2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何(修改)

1 2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何

一、选择题

错误！未指定书签。 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个

球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

（ ） A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm π D ．320483

cm π 【答案】A 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ

是两个不同的平面,下列命题中正确的是

（ ） A ．若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n

C ．若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥

D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥

【答案】D

错误！未指定书签。 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之

比为

（ ） A ．1:2

B ．1:4

C ．1:8

D ．1:16

【答案】C 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱

1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于

（ ） A ．23 B

．3 C

．3 D ．13

【答案】A

错误！未指定书签。 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

（ ）

A ．168π+

B ．88π+

C ．1616π+

D ．816π+ 【答案】A 错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体

2 组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有

（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<

【答案】C

错误！未指定书签。 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方

体的正视图的面积不可能．．．

等于 （ ） A ．1

B

C

．2 D

．2

【答案】C 错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所

示,则该四棱台的体积是

（ ）

A ．4

B ．143

C ．163

D ．6

【答案】B

错误！未指定书签。 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知n m ,为异面

直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥??,则

（ ） A ．βα//,且α//l

B ．βα⊥,且β⊥l

C ．α与β相交,且交线垂直于l

D ．α与β相交,且交线平行于l

【答案】D 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -

的侧

俯侧

第5题

3 棱与底面垂直,体积为9

4,

底面是边长为.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的

大小为 （ ）

A ．512π

B ．3π

C ．4π

D ．6π

【答案】B 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所

示,则该几何体的体积为

（ ） A ．5603 B ．5803 C ．200 D ．240

【答案】C

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111ABC A B C -的6

个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 （ ）

A

B

． C ．132 D

．

【答案】C

错误！未指定书签。．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,

正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=

（ ） A ．8

B ．9

C ．10

D ．11 【答案】A 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在

空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

（ ）

4 A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题中,不是公理．．的是 （ ）

A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】A

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作平面π的

垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则

（ ） A ．平面α与平面β垂直

B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045

C ．平面α与平面β平行

D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为0

60 【答案】A

错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是

【答案】D

二、填空题

错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和

22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周

而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,

所得截面面积为48ππ,试利用祖暅原理、一个平

放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为

__________

【答案】2

216ππ+.

5 错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3

π_____.

【答案】3π 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆K 是

球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32

OK =

,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.

【答案】16π 错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1

B 1

C 1

D 1中,

E 为BC 的中点,点P 在线段

D 1

E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________. 【答案】 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在

三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.

【答案】1:24

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)

如图所示,则此几何体的体积等于________2

cm . A B C A

D

E F

B C

1B

6

【答案】

24

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111

ABCD A BC D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).

①当102

CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S 的面积为2

【答案】①②③⑤

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,

则该几何体的体积是____________.

【答案】1616π- 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个

简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________

7

【答案】12π

错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线

1A B 与1B C 所成角的大小为_______

【答案】

3

π 三、解答题

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.

(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；

(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值

【答案】

D 1

C 1 B 1 A 1

D

C A

B

8

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD

9 中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=

,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.

(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值

.

【答案】

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,圆锥顶点为p .

底面圆

10 心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.

(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.

【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面 //AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? .

所以,ABCD D P PAB

的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) r

PO OPF F CD r =??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ?

-?=?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2

1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.

法二

:

11

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCD

A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.

(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以//PQ 面BDC ;

A

B

C D

P

Q M

（第20题图）

12

方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//

2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42

QH AD MD ,所以////PO QH PQ OH ∴,且OH BCD ?,所以//PQ 面BDC ; (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;

由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以

cos ,sin ,sin ,,CD CG CB CD CG BC BD CD BD

αααααα===?===, 在RT BCG ?中

,2sin BG BCG BG BC ααα∠=∴=∴=,所以在RT BHG ?中

,

13HG =∴=,所以在RT CHG ?中

tan tan 603CG

CHG HG ∠==== tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠=;

错误！未指定书签。．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线

1BC 与1AA 所成角的大小为

6π,求该三棱柱的体积.

