微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第三章中值定理与导数的应用

更新时间:2023-04-28 01:32:01 阅读量: 实用文档 文档下载

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第3章中值定理与导数的应用

习题3-1

★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?如满足,请求出满足定理的数值ξ。

(1)]511[32)(2.,,x x x f ---=; (2)]30[3)(,,x x x f -=。

知识点:罗尔中值定理。

思路:根据罗尔定理的条件和结论,求解方程0)(/=ξf ,得到的根ξ便为所求。

解:(1)∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续,在)5.1,1(-内可导,且0)51()1(==-.f f ,

∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。令()410f ξξ'=-=得

)511(41.,ξ-∈=

即为所求。 (2)∵

x x x f -=3)(在]30[,上连续,在)30(,内可导,且0)3()0(==f f , ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令

()0

f ξ'==,得)30(2,ξ∈=即为所求。 ★2.验证拉格朗日中值定理对函数

25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。 知识点:拉格朗日中值定理。

思路:根据拉格朗日中值定理的条件和结论,求解方程(1)(0)()10

f f f ξ-'=

-,若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。 解:∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续,在)10(,内可导,∴25423-+-=x x x y 在

区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又2)0(2)1(-=-=,f f ,2()12101f x x x '=-+,

∴要使(1)(0)()010

f f f ξ-'==-,只要:(01),ξ=,

∴5(01)12,ξ?=∈,使(1)(0)()10

f f f ξ-'=-,验证完毕。 ★3.已知函数

4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件,试求满足定理的ξ。

解:要使

(2)(1)()21

f f f ξ-'=-,只要3415ξξ=?=从而(12)ξ,=即为满足定理的ξ。 ★★4.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。

证明:不妨设所讨论的区间为][a,b ,则函数r qx px y ++=2

在][a,b 上连续,在)(a,b 内可导,从而有()()()f b f a f ξb a

-'=-,即a b r qa pa r qb pb q ξ-++-++=+)()(222, 解得2

a b ξ+=,结论成立。 ★5.函数3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件?如满足,请求出满足定理的数值ξ。

知识点:柯西中值定理。

思路:根据柯西中值定理的条件和结论,求解方程()()()()()()

f ξf b f a

g ξg b g a '-='-,得到的根ξ便为所求。 解:∵3)(x x f =及2

g()1x x =+在]21[,上连续,在)21(,内可导,且在)21(,内的每一点处有()20g x x '=≠,所以满足柯西中值定理的条件。要使

()(2)(1)()(2)(1)f ξf f g ξg g '-='-,只要37232=ξξ,解得)21(9

14,ξ∈=, ξ即为满足定理的数值。 ★★★6.设

)(x f 在]10[,上连续,在)10(,内可导,且0)1(=f 。求证: 存在)10(,ξ∈,使()()f ξf ξξ

'=-。 知识点:罗尔中值定理的应用。

思路:从ξξf ξf )

()(/-=结论出发,变形为0)()(/=+ξf ξξf ,构造辅助函数使其导函数为

)()(/x f x x f +, 然后再利用罗尔中值定理,便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。

证明:构造辅助函数)()(x xf x F =,()()()F x f x xf x ''=+

根据题意)()(x xf x F =在]10[,上连续,在)10(,内可导,且0)1(1)1(=?=f F , 0)0(0)0(=?=f F ,从而由罗尔中值定理得:存在)10(,ξ∈,使

()()()0F ξf ξξf ξ''=+=,即()()f ξf ξξ

'=-。 注:辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推,如:要使()()f x f x x '=-,只要

()1[()][ln ()][ln ][ln ()]00[()]0()()f x xf x f x x xf x xf x f x x xf x ''''''=-?=-?=?=?= ∴只要设辅助函数)()

(x xf x F = ★★7.若函数)(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数,且)()()(321x f x f x f == )(321b x x x a <<<<,证明:在)(31,x x 内至少有一点ξ,使得()0f ξ''=。 知识点:罗尔中值定理的应用。

思路:连续两次使用罗尔中值定理。

证明:∵ )(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数,∴)(x f 在][21,x x 、][32,x x 内连续, 在)(21,x x 、)(32,x x 内可导,又

