22k??x1?x2x1?x2x1x2?x0?(a?3)?. 9分

x1?x2lnf/(x0)?x0?(a?3)?1. x0xxx121?2ln1xxx22x21/若k?f(x0),则，即ln1?2． （*） 12??，即

x1x2x1?x2x1?x2x1?x2x0?1x2ln分

令t?x12t?2，u(t)?lnt?（0?t?1)， x2t?1(t?1)2则u?(t)?＞0．∴u(t)在0?t?1上增函数， ∴u(t)?u(1)?0，

t(t?1)2∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k?f(x0).

因此，满足条件的x0不存在． 15分 10.已知函数f(x)?xlnx.（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和最小值；

/1b（Ⅱ）当b?0时,求证:b?()e（其中e=2.718 28?是自然对数的底数）；（Ⅲ）若

e1a?0,b?0,证明:f(a)?(a?b)ln2?f(a?b)?f(b).

?122．解：（Ⅰ）?f?(x)?lnx?1(x?0),令f?(x)?0,即lnx??1?lne.???1分

1?x?[,??).

e1 同理，令f?(x)?0可得x(0,].

e11 ∴f(x)单调递增区间为[,??)，单调递减区间为(0,].????????3分

ee11 由此可知y?f(x)min?f()??.????????????????4分

ee11 （Ⅱ）由（I）可知当b?0时，有f(b)?f(x)min??,?blnb??，

ee

1?x?e?1?.e111即ln(b)???ln()e.

eeb

11?b?()e.??????????????????????????8分

eb

ex11.设f(x)?，其中a?0．

1?ax2（1）当a?4时，求f(x)的极值点； 3（2）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

1?ax2?2ax19．对f(x)求导得f?(x)?e 22(1?ax)x①

（1）当a?431时，若f?(x)?0，则4x2?8x?3?0，解得x1?,x2? 3221(??,)

2+ ↗

结合①，可知 x

1 20 极大值

13(,) 22_ ↘

3 20 极小值

3(,??) 2+ ↗

f?(x) f(x)

所以，x1?31是极小值点，x2?是极大值点．------------------6分 22（2）若f(x)为R上的单调函数，则f?(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知

ax2?2ax?1?0在R上恒成立，因此??4a2?4a?4a(a?1)?0，

由此并结合a>0，知0?a?1．-----------------12分

2212.已知函数f(x)?x?8lnx, g(x)??x?14x (1) 求函数f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;

(2) 若函数f(x)与g(x)在区间(a, a?1)上均为增函数, 求a的取值范围; (3) 若方程f(x)?g(x)?m有唯一解, 试求实数m的值. 20、(1) 因为f?(x)?2x?8, 所以切线的斜率k?f?(1)??6??????2分 x又f(1)?1,故所求切线方程为y?1??6(x?1)?y??6x?7.??????4分 (2) 因为f?(x)?2(x?2)(x?2), 又x?0,

x所以当x?2时, f?(x)?0; 当0?x?2时,

f?(x)?0. 即f(x)在(2, ??)上递增, 在(0, 2)上递减

又g(x)??(x?7)?49, 所以g(x)在(??, 7)上递增, 在(7, ??)上递减

2?a?2欲f(x)与g(x)在区间(a, a?1)上均为增函数, 则?, 解得2?a?6??10分

a?1?7?2(3) 原方程等价于2x?8lnx?14x?m, 令h(x)?2x?8lnx?14x,

2则原方程即为h(x)?m. 因为当x?0时原方程有唯一解,

所以函数y?h(x)与y?m的图象在y轴右侧有唯一的交点, ??????12分 又h?(x)?4x?82(x?4)(2x?1), 且x?0, ?14?xx所以当x?4时, h?(x)?0; 当0?x?4时, h?(x)?0.

即h(x)在(4, ??)上递增, 在(0, 4)上递减. 故h(x)在x?4处取得最小值, ??15分 从而当x?0时原方程有唯一解的充要条件是m?h(4)??16ln2?24.????16分 ln(－x)

13.已知f (x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e,0)，g(x)＝－x，其中e是自然常数，a∈R． （1）讨论a＝－1时, f (x)的单调性、极值； 1

