1.5 可测集与可测函数（讲义）

1.5 可测集与可测函数

1.5.1 可测集与可测函数

定义1.5.1 设X是基本空间，R是X上的??代数，且

X?E?R?E，

则称(X,R)是可测空间(measurable space)，R中的元素E是(X,R)上的可测集(measurable set)。 特别地，

当X?R1，R?L时，称(R1,L)是Lebsgue可测空间；Lebsgue可测空间上的可测集称为Lebsgue可测集；

当X?R1，R?S(R0)=B时，称(R1,B)是Borel可测空间；Borel可测空间上的可测集（即：Borel集）称为Borel可测集.

注 定义可测空间、可测集时，严格地说，并不要求在??代数R上已经具有某个测度，即把可测空间、可测集的概念本质上当作集合论范畴的概念，这已是通行的看法。

定义1.5.2 设(X,R)是可测空间，E?X，f是定义在E上的有限实函数。若对一切实数c，集

E(c?f)?{xc?f(x),x?E}

都是(X,R)上的可测集（即：E(c?f)?R），则称f是E上关于R的可测的函数，简称E上的可测函数(measurable function)。特别地，

当(X,R)?(R1,L)时，称f是E上关于L的Lebsgue可测函数； 当(X,R)?(R1,B)时，称f是E上关于B的Borel可测函数。

定理1.5.1 设(X,R)是可测空间，f是定义在E?X上的有限实函数。则f是E上的可测函数的充分必要条件是：对任意实数c,d，集

E(c?f?d)

是可测集。

证 设f是可测函数，由于

E(c?f?d)?E(c?f)?E(d?f)，而E(c?f)和E(d?f)都是可测集，所以

E(c?f?d)是可测集。

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反之，若已知对任意实数c,d，集E(c?f?d)是可测集，则由

?E(c?f)??E(c?n?1f?c?n)

立即得E(c?f)是可测集。 证毕！

例1.5.1 定义在闭区间E?[a,b]上的任何一个连续函数f都是E上的Lebsgue可测函数。

证 对任意实数c，由f的连续性，集

E(c?f)?{xc?f(x),x?[a,b]}

是[a,b]中的闭集（自习），因此E(c?f)是可测集；故f都是[a,b]上的可测函数。 例1.5.2 设函数f定义在E?(??,?)上，ai,bi间，函数

??,i??f(x)???0,??(i?1,2,?,n)是一组互不相交的区

x?ai,bi(i?1,2,?,n),nx?(??,?)??ai,bii?1

称为阶梯函数，它是E上的Lebsgue可测函数。 证 因为对任意实数c，

E(c?f)?{xc?f(x),x?(??,?)}

或是全直线，或是空集，或是有限个区间的并，而这些都是Lebsgue可测集，所以f是

(??,?)上的可测函数。

?例1.5.3 设(X,R)是可测空间，E,Ei?R，i?1,2,?,n，

?Ei?Ei?1，且

Ei?Ej??,i?j. f是定义在E上的函数，且

??i,???0,?x?Ei(i?1,2,?,n),nf(x)?x?X??Ei,i?1

则f是E上的可测函数。

Z是Lebsgue不可测集，f(x)是例1.5.4 (不可测函数的例) (R1,L)是Lebsgue可测空间，

2

1Z的特征函数?Z(x)，x?R. 因为

R11??Z?x?Z(x)?1,x?R1?Z

2?2???是Lebsgue不可测集，所以函数?Z(x)不是R1上的Lebsgue可测函数。 例1.5.5 也有这样的可测空间(X,R)，定义在X上的所有函数都是可测函数。

例如，取R?2X（此时R是一个??代数），f是定义在X上的任意一个有限实函数，对任意实数c，显然

X(c?f)?{xc?f(x),x?X}?R，

故f是X上的可测函数。

1.5.2 可测函数的性质

定理1.5.2 设(X,R)是可测空间，f是定义在E?X上的有限实函数，则

(1) 若f是E上的可测函数，则E必是可测集；反之不然（为什么？）。

(2) 若f是E上的可测函数，E1?E可测，当f作为E1上的函数时，f是E1上的可测函数；

(3) 设E1?E2??,E1?E2?E，若E1,E2是可测集，则f是E上的可测函数的充分必要条件是：f是E1,E2上的可测函数。

(4) 集E是可测集的充分必要条件是：集E的特征函数?E(x)是X上可测函数。 证 (1) 因为

?E??E(?n?f)，

n?1而根据可测函数的定义，集E(?n?f)是可测集，所以E是可测集。

反之不然。因为对?E?L且m(E)?0，都存在F?E,意子集都?L，则m(E)?0.

