概率论与数理统计试题库(优秀资料,免费下载)
更新时间:2023-11-02 10:52:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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《概率论与数理统计》试题(1)
一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”)
⑴ 对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A ( )
⑶ 若X服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差S2n=
1nn?(Xi?1i2?X)是母体方差DX的无偏估计 ( )
二 、(20分)设A、B、C是Ω中的随机事件,将下列事件用A、B、C表示出来 (1)仅A发生,B、C都不发生;
(2)A,B,C中至少有两个发生; (3)A,B,C中不多于两个发生; (4)A,B,C中恰有两个发生; (5)A,B,C中至多有一个发生。
三、(15分) 把长为a的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X的分布列为
X?215?116015111531 13012
P求Y?X2的分布列.
五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x)?求X的数学期望和方差.
六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求P(14?X?30).
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设X1,X2,?,Xn是来自几何分布 P(X?k)?p(1?p)k?1e?|x| ,?< x<?,
,k?1?,2,,?0p?, 1的样本,试求未知参数p的极大似然估计.
《概率论与数理统计》试题(1)评分标准
一 ⑴ ×;⑵ ×;⑶ √;⑷ √;⑸ ×。 二 解 (1)ABC
(2)AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC;
(3)A?B?C或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC; (4)ABC?ABC?ABC;
(5)AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC
每小题4分;
三 解 设A?‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为x,y,a?x?y,则0?x?a,0?y?a,0?x?y?a,不等式构成平面域S.------------------------------------5分
a A发生?0?x?,0?y?,?x?y?a
222S a/2 不等式确定S的子域A,----------------------------------------10分
所以
A a /2 a P(A)?0
四 解 Y的分布列为
Y014
P17191 1 .
A的面积S的面积?14aaa -----------------------------------------15分
530530 Y的取值正确得2分,分布列对一组得2分;
1?|x|x?(因为被积函数为奇函数)--------------------------4分 ???2edx?0,
????221?x||?2xxedx??xedx DX?EX????02五 解 EX??? ??x2e?x?2[?xe??0?2????0??0xedx
edx]?2.----------------------------------------10分
?x?x?x??0?
六 解 X~b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分 30?2014?20P(14?X?30)??()??()---------------------------10分
1616 ??(2.5)??(?1 .5 =0.994+0.933--1
7 ?0.92.--------------------------------------------------15分
nn七 解 L(x1,?x,np;?)?pi?1?(p1xi?1)?pn?xi?n?p(1i?1)----------5分
n lnL?nlnp?(?i?1 X?n)ln?(1pi?n),n 解似然方程
dlnLdp?npn?X?i?1i1?p?0,--------------------------------10分
np?n???Xi?1i1?p,
得p的极大似然估计
1p? ?。--------------------------------------------------------------------15分
X
《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
1. 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)?P(B)?0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为__________. 2. 设随机变量X服从泊松分布,且P(X?1)?4P(X?2),则P(X?3)?______.
3. 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布,则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)?_________. 4. 设随机变量X,Y相互独立,且均服从参数为?的指数分布,P(X?1)?eP{min(X,Y)?1}=_________.
?22,则??_________,
5. 设总体X的概率密度为
???(??1)x, f(x)????0,0?x?1,其它 ???1.
X1,X2,?,Xn是来自X的样本,则未知参数?的极大似然估计量为_________.
解:1.P(AB?AB)?0.3
即 0.3?P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB) 所以 P(AB)?0.1
P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.9. 2.P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e 由 P(X?1)?4P(X?2) 知 e16??????e????,2P(X?2)????22e??
??e?2?e
2 即 2????1?0 解得 ??1,故
P(X?3)?e?1.
3.设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x),密度为fX(x)则 FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?P(?y?X?)yX?F()Xy? F(?)y 因为X~U(0,2),所以FX(?y)?0,即FY(y)?FX(y) 故
fY(y)?FY?(y)?212yfX(?1,?y)??4y??0,0?y?4,
其它. 另解 在(0,2)上函数y?x严格单调,反函数为h(y)?所以
fY(y)?fX(y ?1,1?y)???4y2y??0,0?y?4,
其它. 4.P(X?1)?1?P(X?1)?e???2?e,故 ??2
P{minX(Y,?)?1}?1P ?1?e?4.
{mXinY(?,?1?P(X?1)P(Y? 1)n 5.似然函数为 L(x1,?,xn;?)? lnL?nln?(?
dlnLd??nn?(?i?1n?n??1)xi?(??1)(x1,?,xn)
?1?)?i?1ixl n??1??lnxi?1i?0
解似然方程得?的极大似然估计为
1?? ??1. n1?lnxini?1
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设A,B,C为三个事件,且A,B相互独立,则以下结论中不正确的是 (A)若P(C)?1,则AC与BC也独立. (B)若P(C)?1,则A?C与B也独立. (C)若P(C)?0,则A?C与B也独立.
(D)若C?B,则A与C也独立. ( ) 2.设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x),则P(|X|?2)的值为 (A)2[1??(2)]. (B)2?(2)?1.
(C)2??(2). (D)1?2?(2). ( ) 3.设随机变量X和Y不相关,则下列结论中正确的是
(A)X与Y独立. (B)D(X?Y)?DX?DY.