)()()(321x f x f x f ==, ∴由罗尔定理,至少有一点)(211

,x x ξ∈、)(322,x x ξ∈, 使得1()0f ξ'=、2()0f ξ'=;又()f x '在][21,ξξ上连续,在)(21,ξξ内可导, 从而由罗尔中值定理,至少有一点?∈)(21,ξξξ

)(31,x x ,使得()0f ξ''=。 ★★8.若4次方程043223140=++++a x a x a x a x a 有4个不同的实根,证明:

023*******=+++a x a x a x a

的所有根皆为实根。

知识点:罗尔中值定理的应用。

思路:讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。

证明:令43223140)(a x a x a x a x a x f ++++=

则由题意,

)(x f 有4个不同的实数零点,分别设为4321,x ,x ,x x , ∵

)(x f 在][21,x x 、][32,x x 、][43,x x 上连续,在)(21,x x 、)(32,x x 、)(43,x x 上可导, 又0)()()()(4321====x f x f x f x f ,

∴由罗尔中值定理,至少有一点)(211

,x x ξ∈、)(322,x x ξ∈、)(433,x x ξ∈ 使得123()()()0f ξf ξf ξ'''===,即方程023*******=+++a x a x a x a 至少有3个实根,又三次方程最多有3个实根,从而结论成立。

★★★9.证明:方程015=-+x x 只有一个正根。

知识点:零点定理和罗尔定理的应用。

思路:讨论某些方程根的唯一性,可利用反证法,结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况;罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。

解:令1)(5-+=x x x f ,∵)(x f 在]10[,上连续,且01)1(>=f ,01)0(<-=f ,

∴由零点定理,至少有一点)10(,ξ∈,使得

01)(5=-+=ξξξf ; 假设015=-+x x

有两个正根,分别设为1ξ、2ξ(21ξξ<), 则)(x f 在在][21,ξξ上连续,在)(21,ξξ内可导,且0)()(21==ξf ξf ,

从而由罗尔定理,至少有一点)(21,ξξξ

∈,使得4()510f ξξ'=+=,这不可能。 ∴方程015=-+x x 只有一个正根。

★★10.不用求出函数

)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数,说明方程()0f x '=有几个实根,并指出它们所在的区间。

知识点:罗尔中值定理的应用。

思路:讨论导函数的零点,可考虑利用罗尔中值定理。

解: ∵)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 在]21[,、]32[,、]43[,上连续,

在)21(,、)32(,、)43(,内可导,且

0)4()3()2()1(====f f f f , ∴由罗尔中值定理,至少有一点)21(1

,ξ∈、)32(2,ξ∈、)43(3,ξ∈, 使得123()()()0f ξf ξf ξ'''===,即方程()0f x '=至少有三个实根,

又方程

()0f x '=为三次方程,至多有三个实根, ∴()0f x '=有3个实根,分别为)21(1,ξ∈、)32(2,ξ∈、)43(3,ξ∈。

★★★11.证明下列不等式:

(1) b a b a -≤-arctan arctan ; (2) 当 1>x 时,ex e x > ;

(3) 设 0>x ,证明x x <+)1(ln ; (4) 当0>x 时,x

x +>+11)11(ln 。 知识点:利用拉格朗日中值定理。 思路:用拉格朗日中值定理证明不等式的过程:寻找函数()y f x =,通过式子()()

()f b f a f ξb a -'=

-(或()()()()f b f a f ξb a '-=-)证明的不等式。

证明:(1)令x x f arctan )(=, ∵)(x f 在][a,b 上连续,在)(a,b 内可导,

∴由拉格朗日中值定理,得21arctan arctan ()()1a b f ξb a b a b a ξ'-=-=-≤-+。

(2)令x e x f =)()1(>x ,∵)(x f 在]1[,x 上连续,在)1(,x 内可导,

∴由拉格朗日中值定理,得e e

x - )(x e ξ1-=, ∵x ξ<<1,∴e ex x e x e e e ξx -=->-=-)1()1(,从而当 1>x 时,ex e x >。

(3)令)1ln()(x x f +=)0(>x ,∵)(x f 在]0[,x 上连续,在)0(,x 内可导, ∴由拉格朗日中值定理,得1ln(1)ln(1)ln(10)()(0)1x x f ξx x ξ'+

=+-+=-=+, ∵x ξ<<0,∴x x ξ

<+11,即0>x , x x <+)1ln(。 (4)令x x f ln )(=)0(>x ,∵)(x f 在]1[x x,+上连续,在)1(x x,+内可导, ∴由拉格朗日中值定理,得11ln(1)ln(1)ln ()(10)x x f ξx ξ

