概率论与数理统计教程课后习题解答 魏宗舒

第三章 连续型随机变量

3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a) 解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)； （2）P(??a)?F(a?0)； （3）P(??a)=1-F(a)； （4）P(??a)?1?F(a?0)。 3.2 函数F(x)?11?x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果

（1）???x???

（2）0?x??，在其它场合适当定义； （3）-??x?0，在其它场合适当定义。

解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义

?F(x)~F(x)???1???x?0x?0则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。

3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为 （1）[0,?2]；（2）[0,?]；（3）[0,32~?]。

?解：（1）当x?[0,布密度；

?2]时，sinx?0且?2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分

0 （2）因为?sinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；

0x （3）当x?[?,32?]时，sinx?，所以sinx 不是随机变量的分布密度。

1

3.4 设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的

a?0,有（1）F(?a)?1?F(a)?12??a0p(x)dx；

（2）P（??a)?2F(a)?1； （3）P(??a)?2?1?F(a)?。 证：（1）F(?a)???a??p(x)dx?1????ap(x)dx

=1????ap(?x)dx?1??a??p(x)dx

=1?F(a)?1? ? （2）P(??a??0??p(x)dx

?a0p(x)dx?a12??a0a0p(x)dx；

??ap(x)dx?2?p(x)dx，由（1）知

1-F(a)? 故上式右端=2F(a)?1；

12??a0p(x)dx

（3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。

3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明

F(x)?aF1(x)?bF2(x)

也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与F2(x1)?F2(x2)，于是

F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)

F2(x都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，

又

x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?0

x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1

x??x??F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)

所以，F(x)也是分布函数。

2

取a?b?12，又令

x?0?0?F2(x)??x0?x?1

?1x?1?x?00?x?1 x?1?0F1(x)???1x?0x?0这时

?0?1?xF(x)???2?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而

F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。

3.6 设随机变数?的分布函数为

?1?(1?x)e?xF(x)???0x?0x?0

求相应的密度函数，并求P(??1)。 解：

ddx[1?(1?x)e?x]?xe?x，所以相应的密度函数为 ?xe?xp(x)???0x?0x?02e

P(??1)?F(1)?1?。

3.7 设随机变数?的分布函数为

?0?2F(x)??Ax?1?x?00?x?1 x?1求常数A及密度函数。

解：因为F(1?0)?F(1)，所以A?1，密度函数为

?2xp(x)???00?x?1其它

3.8 随机变数?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。

3

解：因为limF(x)?A?B(?x????2)?0

limF(x)?A?Bx????2?1

所以

A?12,B?1?

因而

F(x)?12?1arctgx,p(x)?F?(x)?1??(1?x2。)3.9 已知随机变数?的分布函数为

?x0?x?1p(x)???2?x1?x?2 ??0其它（1） 求相应的分布函数F(x)；

（2） 求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。

?0x?0?x?ydy?1x20?x?1解：F(x)????02?1??0ydy??x1(2?y)dy?2x?1

x2?11?x?2?2?1x?2P(??0.5)?F(0.5)?18P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245 P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.663.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。（1）p(x)?Ae?x；

??（2）p(x)???Acosx?2?x???2

?0其它?Ax21?x?2（3）

p(x)???Ax2?x?3 ?0其它 4

解：（1）????Ae?xdx?2A?e0??xdx?2A?1所以A?12；

12???0 （2）?2?Acosxdx?2A?2cosxdx?2A?1，所以A=

28;

(3)?Ax2dx?12?2Axdx?296A?1,所以A?629。

3.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求??oP的分布函数。 解：当0?x?R时

4F(x)P(??x)?343?x?R3?(3xR)

3所以

0??x3F(x)??()?R1?x?00?x?R x?R3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为

?12x(1?x)20?x?1p(x)??

