罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用

第3章 中值定理与导数的应用

∴

f (x) 0有3个实根，分别为ξ1 (1,2)、ξ2 (2,3)、ξ3 (3,4)。

★★★11.证明下列不等式：

（1）

arctana arctanb a b ； （2） 当 x

1时，ex ex ；

。

（3） 设 x

11

0，证明ln(1 x) x； （4） 当x 0时，ln(1 )

x1 x

知识点：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数y f(x)，通过式子f (ξ)

（或

f(b) f(a)b a

f(b) f(a) f (ξ)(b a)）证明的不等式。

证明：（1）令f(x) arctanx， ∵f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得

arctana arctanb f (ξ)(b a)

1

b a b a2

1 ξ

。

（2）令

f(x) ex(x 1)，∵f(x)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，

x

∴由拉格朗日中值定理，得e∵1

e eξ(x 1)，

ξ x，∴ex e eξ(x 1) e(x 1) ex e，从而当 x 1时，ex ex。

（3）令

f(x) ln(1 x)(x 0)，∵f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得ln(1 x) ln(1 x) ln(1 0) f (ξ)(x 0)

1

x， 1 ξ

∵0 ξ x，∴

1

x x，即x 0， ln(1 x) x。 1 ξ

（4）令

f(x) lnx(x 0)，∵f(x)在[x,1 x]上连续，在(x,1 x)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，得ln(1

11

) ln(1 x) lnx f (ξ)(1 0) xξ

。

，

∵x ξ 1 x，∴

1111

，即当x 0时，ln(1 )

x1 xξ1 x

★★12.证明等式：2arctanx arcsin

2x

π(x 1).

1 x2

知识点：f (x) 0 f(x) C（C为常数）。

思路：证明一个函数表达式f(x)恒等于一个常数，只要证f (x) 0

2x

(x 1)，

1 x2

当x 1时，有2arctan1 arcsin1 π；当x 1时，有

证明：令f(x) 2arctanx arcsin

2

f (x) 2

1 x

2(1 x2) 2x 2x212 2x2

22222

(1 x)1 x x(1 x)；

22

( ) 0，∴f(x) C f(1) 1 x21 x2

2x

π(x 1)成立。 ∴2arctanx arcsin2

1 x

★★★13.证明：若函数

f(x)在(- , )内满足关系式f (x) f(x)，且f(0) 1，则f(x) ex。

知识点：f (x) 0 f(x) C

思路：因为 f(x) ex e xf(x) 1，所以当设F(x) e xf(x)时，只要证F (x) 0即可 证明：构造辅助函数F(x) e xf(x)，

则F (x) e∴F(x) e∴

x x

f (x) e xf(x) 0；

f(x) C F(0) 1

f(x) ex。

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内有二阶导数，且有

f(a) f(b) 0,f(c) 0(a c b) ，

★★★14.设函数

试证在(a,b)内至少存在一点ξ，使f (ξ) 0。

知识点：拉格朗日中值定理的应用。 思路：关于导函数f

(n)

(ξ)在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析

各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。

证明：∵ f(x)在[a,c]、[c,b]上连续，在(a,c)、(c,b)内可导，

∴由拉格朗日中值定理，至少有一点ξ1 (a,c)、ξ2使得又

(c,b)，

f (ξ2)

f(c) f(b)f(a) f(c)

0，f (ξ1) 0；

c ba c

f (x)在[ξ1,ξ2]上连续，在(ξ1,ξ2)内可导，从而至少有一点ξ (ξ1,ξ2)，

使得

f (ξ)

f (ξ2) f (ξ1)

0。

ξ2 ξ1

★★★15.设

f(x)在[a,b]上可微，且f (a) 0,f (b) 0,f(a)

f(b )

/

试证明f(x)在A,

(a,b)内至少有两个零点。

知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路：要证明在某个区间(a,b)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在[a,b]上有三个零点，即可

以利用罗尔中值定理，得出结论。

证明：∵f (a) lim

f(x) f(a)