'+=+-=-=, ∵x ξx +<<1,∴x ξ+>111,即当0>x 时,x

x +>+11)11ln(。 ★★12.证明等式:)1(12arcsin arctan 22≥=++x πx

x x . 知识点:()0()f x f x C '=?=(C 为常数)。

思路:证明一个函数表达式)(x f 恒等于一个常数,只要证()0f x '=

证明:令)1(12arcsin

arctan 2)(2≥++=x x

x x x f , 当1=x 时,有π=+1arcsin 1arctan 2;当1>x 时,有

2222222222(1)222122()1(1)1(1)1x x x x f x x x x x x +-?-'==+?++++- =

0)12(1222=+-++x

x ,∴()(1)f x C f π===; ∴)1(12arcsin arctan 22≥=++x πx x x 成立。 ★★★13.证明:若函数)(x f 在)(∞+∞,-内满足关系式()()f x f x '=,且1)0(=f ,则x e x f =)(。

知识点:()0()f x f x C '=?=

思路:因为 ()()1x x f x e e f x -=?≡,所以当设()()x F x e f x -=时,只要证()0F x '=即可

证明:构造辅助函数()()x F x e

f x -=, 则()()()0x x F x e f x e f x --''=-=;

∴()(0)1x F(x)e

f x C F -=≡== ∴x e x f =)(。

★★★14.设函数)(x f 在][a,b 上连续,在)(a,b 内有二阶导数,且有

b c a c ,f b f a f )(0)(0)()(<<>==,

试证在)(a,b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''<。

知识点:拉格朗日中值定理的应用。

思路:关于导函数)()(ξf n 在一点处符号的判断,根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论,逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号,得出结论。

证明:∵ )(x f 在][a,c 、][c,b 上连续,在)(a,c 、)(c,b 内可导,

∴由拉格朗日中值定理,至少有一点)(1

a,c ξ∈、)(2c,b ξ∈, 使得

2()()()0f c f b f ξc b -'=<-,1()()()0f a f c f ξa c -'=>-; 又()f x '在][21,ξξ上连续,在)(21,ξξ内可导,从而至少有一点)(21,ξξξ∈, 使得2121

()()()0f ξf ξf ξξξ''-''=<-。 ★★★15.设)(x f 在][a,b 上可微,且()0()0()

()f a ,f b ,f a f b A,+-''>>==试证明)(/x f 在)(a,b 内至少有两个零点。

知识点:极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路:要证明在某个区间)(a,b 内导函数至少存在两个零点,只要证该函数在][a,b 上有三个零点,即可

以利用罗尔中值定理,得出结论。

证明:∵()()()lim 0x a f x f a f a x a ++→-'=>-,由极限的保号性知,

)(1a,δ+? (不妨设21b-a δ<

),对于)(1a,δx +∈? ,均有0)()(>--a x a f x f , 特别地,)(11a,δx +∈? ,使得0)()(11>--a

x a f x f ,∴得A a f x f =>)()(1; 同理,由()0f b ,-'>得)(22b,δx -∈? (22b-a δ<

),使得0)()(22>--b x b f x f , 从而得

A b f x f =<)()(2; 又∵

)(x f 在][21,x x 上连续,∴由介值定理知,至少有一点)(21,x x ξ∈使得A ξf =)(; ∵)(x f 在][a,ξ、][ξ,b 上连续,在)(a,ξ、)(ξ,b 内可导,且A b f ξf a f ===)()()(,

∴由罗尔中值定理知,至少有一点)(1

a,ξξ∈、)(2ξ,b ξ∈,使得12()()0f ξf ξ''==,结论成立。 ★★★16.设)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>,试证明存在唯一的b c c,a <<,使得

()()()f b f a f c b a

-'=-。 知识点:微分中值定理或函数单调性的应用。

思路:证明唯一性的题目或考虑利用反证法;或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理,或利用函数的单调性得出结论。

