1992考研数三真题及解析

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1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1) 设商品的需求函数为Q?100?5P,其中Q,P分别表示为需求量和价格,如果商品需

求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.

(x?2)2n(2) 级数?的收敛域为_________. nn4n?1?(3) 交换积分次序

?dy?012?y2yf(x,y)dx?_________.

(4) 设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且A?a,B?b,C???0?BA??,则C?________. 0?(5) 将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的

概率为__________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x2xf(t)dt,其中f(x)为连续函数,则limF(x)等于 ( ) (1) 设F(x)?x?ax?a?a(A) a (B) af(a)

(C) 0 (D) 不存在

(2) 当x?0时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )

(A) x (B) 1?cosx (C) 1?x2?1 (D) x?tanx

(3) 设A为m?n矩阵,齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分条件是 ( )

(A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C) A的行向量线性无关 (D) A的行向量线性相关

(4) 设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则 ( )

(A) P(C)?P(A)?P(B)?1 (B) P(C)?P(A)?P(B)?1 (C) P(C)?P(AB) (D) P(C)?P(A?B)

2221n(5) 设n个随机变量X1,X2,?,Xn独立同分布,D(X1)??,X??Xi,

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1nS?(Xi?X)2,则 ( ) ?n?1i?12(A) S是?的无偏估计量 (B) S是?的最大似然估计量 (C) S是?的相合估计量(即一致估计量) (D) S与X相互独立

三、(本题满分5分)

?lncos(x?1),x?1,???设函数f(x)??1?sinx问函数f(x)在x?1处是否连续?若不连续,修

2?1,x?1.??改函数在x?1处的定义使之连续.

四、(本题满分5分)

arccotexdx. 计算I??ex

五、(本题满分5分)

x?2z设z?sin(xy)??(x,),求,其中?(u,v)有二阶偏导数.

y?x?y

六、(本题满分5分)

求连续函数f(x),使它满足f(x)?2

七、(本题满分6分)

求证:当x?1时,arctanx?

八、(本题满分9分)

设曲线方程y?e(x?0).

?x(1) 把曲线y?e,x轴,y轴和直线x??(??0)所围成平面图形绕x轴旋转一周,

?x?x0f(t)dt?x2.

12x?arccos?. 221?x4得一旋转体,求此旋转体体积V(?);求满足V(a)?1limV(?)的a. 2????(2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.

九、(本题满分7分)

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设矩阵A与B相似,其中

??200???100??,B??020?.

A??2x2???????311???00y??(1) 求x和y的值.

(2) 求可逆矩阵P,使得PAP?B.

十、(本题满分6分)

已知三阶矩阵B?0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:

?1?x1?2x2?2x3?0,??2x1?x2??x3?0, ?3x?x?x?0.?123(1) 求?的值; (2) 证明B?0.

十一、(本题满分6分)

?A0?A、B设分别为m、n阶正定矩阵,试判定分块矩阵C???是否是正定矩阵.

0B??十二、(本题满分7分)

假设测量的随机误差X?N(0,10),试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率?,并利用泊松分布求出?的近似值(要求小数点后取两位有效数

字). [附表]

2? 1 2 3 4 5 6 7 ? e?? 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 ?

十三、(本题满分5分)

一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望EX和方差DX.

十四、(本题满分4分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?e?y,0?x?y, f(x,y)??其他,?0,(1) 求随机变量X的密度fX(x); (2) 求概率P{X?Y?1}.

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