海南省文昌中学2015-2022学年高一下学期期末考试数学试题Word版

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。考生作答时，将答案写在答题页上，在试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）

1．设a ＜b ＜0,下列不等式一定成立的是（ ）

A ．a 2＜ab ＜b 2

B ．b 2＜ab ＜a 2

C ．a 2＜b 2＜ab

D ．ab ＜b 2＜a 2

【答案】B

【解析】

试题分析：因为0<>，即22a ab b <<；故选B ． 考点：不等式的性质．

2．不等式2)1(>-x x 的解集为（ ）

A ．{x|－1＜x ＜2}

B ．{x|－2＜x ＜1}

C ．{x|x ＜－2或x ＞1}

D ．{x|x ＜－1或x ＞2} 【答案】D

考点：一元二次不等式的解法．

3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cosB 等于（ ）

A ．－223

B ．223

C ．－63

D ．63 【答案】D 【解析】

试题分析：由正弦定理，得B sin 1060sin 150=，解得33sin =B ，因为b a >，所以060=

即3

6sin 1cos 2=-=B B ；故选D ． 考点：1.正弦定理；2.同角三角函数基本关系式．

【易错点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式的应用，属于中档题；已知两边b a ,及其中一边的对角A 解三角形时，往往常用正弦定理进行求解，但三角形的个数往往不确定，可能是一个、两个或零个，这往往是学生忽视的地方，要注意求出B sin 时，要借助边b a ,的大小关系判定角B A ,的大小关系进行而确定角B 的大小.

4．在ABC ?中，若C B C B A sin sin 3sin sin sin 2

22-+≤，则A 的取值范围是（ ） A ．(0,]6π

B ．[,)6ππ

C ．(0,]3π

D ．[,)3π

π

【答案】A

考点：1.正弦定理；2.余弦定理．

5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝（ ）

A ．36

B ．35

C ．34

D ．33 【答案】C

【解析】

试题分析：由n n S n 22-=，得1)1(0122=--=-=S S a ，33)3417()3618(22171818=---=-=S S a ，则34182=+a a ；故选C ．

考点：???≥-==-2,1,1n S S n S a n n

n n 的应用． 6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1，S 2＋a 2，S 3成等差数列，则数列{a n }的公 比为（ ）

A ．3

B ．2

C ．.12

D ．1

【答案】A

考点：1.等比数列；2.等差数列．

7．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B(如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°.就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）

A ．50 2 m

B ．50 3 m

C ．25 2 m

D ．2522

m 【答案】A

【解析】

试题分析：在ABC ?中，因为0045,105=∠=∠BCA ABC ，所以030=∠ACB ，由正弦定理，得0

030sin 5045sin =AB ，解得250=AB ；故选A ． 考点：正弦定理．

8．已知函数f(x)＝ax 2－x －c ，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x ＜1}，则函数y ＝f(－x)的图象为（ ）

A B C D

【答案】

A

考点：1.三个“二次”的关系；2.二次函数的图象．

9．已知点(,)P x y 的坐标满足条件 ??

???≥

+-≥-+-022010y x y x y x ,若m y x z ++=3的最小值为6，则

=m （ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】D

【解析】

试题分析：将3z x y m =++化成3

31m z x y -+-=，作出可行域和目标函数基准直线x y 31-=（如图所示），当直线331m z x y -+-=向右上方平移时，直线3

31m z x y -+-=在y 轴上的截距3m z -增大，即z 增大；由图象，得当直线3

31m z x y -+-=经过点A 时，联立???=-=-+0

01y x y x ，得)21,21(A ，此时，z 取得最小值62321=++m ，则4=m ；故选D ．

考点：简单的线性规划问题．

10．已知数列{}n a 为等差数列，若

11101a a <-，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S > 的n 的最大值为（ ）

A ．11

B ．12

C ．19

D ． 20

【答案】C

考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的前n 项和．

11．若x>0，y>0，且2x ＋8y

＝1，则xy 有（ ） A ．最大值64

B ．最小值164

C ．最小值12

D ．最小值64 【答案】D

【解析】

试题分析：因为0,0>>y x ，所以xy

y x 162821≥+=（当且仅当2182==y x ，即16,4==y x 时取等号），即64≥xy ；故选D ．

考点：基本不等式．

【方法点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题；在利用基本不等式求最值时，要注意其适用条件（一正，二定，三相等）的验证，陪凑“定和或定积”的解题的关键，也是难点，而验证“相等”是学生易忽视的问题，如“由2111222

1

2222=+?+≥+++x x x x 判定22122+++x x 的最小值为2”是错误的，因为1221

222-=?+=+x x x 是不成立的.

12．在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则22221n a a a +++ 等于（ ）

A ．()212-n

B ．()3122

-n C ．14-n D ．314-n 【答案】

D 考点：1.数列的通项公式；2.等比数列的求和公式．

【易错点睛】本题考查利用???≥-==-2,1,1n S S n S a n n

n n 求数列的通项、等比数列的判定以及等比数列的求和公式，属于中档题；由???≥-==-2

,1,1n S S n S a n n n n 求数列的通项时，且不要忽视验证“当

1=n 时”的值是否符合“当2≥n 时”的通项，以免出现错误（如：已知12+=n S n ，求n

a 时，往往出现“12-=n a n ”的错误结果，而正确结果为?

??≥-==2,121,2n n n a n ）. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若实数x ，y 满足条件 x ＋2y －5≤0，2x ＋y －4≤0，

x ≥0，

y ≥1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为 .