证明:存在性。

∵)(x f 在][a,b 上连续,在)(a,b 内可导,∴由拉格朗日中值定理知,至少有一点)(a,b c ∈,使得()()()f b f a f c b a

-'=-。 唯一性的证明如下: 方法一:利用反证法。假设另外存在一点)(a,b d ∈,使得()()()f b f a f d b a -'=

-, 又∵()f x '在][c,d (或][d,c )上连续,在)(c,d (或)(d,c )内可导,

∴由罗尔中值定理知,至少存在一点)()(a,b c,d ξ

?∈(或)()(a,b d,c ξ?∈),使得()0f ξ''=,这与)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>矛盾。从而结论成立。

方法二:∵)(x f 在闭区间][a,b 上满足()0f x ''>,∴()f x '在][a,b 单调递增,

从而存在存在唯一的)(a,b c ∈,使得

()()()f b f a f c b a -'=-。结论成立。 ★★★17.设函数)(x f y =在0=x 的某个邻域内具有n 阶导数,且

(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'====试用柯西中值定理证明:

)10()

()()(<<=θn!θx f x x f n n

知识点:柯西中值定理。

思路:对)(x f 、n

x x g =)(在]0[,x 上连续使用n 次柯西中值定理便可得结论。 证明:∵)(x f 、n

x x g =)(及其各阶导数在]0[,x 上连续,在)0(,x 上可导,

且在)0(,x 每一点处,(1)

()!0n g

x n x -=≠,又(1)(0)(0)(0)0n f f f ,-'====,

∴连续使用n 次柯西中值定理得,

(1)(1)11111(1)111()(0)

()()(0)

()()(0)(0)(0)

(0)

n n n n n n n n n f ξf f f ξf f x f x f x x g n n ξg n!ξg ξξ-------'''---=====

'--- )10()()(<<=θn!

θx f n ,从而结论成立。

习题3-2

★★1.用洛必达法则求下列极限:

(1) x e e x

x

x sin lim 0-→-; (2) x-a a x a x sin sin lim -→; (3)22

)

2(sin ln lim x π-x πx →; (4)x arc x x cot )

11ln(lim ++∞→;

(5)x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→; (6)e

e x x x x -+-→ln 1lim

31; (7) x

x-x

x x sin tan lim

0-→; (8)x x x 2cot lim

→;

(9) 2

1

2

lim

x

x e x →; (10))1(lim

1

-∞→x

x e x ; (11))1

11(lim 0--→x x e x ; (12))ln 1

1(lim 1x x-x x -→;(13)x x x

a )1(lim +∞→; (14)x

x x sin 0lim +→; (15)x x x tan 0)1(lim +→; (16)x x-x e x x arctan 1)1ln(lim 0--+→;

(17)x

x x 1

0)sin 1(lim +→; (18)x x x )1(ln lim 0+→; (19)x x x x 1

2

)1(lim +++∞→; (20)2)1tan (lim n n n

n ++∞→。

知识点:洛必达法则。

思路:注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题,基本形式为:

0型与

型未定式,对于这种形式可连续使用洛必达法则;对于∞-∞型与∞?0型的未定式,可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式;对于0

0型、∞1型与0

∞型的未定式,可通过取对数等手段化为未定式;此外,还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

解: (1) 2cos lim sin lim

00=+=--→-→x

e e x e e x

x x x x x ;

(2) a x a x a x a x a x cos 1

cos lim sin sin lim ==--→→; (3)818sin lim )2(4cos lim )2(4sin cos lim )2(sin ln lim 2

2222-=-=-=-=-→→→→x πx x πx x x

x πx πx πx πx πx ; (4)1)1(1lim 11)1(1lim cot )11ln(lim 22

=++=+-+-=++∞→+∞→+∞→x x x x x x x arc x x x x ; (5)17cos 27tan 2tan 2cos 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200=??==+→+→+→x

x x x x

x x x

x x x x x ; (6)e e x x e e x x x

x x x 413lim ln 1lim 2131=+=-+-→→; (7) 2230000tan sec 12tan sec 2lim lim lim lim 2sin 1cos sin cos x x x x x x x x x x x x x x

→→→→--====--; (8)2

12sec 21lim 2tan lim 2cot lim 2000===→→→x x x x x x x x ; (9) +∞==--==→→→→2222103

1

302101

20lim 22lim 1lim lim x x x x x x x x e x e x x e e x ; (或解为:2

21

120lim lim lim 1

u u u x x x u u e e x e u =→→+∞→+∞===+∞) (10)1lim 11lim 1)1(lim )1(lim 12121

1==--=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x e x

e x x e e x ; (或解为:∵当x →∞时,111~x e x -,∴11/11/lim (1)lim lim 11/1/x x x x x e x x e x x

