概率论·课后答案（绝对详解）

i

习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：

(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？

解；将这五双靴子分别编号分组

A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则

“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能C表示：选法有C5.

不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能

i4?i选法为C5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54P(C)?1?P(C)?1? 4C1045?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110?40?60?40?1016?24813?1??1??1??720?772?721212417在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率。 答案：

51 55?

1

8在长度为

a的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可

a2 a2 ax

以构成三角形的概率。

0?x?a,0?y?a,且0?x?y?a，又

a?x?y??2?x?y?a?x?y?a???x?y?a?x?y,??x?2???y?x?a?x?y,?y?a?2?P?1 49在区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的积小于

1的概率。 41 14 xy?1 4x

1

1P(xy?)?4

?11(1?41)dx4x1?(x?111111lnx)1?1??ln4;P(xy?)??ln4 1444444410设A,B,为二事件，设P(A)?0.9,P(AB)?0.36,求P(AB).

解：0.9?P(A)?PA(B?B)?P(AB)?P(AB)?0.36?P(AB).故

P(AB)?0.54.

11设A,B,为二事件，设P(B)?0.7,P(AB)?0.3,求P(A?B). 解： P(B)?0.7,P(AB)?0.3,?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4.

P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?0.4?0.6.

2

12 设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7 （1）若AB互不相容,求P(B).

若AB互不相容,则P(A?B)?P(A)?P(B).P(B)?P(A?B)?P(A)?0.3 （2）若AB相互独立,求P(B). 若

与相互独立，ABP(B)?P(A?B)?P(A)?P(A)?P(B)?0,7?0.4?0.4P(B),P(B)?0.5

则

13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，

0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。 解 0.94

14某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。 解：A:订日报,B:订晚报.

0.85?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.65?P(AB)， P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?1.15?0.85?0.3.

15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。 解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于 第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：

p?10909???0.0909 100999916 设随机事件A,B,C两两独立,P(AB)?0,已知P(B)?2P(C)?0,且

5P(B?C)?,求P(A?B).

8解

：

P(B)?2P(C)531?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?P(B)?P2(B)822

P(B)?2P(C)531?P(B?C)?P(B)?P(C)?P(B)P(C)?P(B)?P2(B)82212?6414P2(B)?12P(B)?5?0,?P(B)??P(B)?1220?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)?0.5,P(A)?0,1P(A?B)?P(A)?P(B)?0?,2

3

17 设A是小概率事件，即P(A)??是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A总会发生（以概率1发生）。 当试验不断地重复进行下去，事件A发生的概率为：

1?limPn(A)?1?lim[1?P(A)]n?1?lim(1??)n?1?0?1

n??n??n??18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,,密被译出的概率。

111,求此秘

534解：以A,B,C分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D：表示密码被译出，则

P(D)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?4233?5345

20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。 解：P?1?0.9?0.8?0.7?1?0.504?0.496. 21

设

A,B,为二事件，设

P(A)?0.7,P(B)?0.6,P(BA)?0.4,求P(A?B).

解：P(AB)?P(A)P(B/A)?0.4?0.6?0.12,

P(AB)?P(B)?P(AB)?0.6?0.12?0.48,

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.7?0.48?0.82..

22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4，问现在20岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？ 解：

X:表,动P{X?25/X?20}?P{X?20，X?25}0.4??0.5

P{X?20}0.823某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发

生特大洪水的概率为85％，求已过去了30年发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。 X:发生特大洪水的时刻。

4

P{30?X?40}?X?30P{X?30,30?X?40}0.05??0.25

P{X?30}0.224 设甲袋中有2只白球，4只红球，乙袋中有3只白球，2只红球，今从

甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。 （1）问取道白球的概率是多少？

（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？

解：解：A: “首先从甲袋中取到白球” B:收到信号“然后从乙袋中取到白球.”; 由题设:P(A)?1221,P(BA)?,P(A)?,P(B/A)?于是: 333212215???? 3332912?P(A)P(B/A)332??; 由贝叶斯公式有:P(A/B)?5P(B)59P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A)?25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。

解：A,B分别表示第一次、第二次取得的是次品，则

P(B)?P(A)P(B/A)?P(A)P(B/A) 211022221???????.1211121112112626一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h以上的概率。