0，由极限的保号性知，

x ax a

b-af(x) f(a)

0， ），对于 x (a,δ1)，均有 (a,δ1)（不妨设δ1

2x a

特别地， x1 (a,δ1)，使得

f(x1) f(a)

0，∴得f(x1) f(a) A；

x1 a

b-a2

），使得

同理，由

f (b) 0,得 x2 (b,δ2)（δ2

f(x2) f(b)

0，

x2 b

从而得又∵∵

f(x2) f(b) A；

f(x)在[x1,x2]上连续，∴由介值定理知，至少有一点ξ (x1,x2)使得f(ξ) A；

f(x)在[a,ξ]、[ξ,b]上连续，在(a,ξ)、(ξ,b)内可导，且f(a) f(ξ) f(b) A，

∴由罗尔中值定理知，至少有一点ξ1 (a,ξ)、ξ2

★★★16.设

(ξ,b)，使得f (ξ1) f (ξ2) 0，结论成立。

f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 0，试证明存在唯一的c,a c b，使得

f (c)

f(b) f(a)

。

b a

知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。

思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的

单调性得出结论。

证明：存在性。

∵

f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点c (a,b)，使得

f(b) f(a)

。

b a

f(b) f(a)

，

b a

f (c)

唯一性的证明如下：

方法一：利用反证法。假设另外存在一点d (a,b)，使得f (d)

又∵

f (x)在[c,d]（或[d,c]）上连续，在(c,d)（或(d,c)）内可导，

(c,d) (a,b)（或ξ (d,c) (a,b)），使得f (ξ) 0，

∴由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ这与

f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 0矛盾。从而结论成立。

方法二：∵f(x)在闭区间[a,b]上满足f (x) 0，∴f (x)在[a,b]单调递增，

从而存在存在唯一的c (a,b)，使得

★★★17.设函数

f (c)

f(b) f(a)

。结论成立。

b a

y f(x)在x 0的某个邻域内具有n阶导数，且

f(0) f (0) f(n 1)(0) 0,试用柯西中值定理证明：

f(x)f(n)(θx)

(0 θ 1)。

n!xn

知识点：柯西中值定理。

思路：对f(x)、g(x) xn在[0,x]上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。 证明：∵f(x)、g(x) xn及其各阶导数在[0,x]上连续，在(0,x)上可导，

且在(0,x)每一点处，g

(n 1)

(x) n!x 0，又f(0) f (0) f(n 1)(0) 0,，

∴连续使用n次柯西中值定理得，

f(n 1)(ξn 1) f(n 1)(0)f(x)f(x) f(0)f ( 1)f (ξ1) f (0)

n

xnx g(0)n 1n 1nξ1n 1 g (0)n!ξn 1 g(n 1)(0)

f(n)(θx) (0 θ 1)，从而结论成立。

n!

习题3-2

★★1.用洛必达法则求下列极限：

1ln(1 )

lnsinxsinx sinae e；

（1） lim； （2） lim； （3）lim； （4）lim2πx ax 0x arccotxx-asinxx (π-2x)2

x

x

lntan7xtanx xx3 1 lnx

lim（5）lim； （6）lim； （7）

x 0lntan2xx 0x-sinxx 1ex e

1

； （8）limxcot

x 0

2x；

（9） limx

x 0

2

ex

2

； （10）limx(e

x

1

x

11x1lim( x)；lim( )； 1)； （11） （12）x 0xx 1x-1lnxe 1

ax1tanxex ln(1 x) 1sinx

x； （15）lim ()； （16）lim（13）lim(1 )； （14）lim；

x x 0x 0 x 0xxx-arctanx1x1n22x

(ln)；lim(1 sinx)；（17） （18）lim （19）lim(x x)； （20）lim (ntan)。

x 0x x 0 n xn

知识点：洛必达法则。

思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：

1

x

1

00

型与

型未定

式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于 型与0 型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于0型、1型与 型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。

ex e xex e x

lim 2； 解： （1） lim

x 0x 0sinxcosx

（2） lim

sinx sinacosx

lim cosa；

x ax ax a1

cosx

lnsinxsinx limcosx lim sinx 1；

（3）lim lim2ππππ88x (π 2x)x 4(2x π)x 4(2x π)x

2

2

2

2

11 ln(1 )