→∞→∞→∞--===) (11)(1)~20000111111lim()lim lim lim 1(1)22x x x x e x x x x x x x e x e x e x e x e x x -→→→→------====--;

(12)21

2ln ln 1lim 1ln ln lim

ln )1(1ln lim )ln 11(

lim 1111

=++=-+

=-+-=--→→→→x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x ; (或解为:ln(1)~12

100ln 1(1)ln(1)(1)ln(1)lim lim lim (1)ln ln(1)u u u x x u u x x x u u u u u u

x x u u u +=-→→→-+++-++-==-+

0ln(1)1

lim

22

u u u →+==)

(13)ln(1)

lim ln(1)lim

lim 11

lim(1)x x x a

a a x x x x

a x

x x

x a e x

e e

e

→∞→∞

→∞++→∞

+

====;

(14)

0000ln 1

tan sin lim sin ln lim

lim

lim

sin 0csc cot csc 0

lim 1x x x x x

x x x x

x x

x x x

x

x x e e

e

e

e +

+++

→→→→+

--→======;

(15)

22

0001

ln sin lim lim lim

tan 0cot csc 000

1lim ()lim lim lim 1x x x x

x

x x x

x x

x x x x e e e e x +++→→→++

+

+

-

--→→→→=====;

(16)2

202

00)1()1)(1(lim 11111

lim arctan 1)1ln(lim x x e xe x x x e x x x e x x x x x x x -+-+=+-

-+

=---+→→→ 200(1)1

lim lim 22

x x x x x xe e xe x x →→-+=-=-=-;

(17)e e

e

x x

x

x x

x)

(x x

x x x ===++→+→→→→sin

1cos lim

sin 1ln lim

1

00

lim lim )

sin 1(lim ;

(18)0020011()

ln[ln ]

ln lim lim

1

11lim

lim

ln 1/01lim(ln )1x x x x x x x

x

x

x

x

x

x

x e

e

e

e

x

++

→→++→→+?------→=====;

(19)

1)1(lim 2

2

2

211lim

111lim

)1ln(lim 12====+++++++

+++∞

→+∞

→+∞

→+∞→x x x x x x

x x x

x x x x e

e

e

x x ;

(20)令

2

)1tan ()(x x

x x f =,则22

201ln tan ln 1

lim 01tan lim (tan )lim()t t t t

x

x t t x t t x e x t +

→+=

-→+∞→==

2223

323

00001

sin 2sec tan sec tan sin cos 2lim

lim

lim

lim 2tan 22cos 2t t t t t t t t t t t t

t t t t t

t t t

t e

e

e

e

+

+

+

+

→→→→----====

22

2

2

00(1cos )~1cos221lim

lim

2

663

t t x x t t t t

e

e

e +

+→→--===

=

∴2131lim (tan )n n n e n

+→+∞= ★★2.验证极限x

x x x sin lim +∞→存在,但不能用洛必达法则求出。 知识点:洛必达法则。

思路:求导后极限如果不存在,不能说明原式极限不存在,只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。

解:∵ 101)sin 1(lim sin lim

=+=+=+∞→∞→x x x x x x x ,∴极限x

x x x sin lim +∞→存在; 若使用洛必达法则,得x x x x sin lim +∞→x x x x cos lim 11cos 1lim ∞→∞→+=+=, 而x x cos lim ∞→不存在,所以不能用洛必达法则求出。

★★★3.若)(x f 有二阶导数,证明2

0()2()()()lim h f x h f x f x h f x h →+-+-''=。 知识点:导数定义和洛必达法则。

思路:使用洛必达法则,对极限中的函数上下求关于h 的导数,然后利用导数定义得结论。

证明:∵ 200()2()()()()lim

lim 2h h f x h f x f x h f x h f x h h h

→→''+-+-+--= 0()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h

→''''+-+--=

//001()()1()()lim lim ()22h h f x h f x f x h f x f x h h

→→''''+---=+=-,∴结论成立。 ★★★4.讨论函数?????+=-,e ,e x x f x x 2111])1([)(00≤>x x 在点0=x 处的连续性。 知识点:函数在一点连续的概念。

