高三测试-函数及导数测试题-2013-8-1

高考专题训练二 基本初等函数的图象与性质

班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．(2011·课标)下列函数中，既是偶函数，又是在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )

A．y＝x3 C．y＝－x2＋1

B．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|

解析：由偶函数排除A，由在(0，＋∞)上单调递增，排除C、D. 答案：B

2．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )

A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数 解析：令F(x)＝f(x)＋|g(x)|， ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数 ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x) ∴F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)| ＝f(x)＋|－g(x)| ＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)． ∴F(x)在R上是偶函数． 答案：A

3．(2011·湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋

g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，则f(2)＝( )

A．2 17C. 4

解析：f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2① f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2 ∴－f(x)＋g(x)＝a－x－ax＋2② 由①②可得：g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x 15

∵g(2)＝a＝2，∴f(2)＝2－2＝4

2

－2

15B. 4D．a2

答案：B

4．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”

构造函数f(x)＝x2，y＝|f(x)|关于y轴对称，但f(x)＝x2是偶函数． 又y＝f(x)是奇函数，则y＝|f(x)|的图象关于y轴对称， ∴选B. 答案：B

5．(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1

5

－x)，则f －2＝( )

1A．－

21B．－4

1C. 41D.2

5 1 1 1 1 1

解析：f －2 ＝f －2＝－f 2 ＝－2×× 1－2 ＝－2 2

答案：A

6．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：

(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a； (2)对任意a∈R，a*0＝a；

(3)对任意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)－2c.关于函数f(x)1

＝(3x)*的性质，有如下说法：

3x

①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递

1 1 增区间为－∞，－3，3 .其中所有正确说法的个数为( )

A．0 C．2

B．1 D．3

0*1 1 1解析：f(x)＝f(x)*0＝ 3x *3x *0＝0*（3x×）＋[(3x)*0]＋ )－2×0

3x 3x

111

＝3x×3x＋3x＋＋1.当x＝－1时，f(x)<0，故①错误；因为f(－

3x3x3x111x)＝－3x＋1≠－f(x)，所以②错误；令f′(x)＝3－>0，得x>3x3x3

1 1 1

x<－因此函数f(x)的单调递增区间为－∞，－3，3∞ ，即③正确．

3

答案：B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

7．已知函数

f(x)＝ 0 x＝0 ，

x2＋mx x<0

2－x ＋2x x>0 ，

为奇函数，若函数f(x)在区

间[－1，|a|－2]上单调递增，则a的取值范围是________．

解析：当x<0时，－x>0，∵f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，∴x<0时，f(x)＝x2＋2x，∴m

＝2，即f(x)＝ 0 x＝0 ，

x2＋mx x<0

2－x ＋2x x>0 ，

其图象为

由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调

|a|－2>－1，

递增，只需 解得－3≤a<－1或1<a≤3.

|a|－2≤1，

答案：[－3，－1)∪(1,3]

8．(2011·上海)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[－10,10]上的值域为________．

解析：令f(x)分别在x1，x2(x1，x2∈[3,4])处取得最大、最小值，即f(x1)＝x1＋g(x1)＝5，

f(x2)＝x2＋g(x2)＝－2，因为y＝x为增函数，y＝g(x)的周期为1，故f(x1

＋6)是f(x)在[9,10]上的最大值，此即为f(x)在[－10,10]上的最大值．f(x2－13)是f(x)在[－10，－9]上的最小值，此即为f(x)在[－10,10]上的最小值．

f(x1＋6)＝x1＋6＋g(x1＋6)＝x1＋g(x1)＋6＝11.

f(x2－13)＝x2－13＋g(x2－13)＝x2＋g(x2)－13＝－15.故值域为[－15,11]．

答案：[－15,11]

9．对方程lg(x＋4)＝10x根的情况，有以下四种说法：①仅有一根；②有一正根和一负根；③有两个负根；④没有实数根．其中你认为正确说法的序号是________．

解析：在同一坐标系中作出它们的图象，如图．

当x＝0时，y1＝lg4，y2＝100＝1，y1<y2； 当x＝－2时，y1＝lg2，y2＝10－2＝0.01，y1>y2.

故这两个函数图象的交点均在y轴左侧，原方程应有两个负根，应填③.

答案：③

10．(2011·福建)设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：

对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P.

现给出如下映射：

①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V； ②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V； ③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.

其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号)

解析：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．

f1[λa＋(1－λ)b]＝f1[λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2]＝λx1＋(1－λ)x2－λy1

－(1－λ)y2.

λf1(a)＋(1－λ)f1(b) ＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2) ＝λx1－λy1＋(1－λ)x2－(1－λ)y2 ＝λx1＋(1－λ)x2－λy1－(1－λ)y2. ∴f1具有性质P

f2[λa＋(1－λ)b]＝f2[λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2]＝[λx1＋(1－λ)x2]2＋λy1＋(1－λ)y2

222λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1

－λ)y2

≠f2[λa＋(1－λ)b] ∴f2不具有性质P

f3[λa＋(1－λ)b]＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋λf3(a)＋(1－λ)f3(b) ＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1) ＝λx1＋(1－λ)x2＋λy1＋(1－λ)y2＋1

＝f3[λa＋(1－λ)b]． ∴f3具有性质P. 答案：①③

三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．(12分)(2011·广东清远市高三3月测试)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，x∈[0,6]的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数f(x)的值域为[0,9]．过动点P(t，f(t))作x轴的垂线，垂足为A，连接OP

.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)记△OAP的面积为S，求S的最大值．

解：(1)由已知可得函数f(x)的对称轴为x＝3，顶点为(3,9)．

－3

法一：由 2a

4ac－b 4a9

2

f 0 ＝0

得a＝－1，b＝6，c＝0 得f(x)＝6x－x2，x∈[0,6]．

法二：设f(x)＝a(x－3)2＋9 由f(0)＝0，得a＝－1 f(x)＝6x－x2，x∈[0,6]．

11

(2)S(t)＝|OA|·|AP|＝t(6t－t2)，t∈(0,6)

2233

S′(t)＝6t－t2＝t(4－t)

22列表

1

即S(t)max＝S(4)＝4×(6×4－42)＝16.

2

12．(13分)(2011·上海)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足a·b≠0.

(1)若a·b>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若a·b<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．

解：(1)当a>0，b>0时，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a(2x1

－2 x2)＋b(3x1－3 x2)

∵2x1<2x2，a>0 a(2x1－2 x2)<0,3 x1<3 x2，b>0 b(3x1－3 x2)<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数． 同理，当a<0，b<0时，函数f(x)在R上是减函数． (2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0

x

3 a 当a<0，b>0时，2>－，

2b

则x>log1.5 －2b ；

x

3 a

当a>0，b<0时， 2 <－

2b a

则x<log1.5 －2b .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e5r1.html