0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？

解： P(??0.8)? P(??0.9)?1?0.8112x(1?x)dx?0.0272 12x(1?x)dx?0.0037

22?0.9因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每

天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14

设随机变数?服从（0，5）上的均匀分布，求方程

4x?4?x???2?0

2有实根的概率。 解：当且仅当

(4?)?16(??2)?0 （1） 成立时，方程4x?4?x???2?0有实根。不等式（1）的解为：??2或???1。

22 5

因此，该方程有实根的概率

p?P(??2)?P(???1)?P(??2)??5152dx?35。

3.17 某种电池的寿命?服从正态N(a,?2)分布，其中a?300（小时），??35（小时） (1) 求电池寿命在250小时以上的概率；

（2）求x，使寿命在a?x与a?x之间的概率不小于0.9。

解：（1）P(??250)?P(??30035??1.43)

=P(??30035?1.43)??(1.43)?0.9236；

（2）P(a?x???a?x)?P(?x??30035?35?x35

=?(xx35)??(?35)?2?(x35)?1?0.9

即

?(x35)?0.95

所以

x35?1.65

即

x?57.75

3.18 设?(x)为N(0,1)分布的分布函数，证明当x?0时，有

1?x222?e.1x?1??(x)?112?e?x22(1x?x3)

22 证： 1??(x)?1?1e?y2dy1?y2dy

2??x???2???exx22 =

1e?2.12dy

2?x?12???1xy2e?y1x22 =e2(11?3?y22?x?1x3)?dy

2??xy4e所以

2

1?x222?e.1x?1??(x)?1112?e?x2(x?x3)。

3.21 证明：二元函数

F(x,y)??1x?y?0??0x?y?0

6

对每个变元单调非降，左连续，且F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0，但是 F(x,y)并不是一个分布函数。 证：（1）设?x?0，

若x?y?0，由于x??x?y?0，所以F(x,y)?F(x??x,y)?1， 若x?y?0，则F(x,y)?0。当x??x?y?0时，F(x??x,y)?0；

当x??x?y?0时，F(x??x,y)?1。所以 F(x,y)?F(x??x,y)。 可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对y非降。 （2）x?y?0时

limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?0=F(x,y)，

?x?0?y?0 x?y?0时，

limF(x??x,y)?limF(x,y??y)?1=F(x,y)，

?x?0?y?0 所以F(x,y)对x、y左连续。

（3）F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0。

（4）P(0???2,0???2)?F(2,2)?F(2,0)?F(0,2)?F(0,0)??1， 所以F(x,y)不是一个分布函数。 3.23 设二维随机变数(?,?)的密度

?p(x,y)??1?2sin(x?y)0?x???2,0?y??2

?0其它求（?,?）的分布函数。 解：当0?x??2，0?y??2时，

F(x,y)?P(??x,??y) =?xy10?02sin(t?s)dsdt

7

=1x2?0[cot?cos(t?y)]dt

=

12[sinx?siny?sin(x?y)],所以

?0(x?0)?(y?0)??1[sinx?siny?sin(x?y)]0?x???22,0?y??? F(x,y)??1?(sinx?1?cosx)0?x??2?21?2,y?2 ?(1?siny?x??2cosy)2,0?y????1x???22,y?23.24 设二维随机变数(?,?)的联合密度为

?ke?3x?4yp(x,y)??x?0,y?0

?0其它（1） 求常数k；

（2） 求相应的分布函数； （3） 求P(0???1,0???2)。 解：（1）???3x?4y0??0kedxdy?k?4?0e?3xdx?k12，

所以k?12；

（2）x?0,y?0时， F(x,y)??xy12?3t?480?yedtds?12(?x?3t0edt)(?ye?480ds)

=(1?e?3x)(1?e?4y)，所以

(x,y)???(1?e?3x)(1?e?4y F)x?0,y?0

?0其它（3）P(0???1,0???2)

=F(1,2)?F(0,2)?F(1,0)?F(0,0) =1?e?3?e?8?e?11。

3．25 设二维随机变数(?,?)有密度函数

p(x,y)?A?2(16?x2)(25?y2)