(C)D(X?Y)?DX?DY. (D)D(XY)?DXDY. ( ) 4.设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
(X,Y)(1,1)1619(1,2)19(1,3)118(2,1)13(2,2)(2,3)
P??
若X,Y独立,则?,?的值为 (A)?? (C) ??29,,????. (A)?? (D)??19,,??29.
1181616518??. ( )
5.设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本,则下列结论中 正确的是
(A)X1是?的无偏估计量. (B)X1是?的极大似然估计量. (C)X1是?的相合(一致)估计量. (D)X1不是?的估计量. ( )
解:1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A),(B),(C)都是正确的,只能选(D). 事实上由图 可见A与C不独立.
S A B C
2.X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2) ?1??(2)??(?2)?1?[2?(2?) 3.由不相关的等价条件知应选(B).
1?] ? 应选(A). 2?[1 4.若X,Y独立则有
Y ??P(X?2,Y?2)?P(X?2P)Y(? 2123X 121111111 18 3 ?(6 913??121??)(??)?(?? )93929?????? 3 3 ?129??118????, ??19
故应选(A).
5.EX1??,所以X1是?的无偏估计,应选(A).
三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是
合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解:设A?‘任取一产品,经检验认为是合格品’ B?‘任取一产品确是合格品’
则(1) P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)
50?.10?.02 0 ?0.9?0.9?P(AB)0.9?0.95 (2) P(B|A)???0.9977.
P(A)0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率
都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数,求X的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解:X的概率分布为 P(X?k)?C3()()55k2k33?kk?0,1,2,3.
X027125154125x?0,2361253 即
P 8125 X的分布函数为
?0,?27?,?125??81, F(x)??125??117,?125???1,26 EX?3??,
552318 DX?3???.
55250?x?1,1?x?2, 2?x?3,x?3.五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分布. 求(1)(X,Y)关
于X的边缘概率密度;(2)Z?X?Y的分布函数与概率密度. 解: y (1)(X,Y)的概率密度为
1 D x+y=1
(,y?)D?2,x f(x,y)??
?0,其它. fX(x)? (2)利用公式fZ(z)??2, 其中f(x,z?x)???0,??????x?1?2?2x,0 fx(y,dy)??,其它?0?????f(x,z?x)dx
0?x?1,0?z?x?1?x其它?2,0?x?1,???0,其它.x?z?1.
当 z?0或z?1时fZ(z)?0 z z=x 0?z?1时 fZ(z)?2? 故Z的概率密度为
??2z,0?z?1,x fZ(z)??
??0,其它.z0dx?2xz0?2z
Z的分布函数为
z?? fZ(z)??fZ?0,?z?(ydy)???ydy20???1,z?0,?0z?z?1?0,z?0,?2??1z,?z0??1,z?1.? 1, 或利用分布函数法
??0?)z?????D1??10?z?1 ,z?1.,z?0,? z1, FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?2dxd,y0?,z?1.?0? ??z2?1?,,,z?0,?2z,(?)? fZ(z)?FZ?z?0,0?z?其它.1,
2六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立,且均服从N(0,2)分
布. 求(1)命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率;(2)命中点到目标中心距离Z?学期望.
解: y (1)P{X,Y)?D}?x?y82222X2?Y2的数
??Df(x,y)dxdy
r82 ?0 1 2 x ??2??4eD211?dxdy?18?r2?2?0?1821e?rdrd?
???e?r28d(?r228)??e?81?e??e?12;
(2)EZ?E(X2?Y2)?18?2?0?r2?????????x?y?1r2218?2e?x?y822dxdy
????????0re?8rdrd??r2?42?2??0e?8rdr
r22r2 ??re80????0e?8dr??????12?e?8dr?2?.
七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm)X~N(?,?2),今抽取容量为16的样本,测得样本均值x?10,
样本方差s2?0.16. (1)求?的置信度为0.95的置信区间;(2)检验假设H0:? (附注)t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132, ?02.0(516?)26.29?6,02.052?0.1(显著性水平为0.05).
?(15)2?4.909.6,?0252(1 5)27.488. 解:(1)?的置信度为1??下的置信区间为 (X?t?/2(n?1),? X?10,s?0.4nsn,X?t?1?6,?/n?(2s1) n)2.13200.t.05,025?(15 ) 所以?的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132) (2)H0:? ??22?0.1的拒绝域为?22???(n?1).
2215S0.1?15?1.6?24,?0.05(15)?24.996
22 因为 ??24?24.996??0.05(15),所以接受H0.
《概率论与数理统计》期末试题(3)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
(1) 设事件A与B相互独立,事件B与C互不相容,事件A与C互不相容,且P(A)?P(B)?0.5,P(C)?0.2,
则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为___________.
(2) 甲盒中有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取2个球,发现它们是同一颜
色的,则这颜色是黑色的概率为___________. (3) 设随机变量X的概率密度为f(x)???2x,?0,0?x?1,其它, 现对X进行四次独立重复观察,用Y表示观察值不大于
0.5的次数,则EY2?___________.