(2) 对任意实数c，由于E1(c?f)?E(c?f)?E1，而E(c?f)和E1都是可测集，所以

E1(c?f)是可测集，即f作为E1上的函数时，它是E1上的可测函数。

F?L. 若E?L，其任

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(3) 设f是E上的可测函数，由(2)知：f是E1,E2上的可测函数。 反之，若f是E1,E2上的可测函数，对任意实数c，由于

E(c?f)?E1(c?f)?E2(c?f)，

所以E(c?f)是可测集，即f作为E上的可测函数。 (4) 必要性：设集E是可测集。因为

??,?X(c??E(x))??E,?X,?c?1,0?c?1, c?0,而?,E,X都是可测集，所以?E(x)是X上的可测函数。

充分性：设?E(x)是X上的可测函数。由上面的式子知，当0?c?1时，

E?X(c??E(x)).

而?E(x)是X上的可测函数，故X(c??E(x))是可测集，即E是可测集。证毕！ 注 性质(3)可以推广到有限个或可列个可测集E1,E2,?,En,?，并且Ei?Ej??的情况。 定理1.5.3 设(X,R)是可测空间，f是定义在E?X上的有限实函数，则下面三个条件中的任何一个都是f是E上的可测函数的充分必要条件：

(1) 对任意实数c，E(c?f)是可测集； (2) 对任意实数c，E(f?c)是可测集； (3) 对任意实数c，E(f?c)是可测集。

定理1.5.4 设(X,R)是可测空间，E?X，f,g都是E上的可测函数，则

(1) 对任意实数?，?f是E上的可测函数； (2) f?g是E上的可测函数；

(3) f?g及fg（对?x?E,g(x)?0）是E上的可测函数； (4) max(f,g),min(f,g)都是E上的可测函数。

推论1 设(X,R)是可测空间，E?X，f1,f2,?,fn都是E上的可测函数，则对任意实数?1,?2,?,?n，?1f1??2f2????nfn是E上的可测函数。

推论2 设(X,R)是可测空间，E?X，f是E上的可测函数，则f是E上的可测函数。

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In fact 由f?max(f,?f)知：f是E上的可测函数。

1.5.3 可测函数的极限

定理1.5.5 设(X,R)是可测空间，E?X，若{fn}是E上的一列可测函数，则当{fn}的上确界函数、下确界函数、上限函数、下限函数分别是有限函数时，它们都是E上的可测函数。

推论 设(X,R)是可测空间，E?X，若{fn}是E上的一列有限的可测函数，若对一切

x?E，limfn存在，而且有有限值，则极限函数limfn是E上的可测函数。

n??n??定理1.5.6 设(X,R)是可测空间，E?X，若f是E上的有限可测函数，则必存在一列

{fn}，每个fn是可测集的特征函数的线性组合，使得{fn}在E上处处收敛于f.

注 定理1.5.6说明：用可测集的特征函数的线性组合可以逼近可测函数。 ※

推论 设(X,R)是可测空间，E?X，若f是E上有界的可测函数，则必存在可测集的特征函数的线性组合的函数序列{fn}，使得{fn}在E上一致收敛于f. 注 f是E上的有界函数是指：?M?0，对?x?E，都有f(x)?M.

f是E上的有限函数是指：?x?E，都有f(x)??. 即：函数值都是有限实数的函数称为有限函数。

显然有界函数是有限函数，反之则不然。

例如：f(x)?1x在(0,1)内的任意函数值都是有限的，但它是(0,1)内的无界函数。

1.5.4 Lebsgue积分及其性质

定义1.5.3 设(X,R,?)是测度空间，E是一个可测集，?(E)??，f是定义在E上的可测函数，设f是有界的（即：存在实数c,d，使得f(E)?(c,d)），在[c,d]中任取一分点组

D:c?l0?l1???ln?1?ln?d.

记

?(D)?max(li?li?1),1?i?nEi?E(li?1?f?li)，

并任取?i?[li?1,li?1](i?1,2,?,n)，作和式

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