解：A1,A2,A3分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。B:抽出的

一个能工作500h以上

3P(B)??P(Ai)P(B/Ai)?i?19590480170???0.894

10010010010010010027 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85，

（1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。

（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。

（1）A1,A2,A3分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。B:抽出的一个是次品 P(B)?3?P(Ai)P(B/Ai)?100100?100100?100100?0.035 i?1255354402（1） 由贝叶斯公式

5

255P(A1)P(B/A1)100100??0.362 有:P(A1/B)?P(B)0.04528用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，

结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。

解：A1:“患癌症.” A2:“未患癌症”; B:“检查结果为阳性”; B:“结果是阴性” 由

设:P(A1)?0.0005,于是:

题

P(BA1)?0.95,P(A2)?0.9995,P(B/A2)?0.1P(B)?P(A1)P(B/A1)?P(A2)P(B/A2)?0.0005?0.95?0.9995?0.1?0.100425由贝叶斯公式有:P(A1/B)?P(A1)P(B/A1)0.000475??0.47299;

P(B)0.100425 29二 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一

人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。

解：用Ai,表示第i人击中，则用Bi,表示恰有i人击中， i?0,1,2,3，i?0,1,2,3；

P(B0)?0.6?0.4?0.3?0.082,P(B1)?0.4?0.6?0.7?0.184;P(B2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) ?0.6?0.6?0.7?0.4?0.4?0.7?0.4?0.6?0.3?0.252?0.112?0.082?0.446P(B3)?0.6?0.4?0.7?0.184B:表示敌机被击落，则

P(B)??0.0368?0.2676?0.184?0.48840,184P(B3/B)??0.340.4884i?0?3P(Bi)P(B/Bi)?0.184?0.2?0.446?0.6?0.184?1

30 某厂产品有70％，不需调试即可出厂，另30％，需经调试，调试后有80％，能出厂，求：

（1）该厂产品能出厂的概率。

（2）任取一出厂产品未经调试的概率。

解：A1: “任取一产品，.不需调试即可出厂” A2:“任取一产品，调试后能出厂”; B1:“任取一产品，能出厂.”; B2:“任取一产品，

6

不能出厂” 由题设:P(A1)?0.7,P(B1A1)?1,P(A2)?0.3,P(B1/A2)?0.8于是:

P(B1)?P(A1)P(B1/A1)?P(A2)P(B1/A2)?0.7?1?0.3?0.8?0.94

由贝叶斯公式有:P(A1/B1)?P(A1)P(B1/A1)0.770??;

P(B1)0.949431 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是p,求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。

解：X:表示试验成功2次时的试验次数，

X=5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。

1323P?[C14p(1?p)]p?4p(1?p).

32 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n次才取出k(1?k?n)次红球的概率。

1k?19n?k1k?1k?19n?r1kCn?1()()?Cn() ?1()101010101033灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。

记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}

X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X～b(3,0.8)

01P(X?1)?C30.80?0.23?C30.8?0.22?0.23?3?0.23?4?13?0.23?0.104

34某人有两盒火柴，每盒中各有n根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有r根的概率。

n C2n?r122n?r

注：可看作2n?r重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为

11，取了第二盒中一根火柴的概率也为，22设所求事件为B，则B相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n根

火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了n?r根火柴，”的事件，故1n1n?r1nnP(B)?C2()()?Cn?r2n?r2n?r

222

习题二 38页

1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机

变量。

解：样本空间??{tt?0},用X表示灯泡的寿命（h）X?X(t)?t是

7

随机变量。

2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。 {报童赔钱}={0.15X<100}, X?10010?666?X?666 0.15153 若P{X?x2}?1??,P{X?x1}?1??,其中x1?x2,求

P{x1?X?x2}

解：P{x1?X?x2}?P{X?x2}?P{X?x1}?1????, ?0,X?0?4 设随机变量X的分布函数F(x)??x2,0?x?1，试求（1）

?1,x?1?131P{X?}(2)P{?1?X?},(3)P{X?}

242111(1)P{X?}?F()?224339113(2)P{?1?X?}?F()?F(?1)?;,(3)P{X?}?1?P{X?}?44162245 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中