8

求常数A及(?,?)的密度函数。

????????p(x,y)dxdy??A解： ????????2(16?x2)(25?y2)dxdy

?4A?dx?dy?A?2?016?x2?025?y220?1所以，A?20；

F(x,y)??xy?????p(t,s)dtds?20xydtds?2??????(16?t2)(25?s2)?20??xdtds

2(??16?t2)(?y??25?s2)?1xy?2(arctg4??2)(arctg5??2)3.26 设二维随机变数(?,?)的密度函数为

p(x,y)??4xy0?x?1,0?y?1??0其它

求（1）P(0???12,14???1);(2)P(???);(3)P(???);(4)P(???)。解：

11(1)P(0???1112,4???1)??2?14xydxdy?4?200xdx154?11ydy?464;(2)P(???)???4xydxdy?0;x?y(3)P(???)???4xydxdy??11xydydx??121

0?x402(x?x)dx?x?y2;(4)P(???)?123.28 设(?,?)的密度函数为

?p(x,y)??1?0?x?1,0?y?2

?2?0其它求?与?中至少有一个小于

12的概率。

9

解：

P[(???1??1212)?(??12)]?1?P(??12,??1258)??12?p(x,y)dxdy?1???121112

12dxdy?3.30 一个电子器件包含两个主要组件，分别以?和?表示这两个组件的寿命（以小时计），设(?,?)的分布函数为

?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y)F(x,y)???0x?0,y?0其它

求两个组件的寿命都超过120的概率。 解：

P(??120,??120)?1?P[(??120)?(??120)]?1?P(??120)?P(??120)?P(??120,??120)?1?F(120?0,?)?F(?,120?0)?F(120?0,120?0) ?1?(1?e?e?2.4?1.2?1.2?1.2?2.4)?(1?e)?(1?2e?e)?0.093.31 设p1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使

p(x,y)?p1(x)p2(y)?h(x,y)

成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？ 解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则

p(x,y)?0,????????p(x,y)dxdy?1

所以条件(1)h(x,y)?p1(x)p2(y);(2)?????????h(x,y)dxdy?0得到满足。

反之，若条件（1），（2）满足，则

p(x,y)?0,?p(x,y)为二维分布的密度函数。

??????p(x,y)dxdy?1

因此，为使p(x,y)成为二维分布的密度函数，h(x,y)必需且只需满足条件（1）和（2）。 3.32 设二维随机变数(?,?)具有下列密度函数，求边际分布。

10

?2e?y?1（1）p(x,y)???x3x?1,y?1

??0其它?1?1(x2?y2)（2）p(x,y)???e2x?0,y?0或x?0,y?0

???0其它?1（3）p(x,y)????(kxk1?1(y?x)k2?1e?y0?x?y1)?(k2)

??0其它??1解：（1）p?(x)??2e?y1)1x3dy?2x3,(x?p?(x)?0,(x?1)

y?1 p??2e??(x)?1x3dx?e?y?1,(y?1)p?(x)?0,(y?1)

（2）x?0时， x2 p2?(x)??01?12(x2?y2)

???edy?12?e?x?0时，

x2 p?12?(x)???1(x2?y2)0?edy?12

2?e?2y2所以，p1?(x)??x2。同理，2?ep?(y)?12。

2?e?xk1?1（3）p?y?(x)??(k,(x?0)

1)?(k(y?x)k2?1e?dy?1k2?12)?x?(k1)xe?x p?(x)?0,(x?0)

p?1k1?k2?1?(y)?e?y

?(k?yk1(y?x)k2?1dx?1,(y?0)1)?(k2)0x?(k1?k2)yp?(y)?0,(y?0)3.34 证明：若随机变数?只取一个值a，则?与任意的随机变数?独立。 证：?的分布函数为

F?0x?a?(x)???1x?a

11

设?的分布函数、(?,?)的联合分布函数分别为F?(y),F(x,y)。

当x?a时，F(x,y)?P(??x,??y)?0?F?(x)F?(y)。当x?a时，

F(x,y)?P(??x,??y)?P(??y)?F?(x)F?(y)。所以，对任意实数x,y，都有

F(x,y)?F?(x)F?(y)，故?与?相互独立。

3.35 证明：若随机变数?与自己独立，则必有常数c，使P(??c)?1。

证：由于P(??x)?P(??x,??x)?P(??x)P(??x)，所以F(x)?[F(x)]2，F(x)?0或1。由于F(??)?0,F(??)?1，F(x)非降、左连续，所以必有常数c，使得