(4) 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为
(X,Y)P(1,0)0.4(1,1)0.2a(2,0)b 若EXY?0.8,则Cov(X,Y)?____________.
(5) 设X1,X2,?,X17是总体N(?,4)的样本,S2是样本方差,若P(S2?a)?0.01,则a?____________.
2222 (注:?0.01(17)?33.4, ?0.005(17)?35.7, ?0.01(16)?32.0, ?0.005(16)?34.2)
解:(1)P(ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)
因为 A与C不相容,B与C不相容,所以A?C,B?C,故ABC?C 同理 ABC?A. B P(ABC?AB)C?(P)?C(PA)?B0.?20?.50?.5.
0.45 (2)设A?‘四个球是同一颜色的’, B1?‘四个球都是白球’,B2?‘四个球都是黑球’ 则 A?B1?B2. 所求概率为 P(BP(AB2)P(B2)2|A)?P(A)?P(B1)?P(B
2)2222 P(B?C3C31)?C2C25C2?3(B2)?C2?C25100,P5C2?35100
所以 P(B12|A)?2.
(3)Y~B(4,p), 1 其中 p?P(X?0.5)??0.502xdx?2210x?4, EY?4?14?1,DY?4?14?34?3,4 EY2?DY?(EY)2?14?1?54.
(4)(X,Y)的分布为
X Y 1 2 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 这是因为 a?b?0.4,由EXY?0.8 得 0.2?2b?0.8
?a?0.1,b?0 .3 EX?0.6??20?.4,
1EY?0.5 故 covX(Y,?)EXY?EXE?Y0.?80?.7.
(5)P(S2?a)?P{16S24?4a}?0.01
即 ?20.0(116?)a4,亦即 4a?32 ?a?8.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
(1)设A、B、C为三个事件,P(AB)?0且P(C|AB)?1,则有 (A)P(C)?P(A)?P(B)?1. (B)P(C)?P(A?B).
(C)P(C)?P(A)?P(B)?1. (D)P(C)?P(A?B). )
((2)设随机变量X的概率密度为
f(x)?12?e?(x?2)42,???x??
且Y?aX?b~N(0,1),则在下列各组数中应取 (A)a?1/2,b?1. (B)a? (C)a?1/2,b??1. (D)a?XP00.410.62/2,b?2.
2/2,b??2. ( )
(3)设随机变量X与Y相互独立,其概率分布分别为 则有
(A)P(X?Y)?0. (B)P(X?Y)?0.5.
(C)P(X?Y)?0.52. (D)P(X?Y)?1. ( ) (4)对任意随机变量X,若EX存在,则E[E(EX)]等于
(A)0. (B)X. (C)EX. (D)(EX)3. ( ) (5)设x1,x2,?,xn为正态总体N(?,4)的一个样本,x表示样本均值,则?的 置信度为1??的置信区间为
44 (A)(x?u?/2,x?u?/2).
nn22 (B)(x?u1??/2,x?u?/2).
nn22 (C)(x?u?,x?u?).
nn22 (D)(x?u?/2,x?u?/2). ( )
nn 解 (1)由P(C|AB)?1知P(ABC)?P(AB),故P(C)?P(AB) P(C)?P(AB)? 应选C. (2)f(x)?12?e?(x?2)42 YP00.410.6 P(A?)P(B?)?P(A2?B)P(?A) ?BP(?122??[x?(?2)]2(2)2e 即 X~N(?2, 故当 a? 应选B.
12,22 )b???22?2 时 Y?aX?b~N(0,1)
(3)P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)
4 ?0.4?0.?0?.60?.6 0 应选C.
(4)E[E(EX)]?EX
应选C.
(5)因为方差已知,所以?的置信区间为 (X?u?/ 应选D.
三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的
箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取
2
件产品,结果都
?2n,X?u??/2n )是一等品,求丢失的也是一等品的概率。 解:设A?‘从箱中任取2件都是一等品’ Bi?‘丢失i等号’ i?1,2,. 3 则 P(A)?P(1B)P(A|1B?)22P2(B)P(A|?B)223P(B)P( 3A|B)1C3C51C2 ??42??2??52?;
2C910C95C99 所求概率为P(B1|A)?
P(B1)P(A|B1)P(A)?38.
四、(10分)设随机变量X的概率密度为
?ax?1,f(x)???0,????200?x?2,其它.
求(1)常数a; (2)X的分布函数F(x); (3)P(1?X?3). 解:(1)1? ∴ a???12f(x)dx??(ax?1)dx?(a2x?x)0?2a?2
22
(2)X的分布函数为
x?? F(x)???0??fu(du)??????1,x0x?0,u?(1du)2,?x0?x?2. 2,,?0,?2x?, ??x?4??1,?x?0,0?x?2 ,x?2. (3)P(1?x?3)??31f(x)dx??21(1?x2)dx?14.
五、(12分)设(X,Y)的概率密度为
?e?x,f(x,y)???0,0?y?x,其它.