1 x2x(x 1) lim lim 1； （4）lim

x arccotxx x x(x 1)1

1 x2

7sec27x

lntan7x7cos22x tan2xtan7x lim lim 1； （5）lim

x 0lntan2xx 02sec22xx 0tan7x 2cos27x

tan2x

x3 1 lnx

（6）lim lim

x 1x 1ex e

3x2

1

4；

eex

tanx xsec2x 12tanxsec2x2

lim lim lim 2； （7） lim

x 0x sinxx 01 cosxx 0x 0cos3xsinx

（8）limxcot

x 0

2x lim

x11

lim ；

x 0tan2xx 02sec22x2

1

1

1

（9） limx

x 0

2

ex

2

2x2

1 e3ex2

lim lim limex ； x 01x 0x 02

3

x2x

1u

1x（或解为：limx

x 0

2x2

e

eueu

lim lim ） u uu 1

1

x

1

1 2ex11

(e 1) lim limex 1； （10）limx(ex 1) lim

x x x x 11

2

xx

1

1e1/x 11/xx

lim 1） （或解为：∵当x 时，e 1~，∴limx(e 1) lim

x x 1/xx 1/xx

1

x

11ex 1 x(e 1)~xex 1 xex 11

（11）lim( x) lim lim lim ； x2x 0xx 0x 0x 0e 1x(e 1)x2x2

x

（12）lim(

x 1

x1xlnx x 1

) lim lim

x 1x 1x 1lnx(x 1)lnx

lnx1 lnx1

lim ； x 1x 1lnx 22lnx

x

xlnx x 1u x 1(u 1)ln(u 1) uln(u 1)~u(u 1)ln(u 1) u

lim lim（或解为：lim 2x 1(x 1)lnxu 0u 0uln(u 1)u

lim

ln(u 1)1

）

u 02u2

alimxln(1 )x x

（13）lim(1

x

ax

) ex

x 0

e

lim

aln(1 )

xlim

x

x

e

alimxx x

ea；

lim

tanxsinx x

（14）

x 0

limxsinx e

limsinxlnx

lnx

e

x 0 cscx

e

x 0 xcotxcscx

lim

1

e

x 0

e0 1；

1tanx

lime（15）lim()

x 0 xx 0

lnx

lim x 0cotx

lime

x 0

1

lim2 x 0 cscx

lime

x 0

sin2x

xx 0 lim

e0 1；

1

ex ln(1 x) 1(1 x2)(xex ex 1)x 1（16）lim lim limx 0x 0x 0x arctanx(x 1)x2

1

1 x2

ex

(xex ex 1)xex1 lim lim ；

x 0x 02xx22

（17）lim(1 sinx)

x 0

1

x

lime

x 0

ln(1 sinx)x 0xlim

lime

x 0

cosx

x 01 sinxlim

e；

1x

（18）lim(ln) e

x 0 x

ln[ lnx]