?0F(x)???0x?cx?c

故P(??c)?1。

3.36设二维随机变量(?,?)的密度函数为

?1?p(x,y)?????0x?y22?1

其它问?与?是否独立？是否不相关？

2解：p?(x)??1?xdy2?1?x??21?x2?,(|x|?1);p?(x)?0,(|x|?1)。

同理，p?(y)?21?y2?,(|y|?1);p?(y)?0,(|y|?1)。

由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不相互独立。

又因p(x,y),p?(x),p?(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E??E??E(??)?0，故cov(?,?)?0， ?与?不相关。

3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：

?100?p(x)??x2??0x?100x?100

12

一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的） 解：设这类电子管的寿命为?，则

P(??150)???100x2150dx?23

所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(2)3?833率是(1?2)?127；三个这类管子全部要替换的概

327。

3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。 解：设球的直径为?，则其体积为??x?316??3。y?16?x3的反函数

6y?,dx?23236?ydy。由?的密度函数p?(x)?1(b?a)，a?x?b，得?的

密度函数为

2??p?(y)??(b?a)?336?y2?0??6a?y?3?6b,3

其它。3.45 设随机变数?服从N(0,1)分布，求?的分布密度。 解：在x?0时，

P(??x)?P(?x???x)??x12??xe?t22dt。

所以?的分布密度

p?(x)?2/??e2?x2/2,(x?0);p?(x)?0,(x?0)。

?3.46 设随机变数?服从N(a,?)分布，求e的分布密度。 解：

y?e的反函数x?lny,dx?1/y?dy。由?服从N(a,?)分布，推得??e的分

2?布密度为

?1?oxp?p?(y)??2??y?0?1????2?2?(lny?a)??2y?0,y?0.

3.47 随机变数?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0（例如正态分布等），其分布函数为F?(x)，又?服从?0,1?上的均匀分布。证明??F??1(?)的分布函数与?的分布函数相同。

13

解：因为?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0，所以F?(x)是严格上升函数。由于?0,1?上

的

均

匀

分

?1布，所以?的分布函数

F?(x)?P(??x)?P(F?对任意的x都成立。所以?(?)?x)?P(??F?(x)?F?(x)，

与?的分布函数相同。

3.48 设随机变量?与?独立，求???的分布密度。若（1）?与?分布服从(a,b)及(?,?)上的均匀分布，且a???b??；（2）?与?分别服从(?a,0)及(0,a)上的均匀分布，

a?0。

解（1）p?(x)?1/(b?a),a?x?b;p?(x)?0,其它。 p?(x)?1/(???),??x??;p?(y)?0，其它。 p???(x)?????p?(x?y)?p?(y)dy

1(b?a)(???)dy

=?

min(x?a,?)man(x?b,?)=?min(x?a,?)?max(x?b,?)?/?(b?a)(???)?,a???x?b??;p???(x)?0，其它。

（2）p?(x)?1/a,?a?x?0;p?(x)?0，其它， p?(x)?1/a,0?x?a;p?(x)?0，其它。

p???(x)?????p?(x?y)?p?(y)dy??min(x?a,?)max(x,0)1/ady

2 =?min(x?a,a)?max(x,0)?/a

2 =

a?xa2,?a?x?a;p???(x)?0，其它

3.49 设随机变量?与?独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为

p(x)?12a?e?x/a,(a?0)

求?+?的密度函数。

14

解： p1/a?(x)?p?(x)?2a?e?x，

p???(x)?????p?(x?y)?p?(y)dy，

当x?0时，

p1???(x)????|x?y|??4a2exp???|y|??a?dy?y?x?y?1[?04a2e?x?y?ya??dy??x?x?y?ya

0edy???axe?dy]?14a(1?xaa)e?x当x?0时，

?y?yy?x?yy?x?yp???(x)?14a2[?x?xaa??edy??0axe?dy???0e?dy]?14a(1?xxaa)e所以

x|p???(x)?14a2(a?|x|)e?|a

3.50 设随机变量?与?独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为

p(x)?1?