求(1)边缘概率密度fX(x),fY(y); (2)P(X?Y?1); (3)Z?X?Y的概率密度fZ(z). 解:(1)fX(x)?y ?????,?0?f(x,y)dy??x?xedy,???0x?0?0,???xx?0.?xe,x?0,x?0.y?0
y=x fY(y)???????0,?f(x,y)d?x????xedx,???y
y?0.?0,y?0,x 0 ???y
e,y?0.x+y=1 ?1 (2)P(X?Y?1)???x?y?1f(x,y)dxdy??20????1?yy??xedxdy
??
1 ? (3)fZ(z)??????20(e?y?e?e)dy?1?2ey?1?12?1?e.
?f(x,z?x)dx
f(x,z??x?x?0,x?z?2x,?e, x)????0,其它. z z =2 x 当 z?0 时 fZ(z)?0 z=x z?0 时 fZ(z)? 所以
?0,? fZ(z)???zx ?z2?0 ?e?e,z?0,?zz2edx?e?x?z2?e?z
z?0.
六、(10分)(1)设X~U[0,1],Y~U[0,1]且X与Y独立,求E|X?Y|; (2)设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y独立,求E|X?Y|.
解: (1)E|X?Y|?y 1 ???????x0????f(x,y)|x?y|dxdy
11??01(x?y)dxd?y??0x(?y)xd xdy x ?;
1 0 3 (2)因X,Y相互独立,所以Z?X?Y~N(0,2)
Z2?X?Y22?1 )~N(0,12 EX?Y?,所以E|X?Y|?2?.
七、(10分)设总体的概率密度为
??x??1,0?x?1,f(x;?)?? (??0)
其它.0,? 试用来自总体的样本x1,x2,?,xn,求未知参数?的矩估计和极大似然估计.
解:先求矩估计 ?1?EX? ????11??1?10?xd?x????1
X1?X?? 故?的矩估计为?
再求极大似然估计
n L(x1,?,xn;?)???xi?1ni?1??1i??(x1?xn)xl nn??1
lnL?nl?n??(?
dlnLd??nn1)??0
i???lnxi?1i 所以?的极大似然估计为
1??? ?. 1n?lnxini?1《概率论与数理统计》期末试题(4)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
(1) 设P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B|A)?0.8,则A,B至少发生一个的概率为_________. (2) 设X服从泊松分布,若EX2?6,则P(X?1)?___________.
?1?(x?1),(3) 设随机变量X的概率密度函数为f(x)??4?0,?0?x?2,其他. 今对X进行8次独立观测,以Y表示观测值
大于1的观测次数,则DY?___________.
(4) 元件的寿命服从参数为
率为_____________.
1621100的指数分布,由5个这种元件串联而组成的系统,能够正常工作100小时以上的概
162(5) 设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(?,?),今随机地测量16个零件,得?Xi?8,?Xi?34.
i?1i?1在置信度0.95下,?的置信区间为___________.
(t0.05(15?)1.753t10,.025?(15) 2.1315)0.5P(A?B) 解:(1)0.8?P(B|A)? P(A?B)?P(BA)1?P(A)?P(B)?P(AB) 得 P(AB)?0.2
. 0?.2P(A)?2P(B?)1?.1 (2)X~P(?),6?EX22?DX?(EX)???? 故 ??2.
P(X?1)?1?P(X?1)?1?PX(??2 ?1?e?2?2e?2?1?3e.
210?)PX( ?58 (3)Y~B(8,p),其中p?P(X?1)? DY?8?58?38?158?14(x?1)dx?
.
1100?1 (4)设第i件元件的寿命为Xi,则Xi~E()P(X? P(Y?100?1100X,?25),i?1,2,3,4,5. 系统的寿命为Y,所求概率为
?100,X?,55
5100)?e1 ?[P(X1?100)?]?[1?]e
?. (5)?的置信度1??下的置信区间为 S (X?t?/2(n?1)nX,?t?22/n?(2S1) n) X?0.5,S? t0.025211516[?Xi?16X]?2,S?1.4142,n?16
i?1(15?)2.13 15.所以?的置信区间为(?0.2535,1.2535).
二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的,请将其代号填入( ) 中,每小题3分,共15分)
(1)A,B,C是任意事件,在下列各式中,不成立的是 (A)(A?B)?B?A?B.
(B)(A?B)?A?B.
(C)(A?B)?AB?AB?AB. (2)设
X1,X2
F1(x),F2(x) (D)(A?B)C?(A?C)?(B?C). ( )
是随机变量,其分布函数分别为
,为使
F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值
中应取 (A)a?325,b??5. (B)a?23,b?23. (C)a??132,b?2. (D)a?132,b?2.
( )
(3)设随机变量X的分布函数为FX(x),则Y?3?5X的分布函数为FY(y)? (A)FX(5y?3). (B)5FX(y)?3. (C)F?3X(y5). (D)1?F3?yX(5). ( )
Xi?101(4)设随机变量X1,X2的概率分布为 11 P1 i?1,2. 424 且满足P(X1X2?0)?1,则X1,X2的相关系数为?X?