lim x 0

x

e

11 ( )lim x 0 2

x

e

lim

x

x 0 lnx

e

lim

1

x 0 1/x

1；

11 x2

1

x x2

（19）

x

lim(x x2) e

12

f(x) (xtan)x

x

2t2tant

lim

2t3

1x

ln(x 1 x2)x xlim

e

x

lim

x x2

e

x

lim

1；

lntant lnt

t（20）令

lim1x2tanttt 0

) e，则lim(xtan) lim( x t 0xt

t

1

x

1

e

t 0

lim

tsec2t tanttsec2t tant

e

t 0

e

13

t 0

lim

t sintcost2t3cos2t

e

1

t sin2tlim3

2tt 0

e

t 0

lim

1 cos2t(1 cosx)~6t

x2

2

e

t 0 6t

lim

2t2

e

1

1n2

∴lim (ntan) e3 n n

★★2.验证极限lim

x

x sinx

存在，但不能用洛必达法则求出。 x

知识点：洛必达法则。

思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决

所有的未定型极限问题。

x sinxsinxx sinx

lim(1 ) 1 0 1，∴极限lim存在；

x x x xxx

x sinx1 cosx

lim 1 limcosx， 若使用洛必达法则，得lim

x x x x1

解：∵ lim

而limcos

x

x不存在，所以不能用洛必达法则求出。

★★★3.若

f(x)有二阶导数，证明f (x) lim

h 0

f(x h) 2f(x) f(x h)

。 2

h

知识点：导数定义和洛必达法则。

思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论。

f(x h) 2f(x) f(x h)f (x h) f (x h)

lim证明：∵

h 0h 0h22hf (x h) f (x) f (x) f (x h) limh 02h1f (x h) f (x)1f (x h) f (x) lim lim f//(x)，∴结论成立。 2h 0h2h 0 h

(1 x)x 0 [],

★★★4.讨论函数f(x) 在点x 0处的连续性。 e

x 0

e,

lim

知识点：函数在一点连续的概念。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。

(1 x)解：∵limf(x) lim[ e

x 0 x 0 e e

1 1lim2x 0 1 x

1

1(1 x)xlimln

ex 0 x

ex 0

lim

ln(1 x) x

x2

e

1

1lim

x 0 2x

e

12

f(0)，∴f(x)在x 0处右连续；

12

又∵

x 0

limf(x) e f(0)，∴f(x)在x 0处左连续；

从而可知，

(1 x)x 0 [],

在点x 0处连续。 f(x) e

x 0

e,

★★★5.设

g(x)在x 0处二阶可导，且g(0) 0。试确定a的值使f(x)在x 0处可导，并求

f (0)，其中

g(x)

,x 0

f(x) x 。

x 0 a ,

知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。

思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。 解：要使f(x)在x 0处可导，则必有f(x)在x 0处连续，

又∵g(x)在x

0处g(0) 0，∴a limf(x) lim

x 0

x 0

g(x)g(x) g(0)

lim g/(0)； x 0xx 0

g(x)

g (0)

f(x) f(0)g(x) g (0)x

由导数定义，f (0) lim lim lim2x 0x 0x 0x 0x 0x

g (x) g (0)1 lim g (0)。 x 02x2

内容概要名称 3.3 泰 勒公式 主要内容(3.3)

泰勒中值定理：如果

f (x) 在含有 x0 的某个开区间 (a,b) 内具有 n 1 阶的导数，则对任一

x (a,b) ,有 f ( x) f ( x0 ) f / ( x0 )(x x0 )

f // ( x0 ) ( x x0

) 2 2!

f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) ,此公式称为 n 阶泰勒公式； n!

其中

f ( n 1) ( ) Rn ( x) ( x x0 ) n 1 ( (n 1)!

介于

,称为拉格朗日型余项；或 x0 于 x 之间)

Rn ( x) o[(x x0 ) n ] ,称为皮亚诺型余项。

n 阶麦克劳林公式：f ( x) f (0) f / (0) x f // (0) 2 f ( n ) (0) n x x Rn ( x) 2! n!

其中 Rn ( x)

f ( n 1) ( x) n 1 x ( 0 1 )或 Rn ( x) o( x n ) 。 (n 1)!x

常用的初等函数的麦克劳林公式：1) e

1 x

x2 xn o( x n ) 2! n!

习题3-3

★1.按(x

1)的幂展开多项式f(x) x4 3x2 4。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法。求f(x)按(x

x0)的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求f(x)直到n 1阶的导

数在x

x0处的值，然后带代入公式即可。

32

解：f (x) 4x 6x，f (1) 10；f (x) 12x 6，f (1) 18；

f (x) 24x，f (1) 24；f(4)(x) 24；f(4)(1) 24；f(5)(x) 0；

将以上结果代入泰勒公式，得

f (1)f (1)f (1)f(4)(1)23

f(x) f(1) (x 1) (x 1) (x 1) (x 1)4

1!2!3!4!

