降幂公式、辅助角公式应用

降幂公式、辅助角公式应用

降幂公式

(cosα)^2=(1+cos2α)/2 (sinα)^2=(1-cos2α)/2

(tanα)^2=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式如下

直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2α变形后可得到降幂公式： cos2α=(cosα)^2－(sinα)^2=2(cosα)^2－1=1－2(sinα)^2 cos2α=2(cosα)^2－1,(cosα)^2=(cos2α+1)/2

cos2α=1－2(sinα)^2,(sinα)^2=(1-cos2α)/2 降幂公式

例10、（2008惠州三模）已知函数f(x)??3sin2x?sinxcosx （I）求函数f(x)的最小正周期； （II）求函数f(x)在x??0,解：f(x)??3sin2x?sinxcosx??3????的值域. ??2?1?cos2x1?sin2x 22 ?2?133?3?? ?sin(2x?)? （I）T?sin2x?cos2x?222232 （II）∴0?x??2 ∴

?3?2x??3?4?3? ∴ ??sin(2x?)?1 323 所以f(x)的值域为：??3,??2?3?? 2?点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定范围内，三角函数值域的求法。

??xx33sin)，且x例11、（2008广东六校联考）已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(?cos，2222?∈[0，]．

2??（1）求a?b

????（2）设函数f(x)?a?b+a?b，求函数f(x)的最值及相应的x的值。

解：（错误！未找到引用源。）由已知条件： 0?x?

?2， 得：

3xx3xx??a?b?(cos?cos,sin?sin)

2222(cos3xx3xx?cos)2?(sin?sin)2 ?2?2co2sx?2sinx 22223xx3xxcos?sinsin?2sinx?cos2x 222213?2x?1??2(sinx?)2?，因为：0?x?，所以：0?sinx?1 ??2sinx?2sin22213所以，只有当： x?时， fmax(x)?，x?0 ，或x?1时，fmin(x)?1

22 （2）f(x)?2sinx?cos 点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等

知识。

例12、（2008北京文、理）已知函数f(x)?sin?x?3sin?xsin(?x?正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0，

2?2)(??0)的最小

2?]上的取值范围. 31?cos2?x3解：（Ⅰ）f(x)??sin2?x

22311sin?x?cos2?x? =222?1=sin(2?x?)?.

622??? 2? 因为函数f(x)的最小正周期为π,且ω＞0，所以 解得ω=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)?sin(2x?因为0≤x≤所以??1)?. 622?， 3?7?1. ≤2x?≤

662?1所以?≤(2x?)≤1.

623?13因此0≤sin(2x?)?≤，即f(x)的取值范围为[0，]

2622点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。

辅助角公式与三角函数的图像变换

??例9、（2008深圳福田等）已知向量a?(3sinx,coxsb?),??f(x)?2a?b? 1(1)求f(x)的最小正周期; (2)当x?[ ,(xcosx,c函os数)?, ]时, 若f(x)?1,求x的值．

62?解：(1) f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1?3sin2x?cos2x?2sin(2x?所以，T＝?.

(2) 由f(x)?1,得sin?2x?∵x?[?6).

????1， ??6?2??62,]，∴2x????7??5??[,] ∴2x?? ∴ x?

362666点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.

例10、（2007山东文）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC?37． （1）求cosC；

????????5（2）若CB?CA?，且a?b?9，求c．

2sinC??37 解：（1）?tanC?37，cosC1． 81?tanC?0，?C是锐角． ?cosC?．

8????????55（2）由CB?CA?， ?abcosC?， ?ab?20．

22

22又?sinC?cosC?1 解得cosC??

又?a?b?9

?a2?2ab?b2?81． ?a2?b2?41．

?c2?a2?b2?2abcosC?36． ?c?6．

点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。

?xπ??π??2?平移，则平移后所得图象例11、（2007湖北）将y?2cos???的图象按向量a???，?36??4?

的解析式为（ ） ?xπ?Ａ．y?2cos????2

?34??xπ?Ｃ．y?2cos????2

?312??xπ?Ｂ．y?2cos????2

?34??xπ?Ｄ．y?2cos????2

?312?'''解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点Px,y，P?x,y?，则

???π?''a???，?2??PP?x?x,y?y?4??????'??x'?x??4,y'?y?2，代入到已知解析式中可得选Ａ

点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移单位，误选Ｃ

例12、（2008广东六校联考）已知向量a＝(cos∈[0，

?个单位，再向下平移2个4??xx33sin)，且xx，sinx)，b＝(?cos，2222?2]．

??a（1）求?b

????（2）设函数f(x)?a?b+a?b，求函数f(x)的最值及相应的x的值。

解：（错误！未找到引用源。）由已知条件： 0?x??2， 得：

??3xx3xx3xx3xxa?b?(cos?cos,sin?sin)?(cos?cos)2?(sin?sin)2

22222222 ?2?2co2sx?2sinx

3xx3xxcos?sinsin?2sinx?cos2x 2222132x?1??2(sinx?)2? ??2sinx?2sin22 （2）f(x)?2sinx?cos因为：0?x??2，所以：0?sinx?1

所以，只有当： x?