新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。

解：X表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则X的可能取值为0.1，2。

P{X?0}?30C3C23C5?11??0.1, 5?4102P{X?1}?21C3C23C512C3C23C5?66??0.6, 5?410233??0.3, 5?4102P{X?2}??6某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布律。

P{X?i}?0.1解：

i?10.9;i?1,2,3,4;P{X?5}?1?P{X?4} 即

P{X?1}?0.9,P{X?2}?0.09;P{X?3}?0.009,

P{X?4}?0.0009,P{X?5}?0.0001.7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任

8

取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的分布律。 解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.1211101211109

8从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,?,10的概率与i成正比，即P{X?i}?ki,i?1,2,?,10,求k. 解：由归一性：1?i?1?10P{X?i}??ki?ki?1101?10?11?55k 2k?1. 559 已知随机变量X服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件

P{X?N}?0.01的自然数N.

解：0.99?P{X?N?1}?e?1N?1k?0?k!?e(1?2?6)?N?4.

111110 某公路一天内发生交通事故的次数X服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。

发生交通事故X服从参数为λ的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},

20?2??2,P{X?0}?e?e?2,一周内发生交通事故的次数记为Y

0!则Y服从二项分布B(7,1?e?2)，故一周内没有发生交通事故的概率为

0P{Y?0}?C7(1?e?2)0e?14?e?14

11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。

（每个工作时内发生故障的概率） p?0.001，

X：100作时内发生故障的次数，X～b(100,0.001)

P{X?2}?P{X?0}?P{X?1}?P{X?2}??np?0.1e?0.1012?C1000.999100?C1000.99999?0.001?C1000.99998?0.0012

?0.1?0.10.12?0.1?e?e?0.999840!1!2!12设X～U[2,5],现对X进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。

9

P{X?3}?5?32? 5?232Y表示对X进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y～b(3,)，

348202221323 P{Y?2}?P{Y?2}?P{Y?3}?C3()?C3()???3339272713 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为头已感染的羊群中发病头数的分布律。

k2k150?kP{X?k}?C50()(),(k?0,1,2,?,50)

332,求在50314设随机变量X的概率密度为f(x)???次重复观察中事件1392123 P{Y?2}?C3()?3??44164641???X??2??2x,0?x?1,，Y表示对X的三

?0,出现的次数，则

?ax2e??x,x?0, 15已知X的概率密度为f(x)??试求（1）未知系数

0,x?0.?a,(2)X的分布函数F(x);(3)X落在区间(0,解：（1）1? ??1?)内取值的概率。

????f(x)dx?a???2??xa??2??x xedx??xde00???a2??x??2a????xxe??xed(??x)0?20分部积分

??2a????xxe??x0?ed(x)22?0?? 32a2a?????e??x0?;?a?.332????2a?e??x225?（2）F(x)??1?2(?x?2?x?2),x?0,(3)1?

2e?x?0.?0,16 设随机变量X在[1，6]内服从均匀分布，求方程x?Xx?1?0有实根的概率。 解

：

方

程

2x2?Xx?1?0有实根，等价于：

??X2?4?0?X?2,orX??2,

10

方程x?Xx?1?0有实根的概率为P?24. 5217 已知随机变量X服从正态分布N(a,a),且Y?aX?b服从标准正态分布N（0，1），求a,b. 解：由

37

页例

3

知Y?aX?b服从正态分布

N(a?a?b,a2?a2)?N(a2?b,a4)，又已知 Y?aX?b服从标准正

态分布N（0，1），故a=1,b= -1.

18已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，且X落入区间（1，2）内的概率达到大，求λ X

服

从

参

数

为

λ

的

指

数

分

布

，

则

???e??x,f(x)???0,?1??e??x,x?0,x?0, F(x)??x?0.x?0.?0,g(?)?P{1?X?2)?(1?e?2?)?(1?e??)?e???e?2?

g?(?)??e???2e?2??e??(2e???1)?0,???ln2.求极大值，求导

19设随机变量 X～N(1,4);求P(0?X?1.6),P(X?1). 解：由35页（5）式有：P{0?X?1.6}??(1.6?10?1)??() 221??(0.3)??(?)?0.6179?(1?0.6915)?0.3094

21?1P{X?1}??()??(0)?0.5.