(1?x2)证明：??12(???)也服从同一分布。

证：

p1???(y)???11???21?x21?(y?x)2dx?1??2y(y2?4)???[2x?yx2?1?2(x?y)?y(x?y)2?1]dx

?1[ln(x22?1)?yarctgx?ln((x?y)2?1)?yarctg(x?y)]|??y(y2?4)???2?(y2?4)所以

p21(z)??12(???)?[(2z)2?4]2?(1?z2)

即??12(???)也服从相同的柯西分布。

3.51 设随机变量?与?独立，分别具有密度函数

15

??e??xp?(x)???0??e??xp?(x)???0x?0x?0x?0x?0

（其中??0,??0），求?+?的分布密度。 解：x?0时，

p???(x)????e??x?x0x0?e??(x?y)?e??ydy?e?(???)ydy

??x??x???[ee],????(???)??2??x?,?????xex?0时，

p???(x)?0

3.53 设随机变量?与?独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|???|的分布。 解：??服从(?1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知，

?x?1p???(x)?[min(x?1,1)?max(x,0)]???1?x?1?x?00?x?1

在0?x?1时，|???|的分布函数

F(x)?P(|???|?x)?P(?x?????x)??0?x(t?1)dt??x0(1?t)dt?2x?x2

所以|???|的分布密度为

?2(1?x)p|???|(x)???00?x?1其它

3.54 设随机变量?与?独立，分别服从参数为?与?的指数分布，求???的分布密度。

解：由p?(x)??e??x,x?0得p??(x)??ep???(x)??x,x?0，所以

????p?(y)p??(x?y)dy

在x?0时，

16

???y?(x?y)??e?xp???(x)??0?e?edy?(???)

在x?0时，

py)??x???(x)?????x?e??e?(x?dy???e(???)

所以

???e?x?(?x?0p???(x)????)

???e??x?(???)x?03.56 设随机变量?与?独立，且分别具有密度函数为

?1p?|x|?1?(x)???1?x2

??0|x|?1?2p(y)???x2?xex?0?

??0x?0证明??服从N(0,1)分布。 证：由p?x22?3?(x)?xe,x?0得p1(x)?xe?12x2,x?0。故

?p??(y)?p)?|x|pdx

?1(y?????(yx)p?(x)?2令12x2?u?y2，则

p(y)?1e?y222??

2???u?12e?udu?1y2e?02?所以??服从N(0,1)分布。

3.58 设随机变量?与?独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求??的密度函数。解：p???(x)?|z|dz?1???p?(xz)p?(z)??a0zp?(xz)dz

当0?x?1时，

p11?(x)??a2?a0zdz?2

当x?1时

17

p?(x)??1a2a?x0zdz?12x2

所以??的密度函数为

?0x?0??(x)??10?x?1

2?1x?1p????2x23.59 设随机变量?与?独立，都服从参数为?的指数分布，求??的密度函数。解：在x?0时，

p?(x)?p?(y)|y|dy?????p?(xy)

?????xye??y0?2eydy?1(x?1)2在x?0时，p?(x)?0。

?3.60 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为

?1?xyp(x,y)???|x|?1,|y|?1

?4?0其它证明：?与?不独立，但?2与?2独立。

证：由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。由于

?1x?1P(?2?x)??x1?x0?x?1 ???x(?1?ty?14dy)dt??0x?0?1y?1P(?2?y)??y1?1?y0?y?1 ???y(?tx?14dx)dt??0y?0?1x,y?1??x0?x?1,y?1P(?2?x,?2?y)???yx?1,0?y?1 ??xy0?x,y?1??0其它 18

所以对一切的x,y，都有P(?2?x,?2?y)?P(?2?x)P(?2故?2与?2相互独立。 ?y)，

3.61 设随机变量?具有密度函数

?2p(x)??2??cosx???2?x?2

??0其它求E?,D?。

?解：E???22??x2xdx?0

2?cos?D??E?2??22221??x2?cosxdx??212?2

3.62 设随机变量?具有密度函数

?x0?x?1p(x)???2?x1?x?2

??0其它求E?及D?。 解 E???120xdx??21x(2?x)dx?1，

E?2??1x3dx??222，

01x(?x)dx?7/6 D??E?2?(E?)2?1/6。

3.63 设随机变量?的分布函数为

?0x??1F(x)???a?barcsinx?1?x?1

??1x?1试确定常数(a,b)，并求E?与D?。 解：由分布函数的左连续性，

?a?b?arcsin1?1,??a?b?arcsin0?0, 故a?1/2,b?1/?。

19

E???1?1x?d(12?1?arcsinx)

