一次函数与菱形存在性问题

平行四边形性质：

1、边：对边平行且相等；2、角：对角相等，邻角互补； 3、对角线：互相平分。

1、在平面直角坐标中，有点O(0,0), A(-1,1),B(2,2). (1)求点C,使四边形OABC是平行四边形.y

Cx

(2)求点C,使以O、A、B、C为顶点的四边 形是平行四边形.y

C1

(2,2)

(-1,1)C2x

(0,0)C3

菱形性质：1、边：对边平行，邻边相等； 2、角：对角相等，邻角互补； 3、对角线：互相平分，互相垂直。

2、如图，D(4,0)和E(0,4),若点Q在 直线DE上，在平面直角坐标系中求点P,使 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形.y

(0,4) E

.

(0,0)

. .A(4,0) D. .P

(一)当以已知线段OD为对角线 作OD的垂直平分线，交 直线DE于Q,x轴于A。 ∴OA=2,即A(2 , 0) Q(2,2) 设DE所在直线为：y=kx+bx

将D(4,0)和E(0,4)代入 ∴DE直线为：y = - x + 4 在y= - x + 4 中，令x=2, 解得y=2,∴Q(2 , 2)

2、如图，D(4,0)和E(0,4),若点Q在直线DE上，在 平面直角坐标系中求点P,使以O、D、P、Q为顶点的四 边形是菱形. y

P1

Q3 Q1

P3(4,0)

A

x

(二)当已知线段OD为边 (1)在DE上截取DQ1=DO, 作菱形ODQ1P1。 ∴OP1=OD=4 ∵直线DE:y=-x+4 ∴∠ED0=45°∴∠P1OA=45° Rt△OAP1中， 由Sin45°= ∴OA=AP1= 2 2 ∴P1( 2 2 , 2 ) 22 2

P2

Q2

∴P2( 2 2 , 2 2 )

3、已知直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两 点， y轴上有一点M,平面内是否存在一点N,使以 A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请 直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由. (一)当已知线段AB为对角线y B

解：取AB中点C,过C作CM⊥AB,

交y轴与点M。取CN=CMN C

. .MO

方法1:MN⊥AB,K1· 2 = - 1 K 将C点坐标代入； 方法2:在Rt△OAM中，设OM=xx

A

则AM=BM=4-x.使用勾股定理

3、已知直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两 点， y轴上有一点M,平面内是否存在一点N,使 以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在， 请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由. y (二)当已知线段AB为边 M2 在y轴上截取BM2=BA,BM1=MA,N2 (0,4) B A(-2 , 0),B( 0 , 4 ), AB=

作菱形ABM1N1和ABM2N2。

2 5

A (-2,0)

∴AN2=AB= 2 5O M1x

N 2 2, 2 5∵AN1=AB=

N1

N1 2, 2 5

2 5

3、已知直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于A、B两 点， y轴上有一点M,平面内是否存在一点N,使 以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在， 请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由.y

在y轴上截取AM4=BA,(0,4) B

作菱形AM4N4B。 由菱形对角线性质：OA=ON4 ∴N4(2 , 0)

A (-2,0)

N4 Ox

M4

4、已知点A(-12,0),B(3,0),点C在y轴的正半轴 上，且∠ACB=900. (1)求点C的坐标；(2)已

知点D为(-2,0),若点M在直线CD上，在平面内 是否存在点N,使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形. 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在.请说明理由.y

y = 3x+3

C M

.NO Bx

A

D

M2y

N2

M4M1

x

N4 N1

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