思路:讨论分段函数在分段点处的连续性,要利用函数在一点处左、右连续的概念。 解:∵120001111(1)ln(1)1lim ln lim lim 1200(1)lim ()lim[]x x x x x x x x x x e x x x x x x f x e e e e

+++→→→++-++-+→→+==== 011lim 21x x e +→-+=)0(21

f e ==-,∴)(x f 在0=x 处右连续; 又∵

)0()(lim 21

0f e x f x ==-→-,∴)(x f 在0=x 处左连续; 从而可知,?????+=-,

e ,e x x

f x x 2111])1([)(00≤>x x 在点0=x 处连续。 ★★★5.设)(x

g 在0=x 处二阶可导,且0)0(=g 。试确定a 的值使)(x f 在0=x 处可导,并求

(0)f ',其中() ,0() ,

0g x x f x x a x ?≠?=??=? 。

知识点:连续和可导的关系、洛必达法则。

思路:讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性,一般考虑利用定义。

解:要使)(x f 在0=x 处可导,则必有)(x f 在0=x 处连续,

又∵)(x g 在0=x 处(0)0g =,∴x x g x f a x x )(lim )(lim 00→→==)0(0

)0()(lim /0g x g x g x =--=→; 由导数定义,0()(0)(0)lim 0x f x f f x →-'=-2

00()(0)()(0)lim lim 0x x g x g g x g x x x x →→'-'-==- 0()(0)1lim (0)22

x g x g g x →''-''==。

习题3-3

★1.按)1(-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。

知识点:泰勒公式。

思路:直接展开法。求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式,则依次求)(x f 直到1+n 阶的导数在0x x =处的值,然后带代入公式即可。

解:3()46f x x x '=+,(1)10f '=;2()126f x x ''=+,f (1)18''=;

()24f x x '''=,(1)24f '''=;24)()4(=x f ;24)1()4(=f ;0)()5(=x f ; 将以上结果代入泰勒公式,得

(4)234

(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!

f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。

★★2.求函数x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。 知识点:泰勒公式。

思路:同1。

:()f x '=,1(4)4f '=;321()4f x x -''=-,1(4)32

f ''=-; 523()8f x x -'''=,3(4)256

f '''=;2741615)(--=x x f )(;将以上结果代入泰勒公式,得 (4)234(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!

f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+- 427

32)4(1285)4(5121)4(641)4(412---+---+=x ξx x x ,(ξ介于x 与4之间)。

★★★3.把2211)(x x x x x f +-++=在0=x 点展开到含4x 项,并求)0()3(f 。 知识点:麦克劳林公式。

思路:间接展开法。)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论)(1112n n x o x x x x

+++++=- 。 解:3

2222211)1(2112112111)(x x x x x x x x x x x x x x x x f +++=+-+=+-++-=+-++= )(2221))(1)(1(2144233x o x x x x o x x x +-++=+-++=;

又由泰勒公式知3x 前的系数(0)03!f '''=,从而(0)0f '''=。

★★4.求函数x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有皮亚诺型余项的n 阶泰勒公式。

知识点:泰勒公式。

思路:直接展开法,解法同1;或者间接展开法,)(x f 为对数函数时,通常利用已知的结论

x x =+)1ln()(1

)1(32113

2++++-+-+-n n n x o n x x x 。 方法一:(直接展开)1()f x x '=,1(2)2f '=;21()f x x ''=-,1(2)4f ''=-; 32

()f x x '''=,1(2)4f '''=;n n n x n x ,f )!1()1()(1)(--=- ,n n n n f 2

)!1()1()2(1)(--=-; 将以上结果代入泰勒公式,得

(4)234(2)(2)(2)(2)ln (2)(2)(2)(2)(2)12!3!4!

f f f f x f x x x x !''''''=+-+-+-+-+

n (n)x n f )2(!)2(-+))2((n x o -+=23)2(21)2(212ln ---+x x --?+33)2(2

31x ))2(()2(2

1)1(1n n n n x o x n -+-?-+-。 方法二:2)2

2(21222ln )221ln(2ln )22ln(ln )(---+=-+

+=-+==x x x x x x f 2313)2(2

1)2(212ln ))22(()22(1)1()22(31---+=-+--+--+-x x x o x n x n n n ))2(()2(2

1)1()2(231133n n n n x o x n x -+-?-+--?+- 。 ★★5.求函数x x f 1)(=按)1(+x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式。 知识点:泰勒公式。

思路:直接展开法,解法同1;或者间接展开法,)(x f 为有理分式时通常利用已知的结论2121111(1)n n n x x x x x

ξ++=+++++--。 方法一:21

()f x x '=-,(1)1f '-=-;32

()f x x ''=,(1)2f ''-=-;46

()f x x '''=-,

(1)6f '''-=-1)(!)1()(+-=n n

n x

n x ,f ,!)1(!)1()1(1)(n n f n n n -=--=-+; 将以上结果代入泰勒公式,得 231(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!f f f f x x x x ''''''---=-+++++++

n n x n f )1(!