（2）求证：在（1）的条件下，|f (x)|＞g(x)＋2；

（3）是否存在实数a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

即b?11?2x对x∈(0，＋∞)恒成立，只需b?(?2x)min． ????2分 xx21时取“＝”， ?2x?22，当且仅当x?2x∵x＞0，∴

∴b?22，∴b的取值范围为(??,22]． ??????4分 （2）当a＝1，b＝－1时，f(x)＝lnx－x＋x，其定义域是(0，＋∞)，

2

12x2?x?1(x?1)(2x?1)∴f?(x)??2x?1??． ??xxx∵x＞0，∴当0＜x＜1时，f ′(x)＞0；当x＞1时，f ′(x)＜0．

∴函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减．????6分

2

∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)＝ln1－1＋1＝0；

当x≠1时，f(x)＜f(1)，即f(x)＜0，∴函数f(x)只有一个零点．????8分

?f(x1)?lnx1?ax12?bx1?0?lnx1?ax12?bx1????（3）由已知得?， 22???f(x2)?lnx2?ax2?bx2?0?lnx1?ax1?bx1两式相减，得lnx1?a(x1?x2)(x1?x2)?b(x1?x2) x2?lnx1?(x1?x2)[a(x1?x2)?b]．????10分 x2由f?(x)?1?2ax?b及2x0＝x1＋x2，得 xf?(x0)?x1221?2ax0?b??[a(x1?x2)?b]??ln1 x0x1?x2x1?x2x1?x2x22(x1?1)2(x?x2)xx2x11?[1?ln1]?[?ln1] x1?x2x1?x2x2x1?x2x1x2(?1)x2令t?x12t?2,?(t)??lnt(0?t?1)． x2t?1(t?1)2?0，∴φ(t)在(0，1)上递减，∴φ(t)＞φ(1)＝0． ∵??(t)??t(t?1)2∵x1＜x2，∴f ′(x0)＜0． ????13分

b22.设函数f(x)?2ax??Lnx

x（1）若f(x)在x?1,x?1处取得极值, 2 ①求a、b的值；

1 ②存在x0?[,2]，使得不等式f(x0)?c?0成立，求c的最小值；

4（2）当b?a时，若f(x)在(0,??)上是单调函数，求a的取值范围。 （参考数据e?7.389,e?20.08) 22.解析：（理）（Ⅰ）( i )?f(x)?2ax? ?f'(x)?2a?23b?1nx，定义域为(0,??) xb1?。 ?????????1分 2xx11 ?f(x)在x?1,x?处取得极值， ?f'(1)?0,f'()?0??2分

221?a????2a?b?1?011?3解得? 即? ?所求a、b的值分别为-,? ??4分

33?2a?4b?2?0?b??1?3?1 （ii）在[,2]存在xo,使得不等式f(xo)?c?0成立，只需c?[f(x)]min，

42x2?3x?1211(2x?1)(x?1) 由f'(x)??x?2???， ??3x233xx3x21111 ?当x?[,]时，f'(x)?0,故f(x)在[,]是单调递减；

424211 当x?[,1]时，f'(x)?0，故f(x)在[,1]是单调递增;

22 当x?[1,时，; 2]fx'?()，故0f(x)在[1,是单调递减2]11 ?f()是f(x)在[,2]上的极小值. ?????????6分

2411117 而f()??1n??1n，2f(2)???n1，2

23236331332 且f()?f(2)??1n4?1ne2?1n4, 又e?16?0?,n1e?n14? 0 2272 )?c??f(x)?min???ln2 ?[f(x)m]in?f(，

677 ?c的取值范围为[??1n2,??),所以c的最小值为??1n2. ??????9

66分

2ax2?x?a时，f'(x)? （Ⅱ）当a?b，

x2x.f(在x)(?0?上单调递增,) ①当a?0时，f(x)?1m则；

②当a?0时，

2?x?0,?2ax?x?a??0f'(x)?，则 0f(x在)(0,+?上单调递增；) ③当a?0时，设g(x)?2ax?2x?只需a,?0?，

2,此时f(x)在(0??)上单调递减; 42 综上得，a的取值范围是（??. ???12分 ，?]?[，0+?）4 从面得a??

23.已知函数f(x)?(x?3x?3)?e定义域为??2,t?(t??2),设f(?2)?m,f(t)?n.

2x（1）试确定t的取值范围,使得函数f(x)在??2,t?上为单调函数； （2）求证:n?m；

f'(x0)22?(t?1)x0x?(?2,t)3（3）求证:对于任意的t??2,总存在0,满足e,并确定这样的 x0 的个数

2xxx?f(x)?(x?3x?3)?e?(2x?3)?e?x(x?1)?e20、解: (Ⅰ)因为??????2分

??由f(x)?0?x?1或x?0；由f(x)?0?0?x?1,所以f(x)在(??,0),(1,??)上递

增,在(0,1)上递减 ,欲f(x)在??2,t?上为单调函数,则?2?t?0 ????4分 (Ⅱ)证明:因为f(x)在(??,0),(1,??)上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x?1处取得极小值e ???????????6分