=?1x?1?1?x2dx?0，

D??E???1x?1?1?x2dx?2??1xdx1?x220?2???/20sintdt?1/2。

23.64 随机变量?具有密度函数

?A?x??e?x/?,x?0p(x)??

x?0?0,其中??1,??0,求常数A,E?及D?。 解：1???0A?x?e??x/?dx?A???0???1ye??ydy

=A???1T(??1)， 故

A?1???1?T(??1)。

E??

E?????0?A?xA?x??1?e?e?x/?dx?A??dx?A????2?T(??2)?(??1)?,

??2?x/???30?T(??3) =(??1)(??2)?2 D??E?2?(E?)?(??1)?

223.66 设随机变量?服从(?1112,2)上的均匀分布，求??sin??的数学期望与方差。

解：E???21?2sin?xdx?0,

1D??E?2??21?2sin?xdx?1/2。

23.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。

解：设旅客候车时间为?（秒），则?服从?0,300?上的均匀分布，则

20

E??E?2?0300130010?x?dx?150（秒），

22??300300?x?dx?30000(秒），

2D??30000?150。 ?7500(秒）23.71 设?1,?2,??n为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的k(1?k?n)，有

??1????k?k?E?????????n。 n??1nn证：?j/??i同分布(j?1,?,n)，又?j/??ii?1i?1n???1，所以E??j/??i?都存在且相等

i?1??nn?n???(j?1,?,n)。由于1?E???i/??i??n?E??1/??i?，所以

i?1i?1?i?1???n??1????k???k??k?E??1/??i??。 E????????i?1??nn??13.72 设?是非负连续型随机变量，证明：对x?0，有

P(??x)?1?E?x。

证：P(??x)??x0p?(t)?1???xp?(t)dt

1?1??1???txx?p?(t)dt?1??x?0t?p?(t)dt

E?x。

E?r3.73 若对连续型随机变量?，有E?r??(r?0)，证明有P(???)?rr?r。

证：P(???)????x??p?(x)dx??r?xx????p?(x)dx

r1r???x?p?(x)?E?/?。

r3.75 已知随机变量?与?的相关系数为?，求?1?a??b与?1?c??d的相关系数，其中a,b,c,d均为常数，a,c皆不为零。

21

解：????1E?(?1?E?1)?(?1?E?1)?E(?1?E?2)1?ac?cov(?,?)a?D??c?D?1E(?1?E?1)2

=

??ac?0 ???????ac?0ac?ac3.81设随机变量?1,?2,?,?n中任意两个的相关系数都是?，试证：???证：0?E??1n?1。

??ni?1ni?1ni?1(?i?E?i)

?2??nD?i?2?D?i?1????1?i?j?nD?1?D?j

?(D?!?i?j?ni?D?j)

=?i?1D?1?1??(n?1)?，

1n?1故1??(n?1)?0,???。

3.84证明下述不等式（设?,?都是连续型或离散型随机变量）： （1）若?与?都有p?1阶矩，则有

[E???p]1/p?[E??2p?1p]1/p?[E??E?'p]1/p

E???p(E?pp)

(2)若?与?都具有p?0阶矩，则

E???p?2(E?pp?E?pp)

证：（1）p?1时，[E???证明略。

p]1/p?[E?p]1/p?[E?]1/p即所谓的明可夫斯基不等式，

在p?1时，x是x的下凸函数，故

x?y2pp?|x|p?|y|2p

即

|x?y|?2pp?1(|x|p?|y|

p 22

故

E???p?2p?1(E?p?E?p

（2）在p?0时，|x?y|p?(|x|?|y|)p?|2x|p?|2y|p?2p(|x|p?|y|p)，故

E???p?2(E?pp?E?p)