220 设电源电压（单位：V）X

服从N(220,25)，在

2X?20,020?0X?24,0X?24三种情况下电子元件损坏的概率0分别为0.1，0.001，0.2，求： （1）该电子元件损坏的概率α 解

：

由

35

页

（

5

）

式

有

：

P{X?200}??(200?220)??(?0.8)?1?0.7881?0.2119 25240?220200?220P{200?X?240}??()??()?2?(0.8)?1?2?0.7881?1?0..57622525P{X?240}?1?P{X?200}?P{200?X?240}?1?0.2119?0.5762?0.2119

11

??0.2119?0.1?0..5762?0.001?0.2119?0.2?0.063

(2) 该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。

?? X Pk 0.5762?0.001?0.009

0.063-1 1 621随机变量X的分布律为： -2 2 50 1 51 2 53 1 30求Y?X2的分布律。

Y的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有： Y?X2 4 -2 2 51 -1 1 60 0 1 51 1 2 59 3 1 30 X Pk 得Y?X2的分布律为

Y?X2 Pk 0 2 51 7 304 1 59 1 30

22 设随机变量X服从参数为0.7的0—1分布，求X及X的分布律。

解：X参数为0.7的0—1分布。

222?2XP{X2?2X?0}?P{X?0}?0.3,P{X2?2X??1}?P{X?1}?0.7 23

设随机变量

X

的概率密度函数为

fX(x)?1?(1?x)2,求Y?2X内的概率密度函数fY(y).

解：对任意的Y.

yFY(y)?P{Y?y}?P{2X?y}?P{X?}??2fX(x)dx

??2y??y12dx，所以： ???(1?x2) 12

?(y)?fY(y).?FY2?(4?y)2.

224设随机变量X服从U[0,2],求随机变量Y?X在[0，4]内的概率密度函数fY(y). 解：当0?Y?4时：

FY(y)?P{Y?y}?P{y?X0y12?y}??f(x)dx

?yXy???y0dx??02dx，所以：

?1,0?y?4,??(y)??4yfY(y).?FY

?0,其它.?25

设随机变量

X

的概率密度函数为

??xfX(x)??e,x?0,,求Y?eX的概率密度函数fY(y).

?0,x?0,解

：

当

Y?1时：

FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}?0,

当Y?1时：

FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}?P{X?lny}??

所以：

1??0dx??lny?xedx,1?1?2,y?1,?(y)??yfY(y).?FY

?0,y?1.?

补充：设X～N(0,1),(1)求Y?ex的概率密度，（2）求Y?2X2?1的概率密度，

(1)Y?g(x)?ex在（??，??）上恒有g?(x)?ex?0,且g(x)有反函数，x?h(y)?lny,1h?(y)?,??min{e??,e??}?0,??max{e??,e??}???y 13

?(lny)2??12,y?0e故Y的概率密度fY(y)?? y2??y?0,?0,(2)因Y?2X2?1?1则Fy(y)?0,(y?1)，当Y?1时，

y?12x?e22Fy(y)?P{2X2?1?y}?P{?y?1?X?y?1}??1y?12dx?2?01x2?e2dx22?y?122??y?f?1?14Y(y)??2?(y?1)e,y?1,??0,y?1

习题三

1.离散随机变量

X与Y相互独立同分布，

P{X??1}?P{Y??1}?12,P{X?1}?P{Y?1}?12.求P{X?Y}的概率. P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}(已知独立)?12..

即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布, X与Y一般不会以概率1相等.

2设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表：

X 0 1 2 Y 0 0.06 0.15 0.09 1 b 0.35 0.21 (1) 求b,(2)随机变量X,Y是否相互独立？（3）求P{X?1,Y?1} 解：（1）b=0.14;(2)求的X,Y的边缘分布如下表：注意横X竖Y

X 0 1 2 P{Y=j} Y 0 0.06 0.15 0.09 0.3 1 0.14 0.35 0.21 0.7 P{X=i} 0.2 0.5 0.3 1 P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j};i?0,1,2;j?0,1;故X,Y相互独

立；

（3）P{X?1,Y?1}?0.06?0.15?0.14?0.35?0.7.