1X2 (A)0. (B)14. (C)
12. (D)?1. ( )
(5)设随机变量X~U[0,6],Y~B(12,14)且X,Y相互 雪夫不等式有P(X?3?Y?X?3) (A)?0.25. (B)?512. (C)?0.75. (D)?512. ( )
解:(1)(A):成立,(B):(A?B)?A?B?A?B 应选(B) (2)F(??)?1?a?b. 应选(C) (3)FY(y)?P(Y?y)?P(3?5X?y)?P(X?(3?y)/5) ?1?P(3?y?y5?X)?1?FX(35) 应选(D)
(4)(X1,X2)的分布为
X2 X–1 0 1 1 –1 110 4 0 4 10 1 140 42 111 0 4 0 4 1 4 1 124 EX1?0,EX2?0,EX1X2?,所以0cov(X1,X2)?0, 于是 ?X?0. 应选(A)
1X2 (5)P(X?3?Y?X?3)?P(|Y?X|?3) E(Y?X)?EY?EX?0 D(Y?X)?DY?DX?3?9214?4
由切比雪夫不等式
独立,根据切
比215 P(|Y?X|?3)?1?4? 应选(D)
912
三、(8
分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为?的泊松分布,而进入
超市的每一个人购买A种商品的概率为p,若顾客购买商品是相互独立的, 求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。
解:设B?‘一天中恰有k个顾客购买A种商品’ k?0,1,? Cn?‘一天中有n个顾客进入超市’ n?k,??k?1,?
则 P(B)? ? ? ?
?n?kP(CB?)n??nkP(nC)P(Bn| C?nk??n?k?nn!ke??Cnp(1?p)
?kk(p?)k!ek???(n?k)!(1?n?k?n?kp)n?k
(?p)k!e??p k?0,1,?.
四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)X服从正态分布,平均成绩(即参
数?之值)为72分,96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考生 的成绩,以Y表示成绩在60分至84分之间的人数,求(1)Y的分布列. (2)
EY和DY.
(?(2)?0.97?7,?(1)0 .884?72 解:(1)Y~B(100,p),其中p?P(60?X?84)??( ??(60?72)?2?(12?) 196?7224(??)?1 (?)
??3PX(? 由 0.02?9?6)??124??) 得 ?(24?)?0.977,即
??2,故
12??1
所以 p?2?(1)?1?0.6826.
kk100?k 故Y的分布列为P(Y?k)?C100(0.6826)(0.3174)
(2)EY?100?0.6826?68.26,DY?68.26?0.3174?21.6657.
2五、(10分)设(X,Y)在由直线x?1,x?e,y?0及曲线y?1x所围成的区域
上服从均匀分布,
(1)求边缘密度fX(x)和fY(y),并说明X与Y是否独立. (2)求P(X?Y?2). 解:区域D的面积 SD?y (X,Y)的概率密度为
e12?1xdx?lnx1?2
e2y=1/x D 2 x ?1?, f(x,y)??2?0,?(x,y?)D其它.2
, (1)fX(x)???????11??xdy,f(x,y)dy??02?0,?1?x?e,其它.1?x?e其它.2
?1,? ??2x?0,?
, fY(y)???????e1??12dx,?11?fx(y,dx)???ydx,12????0,21?y?ee?2?2,?y?1,
其它1?y?ee?2?2?12?2(e??1? ??2y????0?1),12,?y?1
,其它 (2)因f(x,y)?fX(x)?fY(y),所以X,Y不独立. (3)P(X?Y?2)?1?P(X?Y?2)?1?1211?1?243?4??x?y?2f(x,y)dxdy
?1??0?.7. 5
六、(8分)二维随机变量(X,Y)在以(?1,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区 域上服从均匀分布,求Z?X?Y的概率密度。
y ?1, 解1: (X,Y)的概率密度为f(x,y)???0,(x,y)?D,其它.
设Z的概率密度为fZ(z),则
D1 fZ(z)?x –1 0 x+y=z 1 f(z?y,y)????1,??0,0?y?其它1,y2??1z??????f(?zy,y) dy
z 当 z??1或z?1时fZ(z)?0 y z?1z?11 当 ?1?z?1时f(z)?2dy? Z?02 y 所以Z的密度为
0 –1
?z?1,? fZ(z)??2?0,?|z?|其它.1,
解2:分布函数法,设Z的分布函数为FZ(z),则 FZ(z)?P(Z?z?)P(?X?Y?)z??x?y?z(f,x)y dxdy??0z??1?0,???(zz1?? ????dxd,y?1???D1???1?z?1?1,,?1)4,2z??1,,??1?z 1,z?1. 故Z的密度为
?z?1,? fZ(z)?FZ?z(?)?2?0,?|z?|其它.1,
七、(9分)已知分子运动的速度X具有概率密度
x2?()?4x2?e,?f(x)???3??0,?x?0,x?0.??0, x1,x2,?,xn为X的简单随
机样本
(1)求未知参数?的矩估计和极大似然估计; (2)验证所求得的矩估计是否为?的无偏估计。 解:(1)先求矩估计 ?1?EX?2???04x3??(x3???e?(x?)2dx
??2x??e?)2?04?????0xe?(x?)2dx?2???? ???2X
再求极大似然估计
n L(X1,?,Xn;?)???i?14xi32?n2e?(xi?)2
1n ?? lnL??3nln??ln(??n2n?3n???4(x1?xn)?e2n2?2?xii?12
4)?ln(x1?xn)?1n?2?xi?12i
?lnLd???3n??2n2i?3?xi?1?0
n?? 得?的极大似然估计 ?2?xii?123n,
(2)对矩估计
?? E??2EX??2?2????
