蝴蝶定理的证明及推广

校选课《数学文化》课程论文

一 蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何

方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU?AD，OV?BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于

?EUO??EMO?90? ?FVO??FMO?90?

得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。 则?AUM=?EOM，?MOF??MVC

??MV又?MAD??MCB，U、V为AD、BC的中点，从而?MUA，

?AUM??MVC

则 ?EOM??MOF，于是ME=MF。[1]

证法2 过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则

?FMD'??EMD，MD=MD' ○1

联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即

PC'?CQ。又

111?CFP=（QB+PC）=（QB+CC'+CQ）=BC'=?BD'C'

222故M、F、B、D'四点共圆，即?MBF??MD'F

而 ?MBF??ED M ○2 由○1、○2知，?DME??D'MF，故ME=MF。

证法3 如图4，设直线DA与BC交于点N。对?NEF及截线AMB，?NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有

FMEANBFMEDNC???1，???1

MEANBFMEDNCF由上述两式相乘，并注意到

- 1 -

DAPEMC'CFQOBD'图 3校选课《数学文化》课程论文

?NC? NB NA?NDFM2ANNDBFCFBF?CF?????得 ME2AEEDBNCNAE?ED

PM+MF??MQ-MF?PM2?MF2? ??22?PM-ME??MQ+ME?PM?ME

化简上式后得ME=MF。[2] 2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven给出）如图5，并令

?DAB=?DCB???ADC=?ABC???DMP=?CMQ???AMP=?BMQ?? PM?MQ?aME?x，MF?yPEMANCFQS?AMES?FCMS?EDMS?FMB????1即 由

S?FCMS?EDMS?FMBS?AME，

AM?AE?sin?FM?CM?sin?ED?MD?sin?MF?MB?sin?????1MC?CF?sin?EM?MD?sin?FB?BM?sin?MA?ME?sin?DOB

2MFC?FFB化简得 ??2MEAE?ED图 4a??ya2?y2??QFFP?y??a ??22?PEE?Qa?x??a?x?a?xy2a2?y2即 2?2从而 x?y,ME?MF。

xa?x2，

证法 5 令?PMD??QMC??，?QMB??AMP??，以点M为视点，对

?MBC和?MAD分别应用张角定理，有

AαPEδγγMδαCFQsin?????sin?sin?sin?????sin?sin???，??

MFMCMBMEMDMA上述两式相减，得

βD- 2 -

OβB图 5校选课《数学文化》课程论文

1?sin?sin??1sin????????MC?MD????MB?MA? ?MA?MB?MFME?MC?MD设G、H分别为CD、AB的中点，由OM?PQ，有

MB?MA?2MH?2OMcos?90?????2OMsin?MD?MC?2MG?2OMcos?90?????2OMsin?

1??1于是 sin?????????0而????180?，知

?MFME?，

2ysin??????0，故ME=MF。

AE1CFQ2

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的

证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为

x2??y?a??R22P2M1DO23B图 64直线AB的方程为y?k1x，直。

线CD的方程为y?k2x。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

??x2??y?a??R2??????y?k1x??y?k2x????0

??令y?0，知点E和点F的横坐标满足二次方程????k1k2?x2???a2?R2??0由于x的系数为0，则两根x1和x2之和为0，即

，

2x1??x2，故ME=MF。[5]

证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方

程可写为

PD2E1A?x?a?2?y2?r2

2直线AB、CD的方程可写为y?k1x,y?k2x。

- 3 -

OM1CFQB2图 73校选课《数学文化》课程论文

又设A、B、C、D的坐标为?xi,yi?,i?1,2,3,4，

则x1、x4分别是二次方程

?x?a?222?k12x2?r2,?x?a??k2x?r2的一根。AD在y轴上的截距为

2?kx?kx?x?k?k?xxy?yy1?41?x1?k1x1?24111?1214

x2?x1x4?x1x4?x1。

?k?k?xx同理，BC在y轴上的截距为1223x3?x2。

注意到x1、x2是

PFVMAEQUDOxBCa?2r?0的两根，x3、x4是方程方程?1?k12?x2?2ax?2?1?k?x222?2ax?a?r?022的两从

根而

，所易

以

x?xx1?x22a?22?34x1x2a?rx3x4得

图 8，

xxx1x2?34?0即ME?MF。 x1?x2x3?x4，

证法 8 如图8，以M为极点，MO为极轴建立极坐标系。因C、F、B三点共线，

??????令?BMx??，?CMx??，则?C?Fsin??????F?Bsin??????C?Bsin?????

2???2??C?Bsin?????即 ?F? ○1

?Bcos???Ccos? ?E??A?Dsin????? ○2

?Acos???Dcos?作OU?CD于U，作OV?AB于V。注意到?A?B??C?D ○3 由Rt?OUM与Rt?OVM可得

?B??A?D??C? ○4 cos??cos?将○3○4代入○1○2可得?E??F，即ME=MF。

- 4 -

校选课《数学文化》课程论文

二 蝴蝶定理的推广和猜想

（一） 猜想 1 在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍 可能会有 PM = QM .

推论 1 过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.

证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;

∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;

记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.

则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②

又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.

由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]

（二）猜想 2 在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .

推论 2 已知直线 AB与 ⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作 ⊙O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.

证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交 ⊙O于 K .

连结 M K交 ⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .

又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④

5

校选课《数学文化》课程论文

从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.

又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.

（三）猜想 3 既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .

推论 3 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.

证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF.

在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。[4]

结 论

从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：

1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。 2 .圆可以改为任意二次曲线。

3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。

4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e5p6.html