8 10(x 1) 9(x 1)2 4(x 1)3 (x 1)4。

★★2.求函数

f(x) x按(x 4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：同1。 解：f (x)

，

111 3

f (4) ；f (x) x2，f (4) ；

4324

7

33 515 2(4)

f (x) x2，f (4) (x) x；将以上结果代入泰勒公式，得 ；f

256816

f (4)f (4)f (4)f(4)(ξ)23

f(x) f(4) (x 4) (x 4) (x 4) (x 4)4

1!2!3!4!

111

2 (x 4) (x 4)2 (x 4)3

464512

1 x x2f(x)

1 x x2

5128ξ

72

（ξ(x 4)4，介于x与4之间）。

★★★3.把

在x

0点展开到含x4项，并求f(3)(0)。

知识点：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

1

1 x x2 xn o(xn)。 1 x

解：

1 x x21 x x2 2x2x1f(x) 1 1 2x(1 x)

1 x x21 x x21 x x21 x3

1 2x(1 x)(1 x3 o(x3)) 1 2x 2x2 2x4 o(x4)；

又由泰勒公式知x前的系数

★★4.求函数

3

f (0)

0，从而f (0) 0。 3!

f(x) lnx按(x 2)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为对数函数时，通常利用已知的结论

n 1

x2x3nx ( 1) o(xn 1)。 ln(1 x) x 23n 1

方法一：（直接展开）f (x)

f (x)

2x3

，

1111，f (2) ；f (x) 2，f (2) ； x2x41(n 1)!(n)n 1(n 1)!f (2) ； ,f(n)(x) ( 1)n 1f(2) ( 1)，； nn4x2

将以上结果代入泰勒公式，得

f (2)f (2)f (2)f(4)(2)23

lnx f(2) (x 2) (x 2) (x 2) (x 2)4

1!2!3!4!111f(n)(2)

(x 2)3 (x 2)n o((x 2)n) ln2 (x 2) 3(x 2)2 3

223 2n!

( 1)n 1

1

(x 2)n o((x 2)n)。 n

n 2

x 2x 21x 22

) ln2 () 2222

1x 2nx 2n11() o(()) ln2 (x 2) 3(x 2)2 n2222

方法二：f(x) lnx ln(2 x 2) ln2 ln(1

1x 23

() ( 1)n 132

113n 1

(x 2) ( 1)(x 2)n o((x 2)n)。 3n

3 2n 2

1

★★5.求函数f(x) 按(x 1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。

x

知识点：泰勒公式。

思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，f(x)为有理分式时通常利用已知的结论

11n 1

。 1 x x2 xn xn 2

1 x(1 )

方法一：f (x)

1

x2

，

f ( 1) 1；f (x)

2x3

，

f ( 1) 2；f (x)

6x4

，

f ( 1) 6 ,f(n)(x) ( 1)n

将以上结果代入泰勒公式，得

n!n!(n)n

，f( 1) ( 1) n!； n 1n 1

x( 1)

1f ( 1)f ( 1)f ( 1)

f( 1) (x 1) (x 1)2 (x 1)3 x1!2!3!

f(n)( 1)f(n 1)(ξ)n (x 1) (x 1)n 1

n!(n 1)!

( 1)n 1

1 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) n 2(x 1)n 1（ξ

ξ

2

3

n

介于x与 1之间）。

方法二：

11

[1 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)n x1 (x 1)

( 1)n 1( 1)n 123nn 1

n 2(x 1)] 1 (x 1) (x 1) (x 1) (x 1) n 2(x 1)n 1

ξξ

（ξ介于x与 1之间）。

★★6.求函数

y xex的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。

知识点：麦克劳林公式。

思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。f(x)中含有e时，通常利用已知结论

x

x2xne 1 x o(xn)。

2!n!

x

方法一：y (x 1)e，y (0) 1；y (x 2)e，y (0) 2； ,y

xx(n)

(x n)ex，

y(n)(0) n，将以上结果代入麦克劳林公式，得

f (0)f (0)2f (0)3f(n)(0)n

xe f(0) x x x x o(xn)

1!2!3!n!

x

x3xn

x x o(xn)。

2!(n 1)!