所以矩估计 ???2X是?的无偏估计.
八、(5分)一工人负责n台同样机床的维修,这n台机床自左到右排在一条直
线上,相邻两台机床的距离为a(米)。假设每台机床发生故障的概率均为
1n,且相互独立,若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走
的路程,求EZ.
解:设从左到右的顺序将机床编号为1,2,?,n
X为已经修完的机器编号,Y表示将要去修的机床号码,则 P(X?i)?1n,P(Y?j)?1n,i,j?1,2,?,n
P(X?i,Y?)j?P(X?)i(P?Y1)?j2 n Z?|i?j|a 于是
nn EZ???|i?i?1nj?1nj|aP(X?i,Y?j)
1n2 ???|i?i?1j?1j|a?
n ?an2n?i?12?i??(i?j)??j?1?j?i?1(j??i?) ?(n?1) ?a.
3n
《概率论与数理统计》试题(5)
一、 判断题(每小题3分,本题共15分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B ( ) ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ) ⑷ 样本均值X=
1
nn?i?1Xi是母体均值EX的一致估计 ( )
⑸ X~N(?,?12) , Y~N(?,?22) ,则 X-Y~N(0, ?12-?22) ( ) 二、 计算(10分)
(1)教室里有r个学生,求他们的生日都不相同的概率; (2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率.
三、(10分) 设P(A)?0,P(B)?0,证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.
四、(15分)某地抽样结果表明,考生的外语成绩X(百分制)近似服从正态分布,平均成绩(即参数?之值)为72
分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下
x 0 1 1.5 2 2.5 3
Ф(x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 五、(15分) 设(X,Y)的概率密度为
?(x?y)?,?e f(x,y)??,??0x?0,Y?0,其他.
问X,Y是否独立?
六、(20分)设随机变量服从几何分布,其分布列为
k?1 P(X?k)?(1?p),p0?p?1,k?1,2,?
求EX与DX
七、(15分)设总体X服从指数分布
?e?(x??),? f(x;?)????0,x??,其他.
试利用样本X1,X2,?,Xn,求参数?的极大似然估计. 八
《概率论与数理统计》试题(5)评分标准
一 ⑴ ×;⑵ √;⑶ ×;⑷ √;⑸ ×。 二 解 (1)设A?‘他们的生日都不相同’,则 P(A)?P3653651rr----------------------------------------------------------5分
(2)设B?‘至少有两个人的生日在同一个月’,则 P(B)?或
C4C1P?CC4?1CP?C12112412422223212?411296;
P(B)?1?P(B)?1?P121244?4196-------------------------------------------10分
三 证 若A、B互不相容,则AB??,于是P(AB)?0?P(A)P(B)?0 所以 A、B不相互独立.-----------------------------------------------------------5分
若A、B相互独立,则P(AB)?P(A)P(B)?0,于是AB??,
即A、B不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分
四 解 0.02?3PX(? ??(249?6)??196?7224分 (??)?1-------------------------3()???24)?0.977,??12分 2,?-------------------------------------71.?所求概率为
P(60?X????? =2Ф(1)-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分
84?)?84?72(??)6?0(72??)12?(??)12----------12分 ()
五 解 边际密度为 fX(x)??0,?fx(y,dy)?????x?yeedy,???0x?0,?x?0;??????0,x?0,---5分 ??x?e,x?0.?0,f(y)? Y??y?e,y?0,---------------------------------------------------------10分 y?0.因为 f(x,y)?fXx(?)fYy(,所以X,Y独立.-----------------------------------15分
???k?1六 解1 EX??k(1?k?1p)k?1p?p?kqk?1?p?(x)?k?1x?qk??k??p??x??k?1??--8分
x?q其中 q?1?p
由函数的幂级数展开有
? 所以
?xk?0k?11?x,
?1?1? EX?p??1??p2(1?x)?1?x?x?q?x?q1. --------------------------------12分 p因为
? EX所以
2??kk?122pqk?1???k?p?x(?x)???k?1??x?q??x?p?2??(1?x)???x?q2?pp2-----16分
DX?EX?(EX)?22?ppn2?1p2?qp?2n.------------------------------------20分
七 解 L(X1,?,Xn;?)?n?ei?1?(xi??)?e?xi?n?i?1,xi??,i?1,2,?,n.
lnL?n???Xi-----------------------------------------------------------8分
i?1
dlnLd??n?0
??x---------------------------15分 由极大似然估计的定义,?的极大似然估计为?(1)
《概率论与数理统计》试题(6)
一、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”)
⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,则A-B?A ( ) ⑵ 对任意事件A与B,则有P(A∪B)=P(A)+P(B) ( ) ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( )
⑷ X~ N(?,?2
),X1 ,X 2 ,??Xn是X的样本,则?~ N(?,?2
) ()
⑸X为随机变量,则DX=Cov(X,X)----------------------------------------------( )
二、(10分)一袋中装有m枚正品硬币,n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)从袋中任取一枚,已知将它投
掷r次,每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少?.