f(?2)? 又

13?e2??2,???上的最小值为f(?2) e,所以f(x)在

从而当t??2时,f(?2)?f(t),即m?n ?????????????????9分

f'(x0)2f'(x0)22222?(t?1)?x?xx?x?(t?1)0000x0x033（Ⅲ）证:因为e, e 即为,

22g(x)?x2?x?(t?1)2g(x)?x2?x?(t?1)233 令,从而问题转化为证明方程=0

在(?2,t)上有解,并讨论解的个数 ????????????????11分

2221g(?2)?6?(t?1)2??(t?2)(t?4)g(t)?t(t?1)?(t?1)2?(t?2)(t?1)3333 因,,

所以 ①当t?4或?2?t?1时,g(?2)?g(t)?0,

所以g(x)?0在(?2,t)上有解,且只有一解 ????????????13分

2g(0)??(t?1)2?03②当1?t?4时,g(?2)?0且g(t)?0,但由于,

所以g(x)?0在(?2,t)上有解,且有两解 ???????????????14分 ③当t?1时,g(x)?x?x?0?x?0或x?1,所以g(x)?0在(?2,t)上有仅有一解；

2g(x)?x?x?6?0?x??2或x?3, t?4当时,

2所以g(x)?0在(?2,4)上也有且只有一解 ????????????15分

f'(x0)22?(t?1)x0x?(?2,t)3综上所述, 对于任意的t??2,总存在0,满足e,

且当t?4或?2?t?1时,有唯一的当1?t?4时,有两个24. 已知函数?(x)?x0适合题意；

x0适合题意 ??????????16分

a，a为正常数． x?19（1）若f(x)?lnx??(x)，且a?，求函数f(x)的单调增区间；

2（2） 若g(x)?|lnx|??(x)，且对任意x1,x2?(0,2]，x1?x2，都有

g(x2)?g(x1)??1，求a的的取值范围．

x2?x11ax2?(2?a)x?1?21．解：（1） f'(x)??， -------------------------------------2分

x(x?1)2x(x?1)2

91，令f'(x)?0，得x?2，或x?，------------------------------------3分 221∴函数f(x)的单调增区间为(0,)， (2,??)． -----------------------------4分

2∵a?（2）∵

g(x2)?g(x1)g(x2)?g(x1)??1，∴?1?0，

x2?x1x2?x1∴

g(x2)?x2?[g(x1)?x1]?0，--------------------------------------------------5分

x2?x1设h(x)?g(x)?x，依题意，h(x)在?0,2?上是减函数． 当1?x?2时， h(x)?lnx?1aa?1， ?x，h'(x)??x(x?1)2x?1(x?1)21令h'(x)?0，得：a??(x?1)2?x2?3x??3对x?[1,2]恒成立，

xx11?3，则m'(x)?2x?3?2， xx1∵1?x?2，∴m'(x)?2x?3?2?0，

x设m(x)?x2?3x?∴m(x)在[1,2]上是增函数，则当x?2时，m(x)有最大值为∴a?27， 227．------------------------------------------------------------------------------------9分 21aa?1， ?x，h'(x)???x(x?1)2x?1当0?x?1时， h(x)??lnx?(x?1)21令h'(x)?0，得： a???(x?1)2?x2?x??1，

xx

设t(x)?x?x?211?1，则t'(x)?2x?1?2?0， xx∴t(x)在(0,1)上是增函数，∴t(x)?t(1)?0， ∴a?0，综上所述，a?27------------------------------------------------------------13分 21?x25.已知函数f(x)=ax?lnx?1(a?R)，g(x)?xe. (Ⅰ)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域；

（Ⅱ）是否存在实数a，对任意给定的x0?(0,e]，在区间[1,e]上都存在两个不

同的xi(i?1,2)，使得f(xi)?g(x0)成立.若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）给出如下定义：对于函数y?F(x)图象上任意不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)，如果对于函数y?F(x)图象上的点M(x0,y0)（其中

x1?x2)总能使得F(x1)?F(x2)?F?(x0)(x1?x2)成立，则称函数具备性质2“L”，试判断函数f(x)是不是具备性质“L”，并说明理由.

1?x1?x1?x21. 解：(Ⅰ)?g?(x)?e?xe?e(1?x) ?g(x)在区间(0,1]上单调递增，x0?在区间[1,e)上单调递减,且g(0)?0,g(1)?1,g(e)?e2?e?0 ?g(x) 的值域为(0,1] ??????3分

（Ⅱ）令m?g(x)，则由(Ⅰ)可得m?(0,1]，原问题等价于：对任意的

故f(x)在[1,e]不可能是单调函m?(0,1]f(x)?m在[1,e]上总有两个不同的实根，

数 ???????5分

111?f?(x)?a?(1?x?e) ?[,1]

xxe1当a?0时, f?(x)?a??0, ?f(x)在区间[1,e]上递减，不合题意

x

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