3.88 设二维随机变量(?,?)的联合分布密度为

?(n?1)(n?2)?p(x,y)??(1?x?y)n?0?x?0,y?0其它

其中n?2。求??1条件下?的条件分布密度。

? 解：p?(x)??(n?1)(n?2)(1?x?y)n0dy?n?2(1?x)n?1,x?0。故

p?|??2n?1(n?1)(2?y)n(y|1)???0y?0其它

3.89 设随机变量?服从N(m,?2)分布，随机变量?在??x时的条件分布为N(x,?2)，求?的分布及?关于?的条件分布。

2?(x?m)2(y?x)?(y|x)?exp???? 222???2?2??? 解：p(x,y)?p?(x)?p?|?

p?(y)?1????2?(y?m)??p(x,y)dx??exp???exp22????2????2(???)?12??2??2?m??y???x???2222?????2??2????dx?? ?2?(?12??22?(y?m)??exp??， 22?2(???))??故 ?~N(m,?2??).p?|?(x|y)

2?p(x,y)p?(y)??2??222??(???)(2???)?exp??222????22??m??y???x??22?????2???， ??故在??y时，?的条件分布为N(?m??y?222??2,?2??2??)。

3.90 设?1,?2?,?n,?为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量?只取正整数值，

23

且与??n,n?1?独立，证明：

??E??k?k?1?E?k?1k?P(??k)

?证：E??kk?1????E?E(??k?)?

k?1??? ??s?1??s?E???k??P(??s) ?k?1??s? ????E?k??P(??s)

s?1?k?1?? ??k?1????E?k???P(??s)?

?s?k? ??E?k?1k?P(??k)

3.91 求下列连续型分布的特征函数： （1）(?a,a)上的均匀分布(a?0)， （2）柯西分布，其密度函数为

p(x)?a?1(x?b)?a22?,(a?0)

（3）T?分布，其密度函数为

?????1??x??x?ep(x)??T(?)?0?x?0x?0 (??0,??0)

解：（1）?(t)?a?ea?aeitx?12a?dx?sinatat

aitb?2（2）?(t)??itx?a?a??1(x?b)?a22dx???e??eitu??u?adu?22a??eitb??costuu?a220du

由拉普拉斯积分 ?cos?x???x（3）

0?22dx?2?e???,(?,??0),得?(t)?eibt?at

?(t)??e??/?(?)?x0?itx???1?edx??/?(?)??e0??1??(it??)xit????1???xdx??/?(?)??(?)/(??it)?(1?)?24

?(1?it?)??

3.93 若?(t)是特征函数，证明下列函数也是特征函数：（1）?(?t);(2)?(t);(3)??(t)?（n22为正整数）

证：（1）若?(t)是随机变量?的特征函数，则?(?t)是随机变量????的特征函数； （2）若?与?独立同分布，其特征函数为?(t)。则?(t)2??(t)??(?t)是随机变量

?????的特征函数；

（3）若?1,?,?n独立分布，其特征函数为?(t)。则??(t)?是随机变量??征函数。

3.94 证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数：

1?sint?（1）cost；（2）cos2t；（3）；（4）?（5）?it。 ?；

1?it2e?1t??n?ni?1?i的特

12证：（1）cost?12?eit?12?e?it，所以cost是两点分布 ? P -1 12 1 12 的特征函数。 （2）cost?212?14?e2it?14?e?2it，所以cost是三点分布

?2 2? P 0 2 14 12 14 的特征函数。

（3）密度函数为p(x)?e11?it?x,x?0;p(x)?0,x?0的指数分布的特征函数为

x11?it，所以

是密度函数为p(x)?e,x?0;p(x)?0,x?0的分布的特征函数。

sint（4）[?1,1]上均匀分布的特征函数为随机变量和的特征函数为(sintt2)，即(tsintt，所以互相独立且同为[?1,1]上均匀分布的两个

)是密度函数为

2 25

?(2?x)4??(2?x)p(x)??4?0???2?x?00?x?2 其它的分布的特征函数。 （5）

2e1?it??1??k?112ekikt，所以

12e?it?1是几何分布

12kP(??k)?,k?1,2,3,?