三、(15分)在平面上画出等距离a(a?0)的一些平行线,向平面上随机地投掷一根长l(l?a)的针,求针与任一平行
线相交的概率.
四、(15分) 从学校到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是
设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.
五、(15分)设二维随机变量(X,Y)在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布,(1)求X和Y的相关系数?;(2)问X,Y是否独立?
六、(10分)若随机变量序列X1,X2,?,Xn,?满足条件 (Xi lim2D?n??ni?11n25,
?) 0
试证明{Xn}服从大数定律.
?n(X,?,X)是?的一个估计量,若七、(10分) 设X1,X2,?,Xn是来自总体F(x,?)的一个样本,?1n?n???k,D??n??且limk?lim??0 E?nnnn22n??n???n是?的相合(一致)估计量。 试证?
八、(10分)某种零件的尺寸标准差为σ=5.2,对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据(毫米):x=26.56,设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米(??0.05).正态分布表如下
x 0 1.56 1.96 2.33 3.1
Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999
《概率论与数理统计》试题(6)评分标准
一 ⑴ √;⑵ ×;⑶ ×;⑷ ×;⑸ √。
二解 设A?‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’, B?‘任取一枚硬币是正品’, 则
所求概率为
P(B|A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B?)?1???m?n?2?mrr
B,A----------------------------------------------------------5分
A?BA?
P(B)P(A|B)mm?n?2rm ??.------------------10分
n?1????m?n?2?m?n
三 解 设A?‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种, 设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。
a ?为针与平行线的夹角,则 a 0?x?a2,0????,不等式确定了平面上
x 的一个区域S.------------------------------------6分
a L 2 A发生?x?sin?,
l 2x?sin?S 2A 0? ? 不等式确定S的子域A------------------------10分
1a2 故 P(A)????0L2sin?d??2La?
-----------------------------------------------------15分
四 解 X~B(3,即
X25kk3?k,分布律为)P(X?k)?C3()()2355k?0,1,2,3.
027125154125x?0,0?x?1,2361253
P-----------------------5分 8125X的分布函数为
?0,?27?,?125??81 F(x)??,?125?117,?125???1,5472 EX???1251251?x?2,------------------有所不同-----------------10分 2?x?3,x?3.241506??---------------------------------------------------15分 1251255
五. 解 (X,Y)的密度为
?1,? f(x,y)???r2?0,?x?y?r,其他.222-------------------------------------------3分
(1)EX?2??2x?21x?y?r?r1r?22dxdy??2?0?r0?cos??1?r2?d?d?
?sin? EXY?22?0??2r02?d?? 0??1xy?21xrdxdy?12?r32x?y?r2?2?0sin2?d??r03?d?
?4?r2[?cos?202??0]?d?? 0r 故 X,Y的相关系数??0.----------------------------------------------------------9分 (2)关于X的边缘密度为 fX(x)?22r?x1?dy,|x|?r,???r2?x22?r f(x,y)dy???0,|x|?r,???????2r2?x2?,2 ???r??0,|x|?r,|x|?r.
关于Y的边缘密度的
?2r2?y2?,2 fY(y)???r??0,|y|?r,|y|?r.
因为f(x,y)?fX(x)?fY(y),所以X,Y不独立.------------------------------------15分
六 证:由契贝晓夫不等式,对任意的??0有
D(1n?1 P??nn?i?1Xi?1n?ni?1EXi???????n?i?12Xi)?1n2nD(?Xi)i?1?2---------5分
所以对任意的??0 ?1 limP?n???nn?Xi?1i?1niEX?ni?1n?11????2lim2D(?Xi)?0
n??ni?1??故{Xn}服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分 七 证 由契贝晓夫不等式,对任意的??0有
?nD?? P(|?n???kn?-------------------------------------------------------5分 |??)2??于是 0?limP?(n|???kn??|?)n???n?2n??lim? 0?n依概率收敛于?,故??n是?的相合估计。--------------------------------------10分 即 ?
八 解 问题是在?2已知的条件下检验假设H0:?0=26 查正态分布表,1-
?2=0.975,
?1??2=1.96---------------5分
1u1=1.08<1.96,
应当接受H0,即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分
模拟试题A
一.单项选择题(每小题3分,共9分) 1. 打靶 3 发,事件
表示“击中 i 发” , i = 0, 1, 2, 3。 那么事 件
表 示 ( )。
( A ) 全 部 击 中 ; ( B ) 至少有一发击中; ( C ) 必 然 击 中; ( D ) 击 中 3 发
2.设离散型随机变量 x 的分布律为 ( A )
; ( B )
; (C)
; (D)
则 常 数 A 应 为 ( )。
3.设随机变量 ,服从二项分布 B ( n,p ),其中 0 < p < 1 , n = 1, 2,?, 那么,对于任一实数 x ,有
等 于 ( )。
( A ) ; ( B ) ;
( C ) ; ( D ) 二、填空题(每小题3分,共12分)
1.设A , B为两个随机事件,且P(B)>0,则由乘法公式知 P(AB) =__________ 2.设
且 有
=___________。
, ,则
3.某柜台有4个服务员 ,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时内每人需用台秤的概率为 ,则4人中至多1
人需用台秤的概率为 : __________________。
4.从1,2,?,10共十个数字中任取一个 ,然后放回 ,先后取出5个数字 ,则所得5个数字全不 相同的事件的概率等于 ___________。 三、(10分)已知
, 求证
四、(10分)5个零件中有一个次品 ,从中一个个取出进行检查 ,检查后不放回 。直到查到 次品时为止 ,用x表示检查次数 ,求
的分布函数 :
五、(11分)设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求 : ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率;
( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大?
