华理概率论习题6答案

华东理工大学

概率论与数理统计

作业簿（第六册）

学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________

第十六次作业

一． 计算题：

1 一批产品的不合格率为0.02，现从中任取40只进行检查，若发现两只或两

只以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法拒收的概率：（1）用二项分别作精确计算；

（2）用泊松分布作近似计算。 解:设不合格得产品数为?.

1(1)P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?1?(0.98)40?C40(0.02)(0.98)39?0.1905.

(2)利用二项分布列的泊松定理近似,得??npn?40?0.02?0.8,

P(??2)?1?e?0.8?0.8e?0.8?0.1912.

2 作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从(?0.5,0.5)上的均匀分布。现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值超过12的概率是多少？

解 设各个加数的取整误差为?i（i?1,2,?,1200）。因为 ?i～

?0.5?0.5(0.5?0.5)212?0 ，??D?i?? U(?0.5,0.5)，所以 ??E?i?21212（i?1,2,?,1200）。

设取整误差的总和为 ????i，因为n?1200数值很大，由定理知，这时近

i?1nn?2?1200?n??1200?0?0，似有 ????i～N(n?,n?2) ，其中，

i?1n1?100 。 12所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为

1

?12?n??12?n??)??()? P???12??1?P??12???12?≈1???(22n?n????12?0?12?0??1???()??()??1??(1.2)??(?1.2)

100100???2[1??(1.2)]?2?(1?0.8849)?0.2302 。

3 设?1,?2,?,?20是相互独立的随机变量序列，具有相同的概率密度

?(x)???2x0?x?1 。

0其他?令???1??2????20，用中心极限定理求P{??10}的近似值。

?2x0?x?1 解 因为 ?i（i?1,2,?,20）的概率密度为 ?(x)?? ，所以

其他?02 ，

??0312141D?i?E(?i2)?(E?i)2??2x3dx?()2???。

032918E?i??x?(x)dx??2x2dx???1由中心极限定理可知，这时近似有 ????i～N(n?,n?2) ，其中，n?20，

i?120n??nE?i?20?240110?，n?2?nD?i?20?? 。 33189所以，

4010?10?n?3)≈?(?3.16)?1??(3.16)≈0.008 。 P{??10}≈?()??(109n?2

4. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从普阿松分布P(0.2)，求这本书印刷错误总数不多于70个的概率。

解 设?i是第i页印刷错误的个数，已知?i～P(0.2)，i?1,2,?,300，它们相互独立，由普阿松分布可知的可加性，所以，300页书的错误总数????i～P(60)。

i?1300直接用普阿松分布计算，则有

2

60k?60P?0???70???P???k???e?0.909813 。

k!k?0k?07070下面用独立同分布中心极限定理近似计算。

因为?i～P(0.2)，独立同分布，E?i???0.2，D?i???0.2，i?1,2,?,300，

i?1,2,?,300，根据独立同分布中心极限定理，可认为 ????i近似服从正态

i?1300分布

N(n?,n?2)，其中

n??nE?i?300?0.2?60 ,

n?2?nD?i?300?0.2?60。 所以

P{0???70}≈?(70?6060)??(0?6060)??(1060)??(?6060)

≈?(1.29)??(?7.75)≈0.9015?0?0.9015 。

5. 设有30个相互独立的电子器件D1,D2,?,D30，它们的使用情况如下：D1损坏，

D2立即使用；D2损坏，D3立即使用，…。设器件Di?i?1,2,?,30?的寿命服从参数为??0.1（1/小时）的指数分布，令T为30个器件使用的总计时间。问T超

过350小时的概率是多少？

解 设?i是第i个电子器件的寿命，已知?i～E(0.1)，i?1,2,?,30，它们独立同分布，E?i?1??111?10，D?i?2??100，i?1,2,?,30。 20.1?0.130根据独立同分布中心极限定理，可认为 T???i近似服从正态分布

i?1N(n?,n?2)，其中 n??nE?i?30?10?300 , n?2?nD?i?30?100?3000。 所以

P{T?350}?1?P{T?350}≈1??(350?30050)?1??() 30003000≈1??(0.913)≈1?0.8186?0.1814 。

6. 一复杂系统，由多个相互独立作用的部件组成，在运行期间，每个部件损坏

的概率都是0.1，为了使整个系统可靠地工作，必须至少有88%的部件起作

3

用。

（1）已知系统中共有900个部件，求整个系统的可靠性（即整个系统能可靠地工作的概率）。 （2）为了使整个系统的可靠性达到0.99，整个系统至少需要由多少个部件组成？ 解 设?是起作用的部件数 ，当n比较大时，近似有?～N(np,npq)。 ?～b(n,p)，（1）n?900，p?0.9，q?1?p?0.1,np?810，npq?81。

整个系统要能可靠地工作，至少要有 n?88%?900?88%?792 个部件起作用，

所以，这时系统能可靠地工作的概率等于

P{792???900}≈ ?(900?810792?810)??()??(10)??(?2) ≈ 0.9772 ； 8181（2）设至少需要n个部件，np?0.9n，npq?0.09n。 这时系统能可靠地工作的概率等于