)1()(+-+1)1()1()!1()(+++++n n x n ξf =n x x x x )1()1()1()1(132+--+-+-+-- 121

)1()1(++++-+n n n x ξ

(ξ介于x 与1-之间)。 方法二:n x x x x x x )1()1()1()1(1[)

1(11132+++++++++-=+--= ])1()1(121++++-+n n n x ξ=n 32)1()1()1()1(1+--+-+-+--x x x x 121

)1()1(++++-+n n n x ξ

(ξ介于x 与1-之间)。

★★6.求函数x xe y =的带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林展开式。

知识点:麦克劳林公式。

思路:直接展开法,解法同1;间接展开法。)(x f 中含有x

e 时,通常利用已知结论 )(212n n

x

x o n!x !x x e +++++= 。 方法一:(1)x y x e '=+,(0)1y '=;(2)x y x e ''=+,(0)2y ''=;x (n)e n x ,y )(+= , n y n =)0()(,将以上结果代入麦克劳林公式,得

23(0)(0)(0)(0)(0)()1!2!3!!

(n)x n n f f f f xe f x x x x o x n ''''''=+++++++ +++=!23

2

x x x )!1(-+n x n )(n x o +。 方法二: +++=+-++++=--!2))()!1(!21(3

2112x x x x o n x x x x xe n n x

)!

1(-+n x n

)(n x o +。 ★★7.验证当210≤

e 的近似值时,所产生的误差小于010.,并求e 的近似值,使误差小于010.。

知识点:泰勒公式的应用。

思路:利用泰勒公式估计误差,就是估计拉格朗日余项的范围。

解:

010192

121!42!4!4)(4

42

1

43.x e x e x R ξ<=≤≤=;6460481

81211.e ≈+++≈。 ★★8.用泰勒公式取5=n ,求21ln .的近似值,并估计其误差。

知识点:泰勒公式的应用。 解:设)1ln()(x x f +=,则

(5)2

5

(0)(0)(0)()(0)1!2!

5!

f f f f x f x x x '''≈+++

+

2

2

x x -=55x +

+ ,从而182305

2042032022020)20(21ln 5

432.......f .≈+-+-≈=;其

误差为:

00001070620)1(61)(66

6

5..x ξx R ≈≤+-=。

★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限:

(1) )3(lim 233x x x x x --++∞→; (2)2

2

2

sin )(cos 1211lim 2

x e x x x x x -+-+

→ 。

知识点:泰勒展开式的应用。

思路:间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式,然后利用极限的运算性质得到结果。

解:(1)])1

1()31([lim )3(lim 21

3122

3

3

x x x

x x x x x x x --+=--++∞→+∞→

))]1

(12)

121

(21)1(211())]1(o 3311([lim 2222x

o x x x x x x x +?-+-?+-+?+=+∞→2

1))1(8921(lim =++=+∞→x o x x 。 (2)2

2

1

2202220

)(cos )1(21

1lim sin )cos (1211lim 2

2x e x x x x e x x x x x x x -+-+=-+-+→→

121)

(2

3)(81lim )))(1()(21()

(2)

12

1(21211(211lim 444402222244220-=+-+=++-+-+-++-+=→→x o x

x o x x x o x x o x x o )x x x x x 。 ★★10.设0>x ,证明:)1ln(2

2

x x x +<-。 知识点:泰勒公式。

思路:用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数,另一边为其幂级数展

开的一部分时,可考虑用泰勒公式。

解:33

2)1(32)1ln(ξx x x x ++-=+(ξ介于0与x 之间),∵ 0>x ,∴0)

1(333>+ξx , 从而2

)1(32)1ln(2332x x ξx x x x ->++-=+,结论成立。 (也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之)