六、(10分)从两家公司购得同一种元件,两公司元件的失效时间分别是随机变量
和
,其概率密度分别是 :
如果
与
相互独立,写出
的联合概率密度,并求下列事件的概率:
( 1 ) 到时刻 ( 2 ) 到时刻 ( 3 ) 在时刻
两家的元件都失效(记为A), 两家的元件都未失效(记为 B), 至少有一家元件还在工作(记为 D)。
七、(7分)证明:事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过 八、(10分)设 和
是相互独立的随机变量,其概率密度分别为
。
又知随机变量 , 试求w 的分布律及其分布函数 。
九、(11分)某厂生产的某种产品,由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且 强力服从正态分布,改用新原料后,从新
产品中抽取 25 件作强力试验,算得 ( 分别取
和 0.01, 已知
,
, 问新产品的强力标准差是否有显著变化 ?
)
十、(11分)在考查硝酸钠的可溶性程度时,对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量,得观察结果如下:
从经验和理论知且各
与
之间有关系式
。 试用最小二乘法估计 a , b.
?
独立同分布于
概率论与数理统计模拟试题A解答 一、单项选择题
1. (B); 2. (B); 3.(D) 二、填空题
1. P(B)P(A|B); 2. 0.3174; 3. ; 4. =0.3024
三、解 : 因
其中 u~N ( 0, 1 ) , 又由于
, 故可取
, 且u与y相互独立 。 从而
与y也相互独立 。
于是
四、 的分布律如下表:
五、
( i= 1,2, 3 ) 分别表示居民为肥胖者 ,不胖不瘦者,瘦者
B : “ 居民患高血压病 ” 则
由全概率公式
, ,
, ,
由贝叶斯公式
,
六、(x , h)联合概率密度
( 1 ) P(A) =
( 2 ) ( 3 )
七、证 一 : 设事件A在一次试验中发生的概率为p ,又设随机变量 则
,
故
证二 :
八、因 为
所以w的分布律为
w 的分布函数为
九、要检验的假设为
:
;
在 故在 当故 在 注:
:
时
时 ,
时 ,拒绝,下 接 受
认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大 。
,认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异 。 改 为
:
也 可
十、
模拟试题C(A.B.D)
一.填空题(每小题3分,共15分)
1. 设A,B,C是随机事件, 好出现一个的概率为______。
则A,B,C三个事件恰
2. 设X,Y是两个相互独立同服从正态分布 3. 是总体X服从正态分布N
,而
的随机变量,则E(|X-Y|)=______。
是来自总体X的简单随机样本,则随机变量
服从______,参数为______。
4. 设随机变量X的密度函数 DY=______。
,Y表示对X的5次独立观察终事件
出现的次数,则
5. 设总体X的密度函数为 量
=______。
是来自X的简单随机样本,则X的最大似然估计
二.选择题(每小题3分,共15分) 1.设
(A) 事件A和B互不相容; (B) 事件A和B互相对立; (C) 事件A和B互不独立;
(D) 事件A和B互相独立。
2.将一枚硬币重复郑n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X与Y的相关系数等于( )。 (A)-1 (B)0 (C)1/2 (D)1 3.设
分别为随机变量
的分布函数,为使
是某一随机变量的分布函
,则下列结论成立的是( )
数,在下列给定的各组值中应取( )。
3.设
是来自正态总体
的简单随机样本,
是样本均值,记
则服从自由度为n-1的t分布随机变量为( )。
5.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量
不相关的充分必要条件为( )。
三、(本题满分10分)假设有两箱同种零件,第一箱内装50件,其中10件一等品,第二箱内装30件,其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回),试求: (1) 先取出的零件是一等品的概率;
(2) 在先取出的零件是一等品的下,第二次取出的零件仍然是一等品的概率。
四、(本题满分10分)假设在单位时间内分子运动速度X的分布密度为
,
求该单位时间内分子运动的动能
的分布密度,平均动能和方差。
五、(本题满分10分)设随机变量X与Y独立,同服从[0,1]上的均匀分布。试求:
六、(本题满分10分)某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80件、10件、10件,现从中随机抽取,记
,试求:(1)随机变量 的联合分布;(2)随机变量
的相关系数。
七、(本题满分15分)设总体X的密度函数为 本,试求:
是来自X的简单随机样
八、(本题满分15分)某化工厂为了提高某种化学药品的得率,提出了两种工艺方案,为了研究哪一种方案好,分别对两种工艺各进行了10次试验,计算得
假设得率均服从正态分布,问方案乙是否能比方案甲显著提高得率
?
概率论与数理统计模拟试题C解答
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