的特征函数。

3.95 试举一个满足（1）?(?t)??(t)，（2）|?(t)|??(0)?1，但是?(t)不是特征函数的例子。

解：令

?(t)???1?0t?0t?0

则?(t)满足（1），（2），但?(t)在t?0点不连续，故?(t)不是特征函数。 3.96 证明函数

|t|??1??(t)??a??0|t|?a|t|?a(a?0)

是特征函数，并求出它的分布函数。 解：由于

?????(t)dt??t??1??dt?a?? ??a?a???a故欲证?(t)是特征函数，仅须验证

12???itxp(x)????e??(t)dt?12??a?ae?itx?t?1??1??dt??a?????a0t?11?cosax???1??costxdt?2a???ax是密度函数由于p(x)?0，

????p(x)dx?a?x?0sin2ax22?ax?dx?????2?2??siny22y0dy?1，

所以?(t)为特征函数，其分布函数为

26

F(x)??x??11?cosat?dt。 2?at3.97 设?(t)是一个特征函数。h?0，证明：

?h(t)?p(t)?sinthth

也是特征函数。

证：设?与?相互独立，?的特征函数为?(t)，?服从??h,h?上的均匀分布，?的特征函数为

sinthth，则

sinthth是???的特征函数。

1ni3.98 设?1,?2,?,?n为n个独立同柯西分布的随机变量，证明

a1(x?b)?a1nn22??ni?1与?1有相同的分布。

n证：柯西分布p(x)???的特征函数?(t)?eibt?at.故

1n???i的特征函数为

i?1??t?????????n??n?eibt?at.所以

???i与同分布。

i?1n3.99 设?1,?2,?,?n为独立同T?分布的随机变量，求??i的分布。

i?1解：T?分布p(x)?????T(?)x??1e??x，x?0；p(x)?0，x?0的特征函数

?it???(t)??1??????n。故??i的特征函数为

i?1??(t)?nn?it????1???????n?，

n?所以??i也是T?分布，其密度函数为p(x)?i?1?T(n?)?xn??1?e??x，x?0；p(x)?0，

x?0。

3.100 设二维随机变量??,??具有联合密度函数为

?1?1?xy(x2?y2)p(x,y)??4??0??x?1,y?1其它

证明：???的特征函数等于?，?的特征函数的乘积，但是?与并不相互独立。

27

证：p???(z)?????p(x,z?x)dx

?2?x?00?x?2 其它。2?(2?x)4? ??(2?x)4?0??sint????的特征函数为??。

?t?p?(x)?12,?1?x?1;p?(x)?0,x?1.p?(y)?12,?1?y?1;p?(y)?0,y?1。

故?与?的特征函数皆为

sintt，所以???的特征函数等于?、?的特征函数的乘积。由

p(x,y)?p?(x)?p?(y)，故?与?不互相独立。

3.101 设随机变量?服从柯西分布，其特征函数为e?t，又令??a?(a?0)，证明???的

特征函数等于?、?的特征函数的乘积，但?与?不独立。 证：由?的特征函数??(t)?e?t推得，??a?与???的特征函数分别为??(t)?e?at与

????(t)?e倘若??(a?1)t，故????(t)???(t)???(t)。 相互独立，令?的分布函数为

F(x)2与?，则

F(x)?P(??x,??ax)?P(??x)?P(??ax)?P(??x)?P(??x)??F(x)?，

故F(x)?0或1，此与?服从柯西分布相矛盾，故?与?互不独立。 3.102 判别下列函数是否为特征函数（说明理由）： （1）sint；（2）

1?t1?t2；（3）ln(e?t)；（4）

11?it；（5）

1?1?t?22。

解：（1）不是，因为sin0?1。 （2）不是，因为当?1?t?0时，

1?t1?t2?1。

（3）不是，因为ln(e?t)?1不成立

11?it （4）不是，因为?(t)???(?t)。

（5）是的，拉普拉斯分布p(x)?12?e?x的特征函数为

11?t2，所以

1?1?t?22也是特征

28

函数。

29

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