2

x2xn 1x3n 12

方法二：xe x(1 x o(x)) x x

2!(n 1)!2!

x

xn

o(xn)。

(n 1)!

1

★★7.验证当0 x

2

x2x3

时，按公式e 1 x 26

x

计算e的近似值时，所产生的误差小于

x

0.01，并求的近似值，使误差小于0.01。

知识点：泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。

解：

111eξ4e4211

0.646。 ；e 1 R3(x) x x 0.014

28484!4!4!2192

5，求ln1.2的近似值，并估计其误差。

1

2

★★8.用泰勒公式取n

知识点：泰勒公式的应用。

1 x)，则解：设f(x) ln(

f (0)f (0)2f(5)(0)5

f(x) f(0) x x x

1!2!5!

x2x5

x

52

误差为：

0.220.230.240.25

0.1823；其，从而ln1.2 f(0.2) 0.2 2345

10.266

。 R5(x) x 0.00001076

66(1 ξ)

★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：

12

x x2

32（1） lim(x 3x x x)； （2）lim2

x 0x

(cosx ex)sinx2

1

。

知识点：泰勒展开式的应用。

思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。

31

解：（1）lim(x 3x x x) lim[x(1 2)3 x(1 )2]

x x xx

3

2

11

11( 1)

1311111 lim[x(1 2 o(2))] x(1 ( ) 2 o(2))]

x 3x2x2xxx

1911 lim( o()) 。 x 28xx211

1 x2 x21 x2 (1 x2)2

（2）lim lim22

x 0

(cosx ex)sinx2x 0(cosx ex)x2

1

11( 1)

141212x o(x4)1 x (1 x )x4 o(x4)

18。 lim lim 24x 0x 012x3x

(1 o(x2) (1 x2 o(x2)))x2 o(x4)

22

x2

ln(1 x)。 ★★10.设x 0，证明：x 2

知识点：泰勒公式。

思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展

开的一部分时，可考虑用泰勒公式。

x2x3

解：ln(1 x) x

23(1 ξ)3x3

（ξ介于0与x之间），∵ x 0，∴ 0， 3

3(1 ξ)

，结论成立。

x2x3x2

从而ln(1 x) x x 3

23(1 ξ)2

（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）

★★11.证明函数

f(x)是n次多项式的充要条件是f(n 1)(x) 0。

知识点：麦克劳林公式。

思路：将f(x)按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。 解：必要性。易知，若f(x)是n次多项式，则有f

(n 1)

(n 1)

(x) 0。

f (0)x2

f(x) f(0) f (0)x

2!

充分性。∵

f(x) 0，∴f(x)的n阶麦克劳林公式为：

f (0)x2f (0)x3f(n)(0)xnf(n 1)(ξ)xn 1

f(0) f (0)x

2!3!n!(n 1)!

f (0)x3f(n)(0)xn

，即f(x)是n次多项式，结论成立。

n!3!

★★★12.若

f(x)在[a,b]上有n阶导数，且f(a) f(b) f (b) f (b) f(n 1)(b) 0

证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使

f(n)(ξ) 0(a ξ b)。

知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。 思路：证明f

(n)