P{0.88n???n}≈?(n?0.9n0.09n)??(0.88n?0.9n0.09n)=?(nn)??(?) 315 ≈1??(?nn)??() 1515（ 因为本题中n很大，

nn的值远远超过了4，所以可以认为 ?()≈1 ） 。 33要?(nn)?0.99 ，查表可得?2.3263，即n?(2.3263?15)2≈1218 ， 1515即如果整个系统可靠性要达到0.99，它至少需要由1218个部件组成。

7. 某单位设置一台电话总机，共有200个分机。设每个分机在任一时刻要使用外线通话的概率为5%，各个分机使用外线与否是相互独立的，该单位需要多少外线，才能以90%的概率保证各个分机通话时有足够的外线可供使用？ 解 设?是要使用外线的分机数，?～b(n,p)，n?200，p?0.05，

q?1?p?0.95。

近似有 ?～N(np,npq)，其中 np?200?0.05?10，npq?10?0.95?9.5 。 设k是需要设置的外线数。根据题意，各个分机通话时有足够的外线可供使用，即 ??k 的概率要大于90％，即要有

4

P{??k}≈?(k?109.5)?0.9 。

查表可得

k?109.5解得 k?10?1.2816?9.5≈13.95，大于它的最小整?1.2816，

数是14，所以，需要设置14条外线。

第十七次作业

一．计算题：

1. 保险公司接受多种项目的保险，其中有一项是老年人寿保险，若一年中有100000人参加这项保险，每人每年需付保险费20元，在此类保险者里，每个人死亡的概率是0.002，死亡后家属立即向保险公司领得8000元。若不计保险公司支出的管理费，试求：

（1）保险公司在此项保险中亏本的概率；

（2）保险公司在此项保险中获益80000元以上的概率。

解：设?是死亡的人数，?～b(n,p)，n?100000，p?0.002 ，q?1?p?0.998。

?0.002?200，npq?200?0.998?199.6。 近似有 ?～N(np,npq)，np?100000?。 保险公司的净获益为 20?100000?8000??0 ，即 ??250时，保险公司在此项保险中亏本，（1）当 20?100000?8000其概率为

P{??250}≈1??(250?200)≈1??(3.539)≈0.0002 ； 199.6??80000，必须有 ??240，这时，概率为 （2）若要 20?100000?8000P{??240}≈?(240?200)≈0.9977 。 )≈?(2.831199.6

2. 某种福利彩票的奖金额?由摇奖决定，其分布列为

若一年中要开出300个奖，问需要准备多少奖金总额，才有95%的把握，保

证能够发放奖金？ 解 设需要资金总额为b,设?i表示第i个奖金额,其中i?1,2,?,300,其期望和

5

方差分别为E?i?29D,?i?76,4利用独立分布中心极限定理近似,得

b?300?29?b?300?29?,查表得?1.644,9即P(??i?b)?0.95, ???0.95?300?764i?1?300?764?b?9487.5.

3. 抽样检查产品质量时，如果发现次品不少于10个，则认为这批产品不能接受，应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9。

300解 设要检查n个产品，?是其中的次品数，?～b(n,p)，p?0.1 ，

q?1?p?0.9。近似有 ?～N(np,npq)，np?0.1n，npq?0.1n?0.9?0.09n 。

当??10时这批产品不被接受，所以，产品不被接受的概率为

P{10???n}≈?(n?0.1n10?0.1n10?0.1n)??() ??(3n)??() 0.09n0.09n0.09n10?0.1n0.1n?10)??() ≈1??(0.09n0.09n（ 因为本题中n很大，3n的值远远超过了4，所以可以认为 ?(3n)≈1 ） 。

现在要P{10???n}??(0.1n?100.09n)?0.9，查表可得

0.1n?100.09n?1.2816，即有

0.1n?0.38448n?10?0 。

这是一个关于n的一元二次不等式方程，解这个方程，得到 n?12.1055 或 n??8.2607 ，但n不可能小于负值，所以只有n?12.1055，平方后得到

n?(12.1055)2?146.543 ，

大于146.543的最小整数是147，即只要检查147个产品即可达到要求。

4. 分别用切比雪夫不等式和德莫哇佛-拉普拉斯极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次，才能保证出现正面的概率在0.4～0.6之间的概率不少于90%。

?是掷出的正面数，?～b(n,p)，p?0.5 ，q?1?p?0.5，解 设要掷n次硬币，

E??np?0.5n，D??npq?0.5n?0.5?0.25n 。

6

（1）用切比雪夫不等式估计。

P{0.4??????0.6}?P??0.5?0.1??P{??0.5n?0.1n} n?n?0.25n25D??1??1? 。 22n0.01n(0.1n)?P{??E??0.1n}?1?现在要 P{0.4?2525?0.9，即要有 n??250 。用切比

nn1?0.9雪夫不等式估计，需要掷250次。

（2）用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计。

?0.6}?1??因为?～b(n,p)，近似有?～N(np,npq)，np?0.5n，npq?0.25n 。

P{0.4??n?0.6}?P{0.4n???0.6n}≈?(0.6n?0.5n0.25n)??(0.4n?0.5n0.25n)

