2015秋九年级数学上册 26.2 锐角三角函数的计算课堂导学案（新版）冀教版

26.2 锐角三角函数的计算

能力点1利用计算器进行有关锐角三角函数的计算

题型导引利用计算器和锐角三角函数的有关概念，我们可以进行有关边、角之间的计算． 【例1－1】如图所示，通过计算可以求得某市在冬至日正午时分的太阳光线入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20m的小区时，两楼间的距离最小__________米才能保证不挡光．(精确到0.01)

解析：如图所示，太阳的光线和水平地面、楼高形成Rt△ABC，当两楼间的距离为线段AC时，才能保证不挡光．

在Rt△ABC中，∠A＝30°30′，BC＝20m.

BCBC2020∵tan∠BAC＝，∴AC＝＝≈≈33.96(m)．

ACtan∠BACtan30°30′0.5890故当两楼间的距离至少为33.96m时，才能保证不挡光． 答案：33.96

规律总结在解题过程中有求非特殊角的三角函数值，因此必须熟练掌握用计算器求三角函数值．

【例1－2】在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°)．

分析：先求出锐角的某一三角函数值，再求锐角． 解：∵∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5， AC12.5

∴tanB＝＝＝0.625.

BC20用计算器计算，得∠B≈32°. ∴∠A＝90°－32°＝58°.

规律总结在利用计算器由锐角三角函数值求锐角的度数时，要注意正确使用计算器，和题目中对精确度的要求．

变式训练

1．如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，点D是AB的中点，∠A＝26°，CD＝1m，求跨度AB的长(精确到0.01m)．

1

2．等腰三角形中，两腰和底的长分别是10和13，求三角形的三个内角的度数(精确到1′)．

分析解答

1．分析：因为△ABC是一个等腰三角形，故具备三线合一的特征，所以△ACD是一个直角三角形中，然后利用锐角三角函数求得AD的长度，最后求得AB的长．

解：由题意可知，△ADC为直角三角形，其中∠ADC＝90°，且∠A＝26°，DC＝1m. CDCD1

∵tanA＝，∴AD＝＝. ADtanAtan26°∴AB＝2AD＝22

≈≈4.10(m)．

tan26°0.4877

即跨度AB的长约为4.10m.

2．分析：先画图，AB＝AC＝10，BC＝13，AD是底边上的高，利用等腰三角形三线合一1

定理可知BD＝CD＝6.5，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，在Rt△ABD中，利用∠BAD的正弦值，使

2用计算器，可求出∠BAD的大小，从而可求出∠B，∠BAC的度数．

解：如图，AB＝AC＝10，BC＝13，AD是底边上的高，

∵AD是底边上的高，∴AD⊥BC. 又∵AB＝AC， ∴BD＝CD＝6.5， 1

∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.

2

BD6.5

在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝＝0.65，

AB10∴∠BAD≈40°32′，

∴∠BAC≈2∠BAD≈81°4′，∠B＝∠C≈49°28′.

故△ABC的三个内角分别为：81°4′，49°28′，49°28′. 能力点2利用计算器探索锐角三角函数值变化规律

题型导引通过计算器计算一些锐角的三角函数值，通过对其计算结果的比较，得出锐角

2

三角函数值的变化规律．

【例2】(1)如图，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定、变化而变化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．

(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值和余弦值的大小．

(3)比较大小(在空格处填“＞”“＜”或“＝”)

若α＝45°，则sinα______cosα；若α＜45°，则sinα______cosα；若α＞45°，则sinα______cosα.

(4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小： sin10°，cos30°，sin50°，cos70°.

分析：解决问题的关键是先用计算器求出各三角函数值，然后再进行比较，从而得出规律．

解：(1)锐角的正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小． (2)sin18°＜sin34°＜sin50°＜sin62°＜sin88°，cos88°＜cos62°＜cos50°＜

cos34°＜cos18°.

(3)若α＝45°，sinα＝cosα； 若α＜45°，sinα＜cosα； 若α＞45°，sinα＞cosα.

(4)sin10°＜cos70°＜sin50°＜cos30°.

规律总结锐角三角函数值的变化规律为，正弦值随着角度的增大而增大；余弦值随着角度的增大而减小；正切值随着角度的增大而增大．可记为“正弦正切值递增，余弦递减恰相反”．

变式训练

1．下列各式一定成立的是( ) A．tan75°＞tan48°＞tan15° C．cos75°＞cos48°＞cos15°

B．tan75°＜tan48°＜tan15° D．sin75°＜sin48°＜sin15°

2．(1)操作：通过利用计算器计算并比较，

sin75°与cos15°，cos75°与sin15°，sin21°5′与cos68°55′，cos26°42′与sin63°18′.

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(2)你能得出什么规律？ 分析解答

1．解析：方法一：根据锐角三角函数值的变化规律判定；方法二：利用计算器，计算每组中的每一个角的函数值，然后进行比较．

答案：A

2．分析：通过计算器进行计算，然后比较结果，探索锐角三角函数之间的关系，得出答案．

解：(1)sin75°＝cos15°，cos75°＝sin15°，sin21°5′＝cos68°55′，cos26°42′＝sin63°18′.

(2)规律：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．

或若∠A是锐角，则sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)．

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