(ξ) 0(a ξ b)，可连续使用拉格朗日中值定理，验证f(n 1)(x)在[a,b]上满足

f(x)在x b处的泰勒展开式及已知条件得结论。

罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据

方法一：∵ f(x)在[a,b]上可导，且f(a) f(b)，

∴由罗尔中值定理知，在(a,b)内至少存在一点ξ1，使得∵

f (ξ1) 0；

f (x)在[ξ1,b] [a,b]上可导，且f (b) 0，

∴由罗尔中值定理知，在(ξ1,b)依次类推可知，

(a,b)内至少存在一点ξ2，使得f (ξ2) 0；

f(n 1)(x)在[ξn 1,b] [a,b]上可导，且f(n 1)(ξn 1) f(n 1)(b) 0，

f(n)(ξ) 0。

∴由罗尔中值定理知，在(ξn 1,b) (a,b)内至少存在一点ξ，使得

方法二：根据已知条件，f(x)在x b处的泰勒展开式为：

f (b)f(n 1)(b)f(n)(ξ)2n 1

f(x) f(b) f (b)(x b) (x b) (x b) (x b)n

2!(n 1)!n!

f(n)(ξ)

(x b)n(x ξ b)，

n!

∴

f(n)(ξ)

(a b)n 0，从而得f(n)(ξ) 0，结论成立。

f(a)

n!

习题3-4

★1.证明函数

y x ln(1 x2)单调增加。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I上，f (x) 0（f (x) 0），

则

f(x)在I

单调增加（减少）。

2x(1 x)2

0（仅在x 1处y 0）证明：∵y 1 ， 22

1 x1 x

∴

y x ln(1 x2)在( , )内是单调增加的。

f(x) x sinx(0 x 2π)的单调性。

★2.判定函数

解：∵f (x) 1 cosx 0（仅在x π处f (x) 0），

∴

f(x) x sinx(0 x 2π)是单调增加的。

1382

x x2 3x 1； （2）y 2x (x 0)； （3）y x x23x3

★★3.求下列函数的单调区间：

（1）

y

；

（4）

y ln(x x2)； （5）y (1 x)x； （6）y 2x2 lnx。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域

划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。

解：（1） y

得x1

13

x x2 3x 1的定义域为( , )；令y x2 2x 3 0， 3

1，x2 3。列表讨论如下：

由上表可知，y

3

x x2 3x 1在( , 1)、(3, )内严格单增，而在( 1,3

)内严格单减。 3

8

（2） 在(0, )内，令y 2 2 0，得x 2；

x

当 x (0,2)时，有∴

y 0；当 x (2, )时，有y 0；

y 2x

8

(x 0)在(0,2)内严格单增，在(2, )内严格单减。 x

22（3）y x x

3

得x

22 13

的定义域为( , )；令y x 0，

33 1；x

0为不可导点。列表讨论如下：

由上表可知，

y

x x23

1)内严格单减。 在( ,0)、(1,

)内严格单增，而在(0,

（4）

y ln(x x2)的定义域为( , )，

y

0，

∴

y ln(x x2)在( , )内严格单增。

y (1 x)x的定义域为[0, )，∵y (x x) 13

2

（5）

0， ∴

y (1 x)x在[0, )上严格单增。

2

114x2 1

0，得x （6）y 2x lnx的定义域为(0, )，令y 4x

2xx

当x (0,

；

11

)时，y 0；当x (, )时，y 0； 22

∴

11

y 2x2 lnx在(0,)内严格单增，在(, )内严格单减。

22

0时，1

★★4.证明下列不等式：

1

x x； （2）当x 4时，2x x2； 2

π1

1 x) arctanx； （4）0 x 时，tanx x x3。 （3）当x 0时，(1 x)ln(

23

（1） 当x

知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。

思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的

方法。

解：（1）方法一：令f(x) 1

则当x

1

x x， 2

0时，f (x)

111 (1 ) 0， 22 x

∴

f(x) 1

1

x x在[0, )上严格单增；从而f(x) f(0) 0， 2

即1

1

x x，结论成立。 2

方法二：由泰勒公式，得

111

f(x) 1 x x 1 x (1 x

222

∴

x28(1 ξ)

3

2

)

x28(1 ξ)

32

（0 ξ x），

f(x)

x28(1 ξ)