★★11.证明函数)(x f 是n 次多项式的充要条件是0)()1(≡+x f n 。

知识点:麦克劳林公式。

思路:将)(x f 按照麦克劳林公式形式展开,根据已知条件,得结论。

解:必要性。易知,若)(x f 是n 次多项式,则有0)()1(≡+x f

n 。 充分性。∵0)()1(≡+x f n ,∴)(x f 的n 阶麦克劳林公式为:2(0)()(0)(0)2!

f x f x f f x '''=++ 3()(1)1(0)(0)()3!!(1)!n n n n f x f x f ξx n n ++'''++++=+2(0)(0)(0)2!

f x f f x '''++ 3

(0)3!

f x '''+!)0()(n x f n n ++ ,即)(x f 是n 次多项式,结论成立。 ★★★12.若)(x f 在][a,b 上有n 阶导数,且(1)()()()()()0n f a f b f b f b f b -'''====

== 证明在)(a,b 内至少存在一点ξ,使

)(0)()(b ξa ξf n <<=。 知识点:泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。

思路:证明)(0)()(b ξa ξf n <<=,可连续使用拉格朗日中值定理,验证)()1(x f n -在][a,b 上满足罗尔中值定理;或者利用泰勒中值定理,根据)(x f 在b x =处的泰勒展开式及已知条件得结论。 方法一:∵ )(x f 在][a,b 上可导,且)()(b f a f =,

∴由罗尔中值定理知,在)(a,b 内至少存在一点1ξ,使得

1()0f ξ'=; ∵ ()f x '在][][1a,b ,b ξ?上可导,且()0f b '=,

∴由罗尔中值定理知,在)()(1a,b ,b ξ?内至少存在一点2ξ,使得2()0f ξ''=;

依次类推可知,)()1(x f n -在][1,b ξn - ][a,b ?上可导,且0)()()1(1)1(==---b f ξf n n n ,

∴由罗尔中值定理知,在)()(1a,b ,b ξn ?-内至少存在一点ξ,使得0)()(=ξf n 。

方法二:根据已知条件,)(x f 在b x =处的泰勒展开式为:

(1)()21()()()()()()()()()()2!(1)!!

n n n n

f b f b f ξf x f b f b x b x b x b x b n n --'''=+-+-++-+--n n b x n ξf )(!

)()(-=)(b ξx <<, ∴)(a f 0)(!

)()(=-=n n b a n ξf ,从而得0)()(=ξf n ,结论成立。

习题3-4

★1.证明函数)1ln(2x x y +-=单调增加。

知识点:导数的应用。

思路:利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I 上,()0f x '>(()0f x '<),则)(x f 在I 单调增加(减少)。

证明:∵2

22

2(1)1011x x y x x -'=-=≥++(仅在1=x 处0y '=), ∴)1ln(2x x y +-=在)(∞+-∞,内是单调增加的。

★2.判定函数)20(sin )(πx x x x f ≤≤+=的单调性。

解:∵()1cos 0f x x '=+≥(仅在πx =处()0f x '=),

∴)20(sin )(πx x x x f ≤≤+=是单调增加的。

★★3.求下列函数的单调区间:

(1) 133123+--=x x x y ; (2))0(82>+=x x x y ; (3)32

32x x y -=;

(4))1ln(2x x y ++=; (5)x x y )1(+=; (6)x x y ln 22-=。 知识点:导数的应用。

思路:利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间,用导数为零的点及不可导点,将定义域划分成若干个区间,然后在每个区间上判断函数的单调性;如果划分定义域的点有两个或以上,可列表讨论,使得思路更清晰一些。

解:(1) 133123+--=

x x x y 的定义域为)(∞+-∞,;令2230y x x '=--=, 得11-=x ,32=x 。列表讨论如下:

由上表可知,133

23+--=

x x x y 在)1(--∞,、)3(∞+,内严格单增,而在)31(,-内严格单减。 (2) 在)0(∞+,内,令2820y x '=-=,得2=x ; 当 )20(,x ∈时,有

0y '<;当 )2(∞+∈,x 时,有0y '>; ∴)0(82>+=x x

x y 在)20(,内严格单增,在)2(∞+,内严格单减。

(3)32

3

2x x y -=的定义域为)(∞+-∞,;令1322033y x -'=-==, 得1=x

;0=x 为不可导点。列表讨论如下:

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/e5gq.html

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