南昌航空大学2012-2013学年第二学期概率答案

2012-2013学年第二学期概率答案

一，

南昌航空大学2012-2013第二学期概率期末试卷（工科）答案

填空题（每小空2分，共16分）

1. A,B两个事件互相互独立，P(A)?0.5,P(B)?0.7,则P(AUB)?________ 解：因为A,B相互独立，所以P(AB)?P(A)P(B), 而P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.5?0.7?0.35?0.85

2.设随机变量?~b(n,p)，E(?)?3,D(?)?1.2,则n=________ 解：因为np?3,np(1?p)?1.2，所以n?5,p?0.6 3、已知E(?)?5,D(?)?2，则E(?2)?________ 解：E(?2)?D(?)?[E(?)]2?29

4、甲，乙两个射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别为0.7和0.8，先由甲射击，若甲未射中再由乙射击，设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为____0.94____ 解：设

A1,A2表示甲，乙击中目标，则P(A1)?0.7,P(A2)?0.8,所求概率为

P(A1)?P(A1)P(A2)?0.7?0.3?0.8?0.94

5.设连续型随机变量?的概率密度为f(x)?a，a为常数，则P{??0}=___ 2x?2x?2解：因为

?????f(x)dx=?????a1??dx?aarctan(x?1)|??a?1a?，所以 ??x2?2x?2??Aex,x?0?6. 已知X的概率密度为f(x)??1/4,0?x?2，则常数

?0,x?2?A?_________,P{?0.5?X?1}=________分布函数为F(x)?________

解：

?????f(x)dx=?Aedx????0x20111dx?A??1，所以A?， 4220P{?0.5?X?1}??当x1?0.5111x31?1f(x)dx??edx??dx??e2

?0.520442?0时，F(x)????f(t)dt????etdt?ex，

1

xx1212

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当0?当xx?2时，F(x)????xx11t1xf(t)dt??edt??dt??

??204240?2时，F(x)?1

37，则647、设A,B,C三个事件相互独立，且P(A)?P(B)?P(C)，P(AUBUC)?P(A)?____

解：P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?3727? 6464而P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?[P(A)]?32731,所以P(A)?,P(A)? 6444111,,，754二， 设甲，乙，丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为

现从这三个地区任抽取一个人，（1）求此人感染此病的概率（2）若此人感染此病，求

此人来自乙地区的概率（12分） 解：设Ai(i?1,2,3)表示来自甲，乙，丙地区，事件B表示此人感染流行病，

1则P(A1)?P(A2)?P(A3)?，

3111P(B|A1)?,P(B|A2)?,P(B|A3)?

754(1) 所求概率为P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?1383?0.198 420(2) 所求概率为P(B|A2)?P(A2B)P(A2)P(B|A2)28???0.337

P(A2)P(A2)83三， 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为

x?1?5?e,x?0，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开，他一个月f(x)??5?0,x?0?要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布，并求P{Y?1}

1解：由题意知，X服从参数为的指数分布，而

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P{X?10}??因为Y??10f(x)dx????10x1?5edx?e?2 5~b(5,e?2)，所以P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1?e?2)5?0.5167

四， 已知二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：

Y X ?1 2 ?1 0.1 0.2 1 0.2 0.1 2 0.3 0.1 （1） 求X和Y的边缘分布律；（2）求E(X),D(X)，E(Y),D(Y)及X和Y的相关系

数?XY（16分）

解：（1）由已知可知：X和Y的边缘分布律为 X -1 2 Y -1 1 2 P 0.6 0.4 P 0.3 0.3 0.4 (2)E(X)?(?1)?0.6?2?0.4?0.2,

E(X2)?(?1)2?0.6?22?0.4?2.2

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2.16 E(Y)?(?1)?0.3?1?0.3?2?0.4?0.8

E(Y2)?(?1)2?0.3?12?0.3?22?0.4?2.2 D(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?1.56Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??0.66

?XY?E(XY)??0.5Cov(X,Y)??0.36

D(X)D(Y)五．某工厂生产的零件废品率为5%，某人要采购一批零件，他希望以95%的概率保证其中有2000个合格品，问他至少应购买多少零件？（10分） 解：设他应至少购买n个零件，则n?2000

设X表示该批零件中合格零件数，则X~B(n,p),p?0.95，

因为n较大，所以X近似服从N(np,npq)

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所以P(X?2000)?1??(2000?np2000?np)?0.95，所以??1.65

npqnpqn?2123,所以应该至少购买2123个零件。

?1?e?(x??),x??五， 已知总体X的分布函数为F(x)??(??R)，其中?为未知参数，

?0,x???，它是否是?的无（1）求?的矩估计量?X1,X2,...,Xn是来自总体X的一个样本，

偏估计量？（2）求?的极大似然估计量??，它是否是?的无偏估计量？（14分）

?e?(x??),x??解：由题意知：f(x)?F?(x)??

0,x???（1）?1?E(X)??令?1????xf(x)dx?????xe?(x??)dx???1，

??X?1 ?X，所以??是?的无偏估计量。 ?)?E(X)?1??,所以?而E(?n?（2） 似然函数L(?)??f(x;?)?eii?1?(xi??)i?1n,xi??

dL(?)??min{X1,X2,...,Xn}?Z ?0,所以L(?)单调增加，所以?因为

d?1?不是?的无偏估计量。 可以求得E(Z)?????，所以?n?(x??)n?1?[e],x??n（Z的分布函数为F(x)?1?[1?FX(x)]??

i?0,x???1?e?n(x??),x?? ???0,x???ne?n(x??),x??所以Z的概率密度为f(x)?F?(x)??，

?0,x??所以E(Z)??????xf(x)dx?????xe?n(x??)dx??xe?n(x??)??|??????e?n(x??)dx

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11） ???[?e?n(x??)]??????nn七，

设某种电子管的使用寿命服从正态分布，从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命是1950小时，样本标准差s为300小时，求电子管均值?的置信度为0.95的置信区间。（8分）

解：?的置信度为1??的一个置信区间(X而x?St?(n?1)) n2?1950,s?300,n?15,t0.025(n?1)?t0.025(14)?2.1448

所以置信区间为（1950?166)，即：（1784,2116） 八，

某超市为了增加销售，对营销方式，管理人员等进行了一系列的调整，调整后随机抽查了9天的日销售额，（单位：万元）经计算知：x?54.5,s2?11.13，据统计，调整前的日平均销售额是51.2万元，假定日销售额服从正态分布，试问调整措施的效果是否显著？(??0.05)（10分）

解：提出假设H0:???0,H1:???0（?0选取检验统计量为t2?51.2)

?X??0S/n，拒绝域为t?t?(n?1)?t0.05(8)?1.8595

又x?54.5,s?11.13，n?9，所以t?2.968?t0.05(8)?1.8595

落在拒绝域里，所以拒绝原假设，即认为调整效果显著。

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