13时， fmax(x)? 22 x?0 ，或x?1时，fmin(x)?1

点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。

降幂公式、辅助角公式题库

1.（2010浙江理）（11）函数f(x)?sin(2x?__________________ . 解析：f?x??式，属中档题

2.（2010浙江文）（12）函数f(x)?sin(2x?答案

2?4)?22sin2x的最小正周期是

2???sin?2x???2故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公24???4)的最小正周期是 。

? 21.（2010湖南文）16. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?sin2x?2sinx （I）求函数f(x)的最小正周期。

(II) 求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合。

2

又因为在?ABC 中, cosB=

123, 所以 , 所以 sinB?33sinA?sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?34.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2sinxcos（1）

2211322?3. 2????32326?2?cosxsin??sinx(0????)在x??处取最小值.

求?.的值;

在?ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a?1,b?（2）

2,f(A)?3,求角C.. 2解: （1）f(x)?2sinx?1?cos??cosxsin??sinx 2?sinx?sinxcos??cosxsin??sinx ?sinxcos??cosxsin? ?sin(x??)

因为函数f(x)在x??处取最小值，所以sin(???)??1,由诱导公式知sin??1,因为0????,所以???2.所以f(x)?sin(x??2)?cosx

（2）因为f(A)??33,所以cosA?,因为角A为?ABC的内角,所以A?.又因为

622abbsinA12?,也就是sinB?, ?2??sinAsinBa22a?1,b?2,所以由正弦定理,得

因为b?a,所以B?3?.

44???7?3??3???. 当B?时,C?????;当B?时,C????4641246412?或B?44.（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．） 设函数f(x)?(sin?x?cos?x)?2cos（Ⅰ）求?的最小正周期．

（Ⅱ）若函数y?g(x)的图像是由y?f(x)的图像向右平移单调增区间． 解：（Ⅰ）

22?x(??0)的最小正周期为

2?． 3?个单位长度得到，求y?g(x)的2

f(x)?(sin?x?cos?x)2?2cos2?x?sin2?x?cos2?x?sin2?x?1?2cos2?x

?sin2?x?cos2?x?2?2sin(2?x??4)?2

依题意得2?2??2?33，故?的最小正周期为2. （Ⅱ）依题意得: g(x)?2sin???3(x??2)???4???2?2sin(3x?5?4)?2

由2k???≤3x?5?24≤2k???2(k?Z)

解得2?23k??4≤x≤7?3k??12(k?Z)\\ 故y?g(x)的单调增区间为: [2?27?3k??4,3k??12](k?Z) 3、（2008广东）已知函数f(x)?(1?cos2x)sin2x,x?R，则f(x)是（ ）

A、最小正周期为?的奇函数 B、最小正周期为?2的奇函数 C、最小正周期为?的偶函数 D、最小正周期为?2的偶函数

答案：D

解析 f(x)?(1?cos2x)sin2x?2cos2xsin2x?12sin22x?1?cos4x4 4.（2008海南、宁夏文科卷）函数f(x)?cos2x?2sinx的最小值和最大值分别为（ A. －3，1

B. －2，2

C. －3，

32 D. －2，

32 2解析 ∵f?x??1?2sin2x?2sinx??2??1?3?sinx?2???2

∴当sinx?12时，f3max?x??2，当sinx??1时，fmin?x???3；故选Ｃ； 答案：C

6.（2007广东）若函数f(x)?sin2x?12(x?R)，则f(x)是（ ） A．最小正周期为

π2的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数

D．最小正周期为π的偶函数

答案D

）

9.（2006年天津）已知函数f(x)?asinx?bcosx（ a、b为常数，a?0，x?R）在x?取得最小值，则函数y?f(?4处

3??x)是（ ） 43?,0)对称 2A．偶函数且它的图象关于点(?,0)对称 B．偶函数且它的图象关于点(C．奇函数且它的图象关于点(答案 D

3?,0)对称 D．奇函数且它的图象关于点(?,0)对称 21?cos2x?8sin2x11.（2005全国卷Ⅰ）（6）当0?x?时，函数f(x)?的最小值为

2sin2x?A.2 答案 C

B.23

C.4

D.43

13.（广东理科卷）已知函数f(x)?(sinx?cosx)sinx，x?R，则f(x)的最小正周期是 ． 答案：?

解析 f(x)?sinx?sinxcosx?

21?cos2x12??sin2x,所以函数的最小正周期T???。 222

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