13

【答案】[解]因为1CC 1AA .

所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=

6π. 在Rt 1BC C ?中

,11tan 6BC CC BC C =?∠==,

从而2ABC S ?==

因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ?=?==

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满

分14分.

如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.

求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.

【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点

∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB

又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF∥平面ABC

同理:FG∥平面ABC

又∵EF FG=F, EF.FG ?平面ABC∴平面//EFG 平面ABC

(2)∵平面⊥SAB 平面SBC

平面SAB 平面SBC =BC

AF ?平面SAB

AF⊥SB

∴AF⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF⊥BC

又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ?平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB∴BC⊥SA

错误！未指定书签。．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于

平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.

A

B C S

G

F E

B 1 A 1

C 1

A

C B

14

C 1

1

A

【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,

故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h

考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得11

1(12)1

323

V =

????= 而1AD C ?中,11AC DC AD =,故132

AD C S ?= 所以,13123233

V h h =??=?=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23. 错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面

ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.

(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;

(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=. 【答案】解:(I)EF AC ,AC ABC ?平面,

EF ABC ∴平面

又EF BEF

?平面

EF l ∴

l PAC ∴平面

(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)

第19题图

15

16

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC

中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点

,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,

其中A O '=.

(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ) 在图1中,

易得3,OC AC AD ===

连结,OD OE ,在OCD ?中,由余弦定理可得 C

D

O B E 'A

H . C

O B D E

A

C

D O B

E 'A 图1

图2

17

OD 由翻折不变性可知A D '=所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,

理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .

(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ',

因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥,

所以A HO '∠为二面角A CD B '-

-的平面角.

结合图1可知,H 为AC 中点,

故2OH =,从而2

A H '== 所以cos 5OH A HO A H '

∠==',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为. 向量法

:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0

C -,()1,2,0

D -

所以(CA '=,(1,DA '=-

设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则 00n CA n DA ?'?

=??'?

=??,即3020y x y

?+=??-++=??,解得y x z =-

???=??,令1x =,得

(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,

所以cos ,3n OA n OA n OA '?

'==='

,即二面角A CD B '--. 错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,

侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点. (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;

(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值

.

(Ⅲ) 设点M 在线段

C 1E 上, 且直线AM 与平面AD

D 1A 1, 求线段AM 的长.

18 【答案】

19 错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°.

(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值

.

【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E

,

∵AB=1AA ,1BAA ∠=0

60,∴1BAA ?是正三角形,

∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ?=E,∴AB⊥面1CEA

, ∴AB⊥1AC ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,

又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA , ∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,

有题设知A(1,0,0),1A

(0,

,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC

1BB =1AA

1AC

), 设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,

则100BC BB ??=???=??n n ,

即00

x x ?+=??+=??,可取n

,1,-1), ∴1cos ,A C n =11|A C A C ?

n |n ||

20 ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C

错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥

平面ABCD

, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;

(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.

1

A

【答案】解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴?⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD 中,BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥?⊥=?⊥11111,，故面且面所以；且. 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=?O A OA A RT 中，在 O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设. ，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =???111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕) (Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则 )1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=?C A B A C B ，，，，）（. 由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OC OB C A n 设平面OCB 1的法向量为

，

则0,0,2122=?=?OC n OB n n ).1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个2

1221

|||||,cos |cos 212111=?=?=><=n n n n θ. 所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为

3π 错误！未指定书签。．（2013

年高考江西卷（理））如图,四棱锥P ABCD -

1A

21 中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，

3,12

DAB DCB EA EB AB PA ???====，,连接CE 并延长交AD 于F .

(1) 求证:AD CFG ⊥平面;

(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值

.

【答案】解:(1)在ABD ?中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====, 故,23

BAD ABE AEB π

π∠=∠=∠=,

因为DAB DCB ???,所以EAB ECB ???,

从而有FED FEA ∠=∠,

故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA .

又PA ⊥平面ABCD ,

所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG . (3) 以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,

则3(0,0,0),(1,0,0),(,22

A B C D , (4)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e5rq.html