补充题：设X和Y是相互独立同分布的随机变量，且

14

02?P{X?1}?P{Y?1}?11,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}P{X?Y?2}?P{X?Y?4}?1,4?P{X?2,Y?1}?12,

1, 411（2）由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;

223 设

P(A)?111,P(AB)?,P(BA)?,433令?1,A发生,?1,B发生,求X,Y的联合概率分布。 X??Y??0,A不发生,0,B不发生,??解：由

P(A)?

1131P(AB)11211,P(AB)?,?P(A)?,P(AB)?,P(B)???,P(AB)?43412P(AB)13461P(AB)6212P(BA)???,P(BA)??P(BA)? 3933P(A)4111P?P{X?1,Y?1}?P(A)P(B/A)??. 114312121P?P{X?1,Y?0}?P(A)P(B/A)??. 12436321P21?P{X?0,Y?1}?P(A)P(B/A)??.

49128P22?P{X?0,Y?0}?1?p11?p12?p21?.

124设二维随机变量(X,Y)的概率分布如下表： X Y 1 2 P{X=i} 1 2 P{Y=j} 0 1 21 21 31 61 21 32 31 （1）求X,Y的边缘分布律。 解：见上表。

（2）求Y=1的条件下X的条件分布律及X=2的条件下Y的条件分布律。 略。

5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，

15

每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X, Y如下：

?0,若第一次取出的是正品?0,若第二次取出的是正品X??, Y??;

1，若第一次取出的是次品1，若第二次取出的是次品??试分别就（1）、（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律．并问随机变量X和Y是

否相互独立？

（1）放回时，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?255,P{X?0,Y?1}?, 363651,P{X?1,Y?1}?, 36364510,P{X?0,Y?1}?, 6666（2）不放回抽样，P{X?0,Y?0}?P{X?1,Y?0}?101,P{X?1,Y?1}?, 放回抽样时，两次抽样相互独6666立；不放回抽样，不相互独立．

6.随机变量(X,Y)在矩形域a?x?b,c?y?d上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X及Y是否独立？

解 按题意(X,Y)具有联合概1?,a?x?b,c?y?d,? f(x,y)??(b?a)(c?d)?否则.?0,?1?1?,a?x?b?,c?y?dfX(x)??b?a, fY(y)??c?d,X及Y是独立

??x?by?d?0,x?a?0,y?c率密度

的.

事实上,若(X,Y)服从区域D上的均匀分布，则只有当D为矩形区域：

且X与Y独a?x?b,c?y?d时，X与Y分别服从[a,b],[c,d]上的均匀分布，立，反之亦然.

7 随机

变

量

(X,Y)的分布函数为

1xyF(x,y)=2(B?arctan)(C?arctan).

23?求：（1）(X,Y)的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X与Y是否独立？

解 由分布函数的性质有F(x,??)=0F(??,y)?0, F(??,??)=1

从而对任意的x,y；有

x?(B?arctan)(C?)?0222?1，

?y(B?)(C?arctan)?0, 223?1于是，有B??，C?2?2

16

f(x,y)?6?2(4?x2)(9?y2)fX(x)?2?(4?x2)，fY(y)?3?(9?y2) 独立。

8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X与Y相互独立，且都服从。N(0,1)

22分布，规定点A落在区域D1?{(x,y)x?y?1}得2分，点A落在区域

D2?{(x,y)1?x2?y2?4}得

1分，点A落在区域

D3?{(x,y)x2?y2?1}得0分，以Z记打靶的得分，写出X,Y的联合

概率密度，并求Z的分布律。 解：f(x,y)?x2?y2?2e12?,???x???,???y???,

P{z?2}?极坐标12?x2?y2?1??f(x,y)dxdyr2r21???11e2rdr??e20?1?e2.0

?2??0d??P{z?1}?1?x2?y2?4??f(x,y)dxdy???r2?2?e21?e?12?e?2.

P{z?0}?2x?y2?4??f(x,y)dxdy???r2????e22?e?2.