??(0.2n)??(?0.2n)?2?(0.2n)?1 。

现在要 P{0.4??n?0.6}?2?(0.2n)?1?0.9，即要有?(0.2n)?0.95，查

1.64492)?67.6424。大于67.6424的最小整0.2表可得 0.2n?1.6449，即有 n?(数是68，

用德莫哇佛-拉普拉斯定理估计，只要掷68次就可以了。

5. 设{?n}为独立同分布随机变量序列，P(?n??logk)?零的常数，试证{?n}服从大数定理。 解 {?n}是独立同分布随机变量序列，E?n?1(n?1,2,?)k为大于211logk?(?logk)?0，数学期望22有限，

满足辛钦大数定理的条件，服从辛钦大数定理。

6. 设{?n}为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为：

2k1P(?n?2)?k，k?1,2,?

k2试证{?n}是否服从大数定律。

证 由于{?n}为独立同分布随机变量序列,而

7

?2k11?2E?n??2?k??2???? 收敛,

k2k6k?1k?1?满足辛钦大数定律的条件,故大数定律成立.

17.随机变量序列{?k}各以的概率取值ks和-ks，当s为何值时，大数定理可应

2用于独立随机变量序列 ?1,?,?n,?，的算术平均值。 解 E?k?1s111k?(?ks)?0，E(?k2)?(ks)2?(?ks)2?k2s， 2222D?k?E(?k2)?(E?k)2?k2s?02?k2s。

当s?1时， 2n11D(?)??kn2n2k?11?s)21D???kn2k?1n?kk?1n2s1?2n?nk?1n2s?2(?s)12s?2n?n?n2， n1因为 limnn???2(n1?0，所以lim2D(??k)?0 ；

n??nk?1当s?1时， 2n11D(?)??kn2n2k?11D???kn2k?1n?kk?1n2s1?2n?k?nk?1n12?n(n?1)?21?1n?1 ， 22n1这时，显然不可能有 lim2D(??k)?0 。

n??nk?1所以，当且仅当s?定理。

1时，满足马尔可夫大数定理的条件，可应用马尔可夫大数2第十八次作业

一．填空题：

1．设121， 128， 130， 109， 115， 122， 110， 120 为总体X的一组样本观察值，则

2样本均值X=___119.375 ____； 样本方差Sn?1=______58.839_____；

样本标准差Sn?1=___7.671____； 样本二阶原点矩X2=__ 114.415__。

1)，X1，X2，2．设总体X~N(0，?，Xn为样本，则

8

22 (1)X12?X2~____?2(3)____； ?X3 (2)X1?X2X?X2324~______t(2)______；

(3)3n(?1)?Xi23i?1?Xi?4n~___F(3,n?3)___。

2i二． 选择题：

1．已知总体X~N(?，?2)，其中?已知而?2未知，X1，X2，?，Xn是总体X的一个样本。则下列的( C ) 不是统计量。

1nA.?(X?X)； B. X1?2?； ni?1C.

1?2?(Xi?1ni?X)2； D. max{X1，X2，?，Xn}。

2．设随机变量X~N(1,22), X1,X2,?,X100是X的样本, X为样本均值, 已知

Y?aX?b~N(0,1), 则有( A )。

1111A. a??5,b?5; B. a?5,b?5; C. a?,b??; D. a??,b?.

5555

1)，X1，X2，3．设总体X~N(0，?，X6为样本，又设

Y?(X1?X3?X5)2?(X2?X4?X6)2，且CY~?2分布，则C=( C )。 A.1； B.

三．计算题：

1．设总体X~N(?,22)，X1，X2，?，X16是样本，求P(|X??|?0.5)。 解：由定理5.4.1知：

X??X??~N(0，1), ~N(0，1), 而??2, n?16，故

1/2?/n111； C. ； D.。 236P(|X??|?0.5)?P(|X??0.5X??|?)?P(?1??1)??(1)??(?1) 1/21/21/2?2?(1)?1?2?0.8413?1?0.6826。

9

2．设总体?~N(50,62)，总体?~N(46,42)，从总体?中抽取容量为10的样本，

从总体?中抽取容量为8的样本，求下列概率：

Sx2 (1)P(0?X?Y?8)； (2)P(2?8.28)，

Sy22 其中X, Y分别为?，?的样本均值，Sx，Sy分别为?，?的样本方差。

解:

?62?(1)对于从总体?中抽取容量为10的样本, 样本均值X的分布为N?50,?;

?10??42?对于从总体?中抽取容量为8的样本, 样本均值Y的分布为N?46,?,

8???28?并且互相独立, 则X?Y?N?4,?, 所以

?5??0?4(X?Y)?48?4?P(0?X?Y?8)?P?????285?285285???25??2???7???1?2?0.9545?1?0.909.??2Sx62(2)根据定理5.4.3,可知22?F(9,7), 所以

Sy4

?Sx2??Sx262?P?2?8.28??P?22?3.68??0.95. ?S??S4??y??y?10

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