【答案】2

【解析】

试题分析：将2z x y =-化成z x y -=2，作出可行域和目标函数基准直线x y 2=（如图所示），当直线z x y -=2向左上方平移时，直线z x y -=2在y 轴上的截距z -增大，即z 减小；由图象，得当直线z x y -=2经过点)1,23

(A 时，z 取得最大值21232=-?；故填2．

考点：简单的线性规划问题．

14．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________km.

【答案】16-

考点：1.余弦定理；2.解三角形的应用．

15．不等式ax 2＋4x ＋a>1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

【答案】),2(+∞

【解析】

试题分析：不等式22214x a x ax ->++对一切R x ∈恒成立，即不等式014)2(2>-+++a x x a 对一切R x ∈恒成立，当02=+a ，即2-=a 时，034>-x 不恒成立；当02≠+a 时，要使不等式014)2(2

>-+++a x x a 对一切R x ∈恒成立，则???<-+-=?>+0)1)(2(41602a a a ，解得2>a ；故填),2(+∞．

考点：1.不等式恒成立问题；2.分类讨论思想．

【易错点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题以及分类讨论思想的应用，属于中档题；在研究二次项系数含有字母的一元二次不等式恒成立问题时，要注意对“二次项系数是否为0”进行讨论，以免出现错误（如研究不等式03)2()2(2

>+++++a x a x a 对一切R x ∈恒成立，当02=+a ，即2-=a 时，01>恒成立）.

16．已知数列{x n }满足x n ＋3＝x n ，x n ＋2＝|x n ＋1－x n |(n ∈N *)，若x 1＝1，x 2＝a(a ≤1且a ≠0)，则数列{x n }的前2 016项的和S 2 016为 .

【答案】

1344 考点：1.数列的递推式；2.数列的周期性；3.数列的前n 项和．

【方法点睛】本题考查由数列的递推公式求通项、数列的前n 项和以及数列的周期性的应用，属于中档题；解决本题的关键在于先由数列的前两项求出第三项和第四项（但要注意结合a 的取值范围去掉绝对值符号，避免讨论），再由n n x x =+3求出a 值，最后再结合数列的前三项和和数列的周期性求和.

三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．(本小题满分10分) 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且32a =，615S =．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

【答案】（1）1-=n a n ；（2）12-=n n T ．

【解析】

试题分析：（1）设出等差数列的首项和公差，利用方程思想进行求解；（2）先求出数列{}n b 的通项，且判定该数列为等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等差数列，设其公差为d ，

由题设可得 1122,6151

5,a d a d +=??+=?解得 10,1,a d =??=?

所以1(1)1n a a n d n =+-=-．

（Ⅱ）由（Ⅰ）1n a n =-，所以12n n b -=，

可知数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列， 因此1(1)1221112

n n

n n b q T q --===---． 考点：1.等差数列；2.等比数列．

18．(本小题满分12分) 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c. 已知b c a 66=-，sinB ＝6sinC.

（Ⅰ）求cosA 的值； （Ⅱ）求)62cos(π

-A 的值．

【答案】（1）46；（2）8

315-．

考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.三角恒等变形．

19．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x 2－2x －8，g(x)＝2x 2－4x －16，

（1）求不等式g(x)＜0的解集；

（2）若对一切x ＞2，均有f(x)≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．

【答案】（1）}42|{<<-x x ；（2）]2,(-∞．

考点：1.一元二次不等式的解法；2.基本不等式．

【方法点睛】本题考查一元二次不等式的解法、基本不等式的应用以及含参数的不等式恒成立问题，属于中档题；在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往利用“分离参数法”将参数进行分离，使不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，如本题中将

“)1(742

-≥+-x m x x 对于2>x 恒成立”转化为“1742-+-≤x x x m 对于2>x 恒成立”，即求1

742-+-x x x 的最小值.

20．(本小题满分12分) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. 已知 3cos(B －C)－1＝6cosBcosC.

（1）求cosA ；

（2）若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c.

【答案】（1）

3

1；（2）3,2==c b 或2,3==c b ． 【解析】 试题分析：（1）利用两角和差的余弦公式和诱导公式进行求解；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理进行求解．

试题解析：（1）∵3(cosBcosC ＋sinBsinC)－1＝6cosBcosC ，

∴3cosBcosC －3sinBsinC ＝－1，

∴3cos(B ＋C)＝－1，

∴cos(π－A)＝－13，∴cosA ＝13

. （2）由(1)得sinA ＝223，由面积公式12

bcsinA ＝22可得bc ＝6 ①， 根据余弦定理得

cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－912＝13

， 则b 2＋c 2＝13 ②， ①，②两式联立可得b ＝2，c ＝3，或b ＝3，c ＝2.

考点：1.三角恒等变换；2.余弦定理；3.三角形的面积公式．

21．(本小题满分12分)已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足11-=b ，)3,2,1()12(1 =-+=+n n b b n n .

（Ⅰ）求数列错误！未找到引用源。和数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。；

（Ⅱ）若错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【答案】（1）???≥==-2,21,21n n a n n ,n n b n 22-=；（2）n n n T 2)3(2?-+=．

考点：1.数列的通项；2.错位相减法．

【易错点睛】本题考查利用???≥-==-2,1,1n S S n S a n n

n n 求数列的通项、等比数列的判定以及等比数列的求和公式，属于中档题；由???≥-==-2,1,1n S S n S a n n n n 求数列的通项时，且不要忽视验证“当

1=n 时”

的值是否符合“当2≥n 时”的通项，以免出现错误（如：本题中，易出现“12-=n n a ”的错误结果，而正确结果为???≥==-2,21

,21n n a n n ）.

22．(本小题满分12分) 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米. （Ⅰ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？

（Ⅱ）当DN 的长为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．

【答案】（1）(0，23

)∪(6，＋∞)；（2）当DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．

【解析】

考点：1.函数的应用；2.基本不等式．