3

2

0，从而得1

1

x x，结论成立。 2

（2）方法一：令

f(x) 2x x2，则当x 4时，f (x) 2xln2 2x，

f (x) 2xln22 2 f (4) 16ln22 2 (ln42)2 2 (lne2)2 2 0，

∴

f (x) 2xln2 2x在(4, )内严格单增，

f (x) 2xln2 2x f (4) 16ln2 4 4(ln16 1) 0，

从而∴

f(x) 2x x2在(4, )内严格单增，在(4, )内f(x) 2x x2 f(4) 8 0，

x

∴2

x2，结论成立。

注：利用f (x)的符号判断f (x)的单调性，利用f (x)的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出

f(x)在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。

方法二：令f(x) xln2 2lnx，

当x∴

4时，f/(x) ln2

2111

ln2 ln4 0， x222

f(x) xln2 2lnx在(4, )内严格单增，

f(x) xln2 2lnx f(4) 4ln2 2ln4 0，从而有，xln2 2lnx，

xln2

∴∴e

e2lnx，即2x x2，结论成立。 f(x) (1 x)ln(1 x) arctanx，

1

0（仅在x 0时，f (x) 0）， 2

1 x

（3）令则当x∴

0时有f (x) ln(1 x) 1

f(x)在[0, )上严格单增，从而有f(x) f(0) 0，

x)ln(1 x) arctanx，结论成立。

tanx x，则当0 x

即(1

π22

时，有g (x) secx 1 tanx 0 2

ππ

从而g(x) tanx x在(0,)内严格单增，∴g(x) g(0) 0，即在(0,)内tanx x；

2213

再令f(x) tanx x x，

3

π2222

则当0 x 时，f (x) secx 1 x tanx x 0，

2

13π

从而f(x) tanx x x在(0,)内严格单增，∴f(x) f(0) 0，

32

π13

即在(0,)内tanx x x，结论成立。

23

★★★5.试证方程sinx x只有一个实根。

（4）令g(x)

知识点：导数的应用。

思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。 解：易知，sin0 0，即x 0是方程的一个根；

令∴

f(x) x sinx，则f (x) 1 cosx 0（仅在x 2kπ(k Z)处f (x) 0）， f(x) x sinx在( , )内严格单增，从而f(x)只有一个零点，

x x只有一个实根。

即方程sin

★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：

f(x) x sinx。

知识点：导数的应用。

思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。 解：单调函数的导函数不一定为单调函数。

∵

f (x) 1 cosx 0（仅在x (2k 1)π(k Z)处f (x) 0），

∴而

f(x) x sinx在( , )内严格单增；

f (x) 1 cosx在(2kπ,(2k 1)π)内严格单减，在((2k 1)π,2kπ)内严格单增，从而在

( , )上不单调。

★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：

（1）

y x

1x(x 0)； （2）y x 2 ； （3） y xarctanx； xx 1

（4）

y (x 1)4 ex； （5） y ln(x2 1)； （6）y earctanx 。

知识点：导数的应用。

思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将

定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。

解：（1）y 1

∴

12

y ，，∵当x 0时，y 0， 22

xx

1

在[0, )上为凹函数，没有拐点。 x

x

1) (1, )； （2）y x 2的定义域为( , 1) ( 1,

x 1y x

1 x22x(x2 3)

，y ，令y 0，得x 0； y 1 2

223

(x 1)(x 1)

当x

1或0 x 1时，y 0；当 1 x 0或x 1时，y 0；

∴

y x

x

的凹区间为( 1,0)、(1, )，凸区间为( , 1)、(0,1)；∴拐点为(0,0)。

x2 1

x2

y 0， ，22

1 x2(1 x)

（3） ∴

y xarctanx的定义域为( , )，y arctanx

y xarctanx在整个定义域上为凹函数，没有拐点。

（4）

y (x 1)4 ex的定义域为( , )，y 4(x 1)3 ex，

y 12(x 1)2 ex 0，∴y (x 1)4 ex在整个定义域上为凹函数，没有拐点。

2x2(1 x2)

（5） y ln(x 1)的定义域为( , )，y ，y ， 222

1 x(1 x)

2

令y 0，得x1,2 1；列表讨论如下：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e521.html