9 设二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f(x,y)??（1）求常数A,(2)X,Y的边缘概率

其它,?0,密度。（3）P{0?X?1,0?Y?2}

解：（1）由

?????????(3x?4y)A????1?f(x,y)dxdy?Aedxdy?(e?3x0)(e?4y0)????0012????得

A?12

?12e?(3x?4y),x?0,y?0,（2）f(x,y)??

0,其它,??????12e?3xe?4ydy?3e?3x,x?0 fX(x)??0?x?0,?0, 17

?????12e?3xe?4ydx?4e?4y,y?0 fY(y)??0?y?0,?0,（3）P{0?X?1,0?Y?2}?1212?1?3x2edxe?4ydy 00??(e?3x0)(e?4y0)?(e?3?1)(e?8?1).

10 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：

?cxy2,0?x?1,0?y?1,f(x,y)??（1）求c,(2)问X与Y是否相互独立？

其它,?0,解：（画图）cxdxy2dy?1?c?0?01111?)dx?1,c?6 23当0?x?1时，fX(x)?6xy2dy?2x.

0故

?11??6?xy2dx?3y2,0?y?1,?2x,0?x?1,fX(x)??.fY(y)??0.

0,其它,??其它,?0,（2）独立。 11 平面区域D由曲线y?12及直线y=0,x=1,x?e所围成，二维随机变xe2量(X,Y)在D上服从均匀分布，求（X,Y）关于X的边缘密度在x=2处的值。 解：SD??1e2dx?1xdy01e2??dx?lnx1?2 1x?111?xdy?1,1?x?2,fX(x)???02?f(2)?. X2x4?0其它,?12略

13设随机变量X,Y相互独立，均服从同一分布，试证：P{X?Y}?证：P{X?Y}?P{Y?X},

1. 2P{X?Y}?P{Y?X}?P{(X?Y)?(Y?X)}?P{?}?1故

1P{X?Y}?.

214.设随机变量X,Y相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事7件A?{X?a}.B?{Y?a},且P(A?B)?,求常数a

9(a?1)(a?3)7a?13?aa?13?a?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)????1?922224 18

a2?4a?3a2?4a?32?1?,???;9a2?36a?35?0,(3a?5)(3a?7)?0449 57a?ora?3315（1）X和Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?1}?P{Y?1}?11,P{X?2}?P{Y?2}?;求Z?X?Y的概率分布. 22P{X?Y?3}?P{X?1}P{Y?2}1P{X?Y?2}?,4?P{X?2,Y?1}?12,

1P{X?Y?4}?,

4（2）求2X的分布。

11注意：由已知易得P{2X?2}?, P{2X?4}?;

22

16 设(X,Y)的概率分布如下表： Y -2 X-Y X X+Y -1 -1 0 1 23 11 -3 1 -2 0 1212113513 ? ? 1222122220 123 -1 -1 12110 222 12求1)X+Y的概率分布，（2）X-Y的概率分布。 解：略。

17 设X和Y是相互独立的随机变量，X～B(n1,p); Y～B(n2,p);证明Z=X+Y X～B(n1?n2,p); 证明：P{Z?k}?

i?Cn1i?0i?0?P{X?i}P{Y?k?i}

kk?kpqin1?ik?ik?in2?(k?i)Cnpq2ik?ikn1?n2?k?(?CnCn)pq12i?0k

kkn1?n2?k?Cnpq1?n2ik?ik(其中用到组合公式?CmCn?Cm?n)i?018略

19 设随机变量X1～N(1,2);X2～N(0,3),X3～N(2,1),且X1,X2,X3

19

相互独立，求

P{0?2X1?3X2?X3?6},(已知?(1)?0.8413).

解：由62页2X1?3X2?X3～N(2×1+3×0-2,4×2+9×3+1×1)即N(0,36), 故由34页有

P{0?2X1?3X2?X3?6}??(??(1)??(0)?0.34136?00?0)??(),(已知?(1)?0.8413).66

20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

?te?t,t?0，设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率f(t)???0,t?0密度.

Xi表第i周的需求量，各Xi相互独立。设两周的需求量为Z?X1?X2，则 fZ(z)??????f(x1,z?x1)dx1????fX(x1)fX1??2(z?x1)dx1

要fX1(x1)fX2(z?x1)?0,???x1?0, z?x1?而fX1(x1)fX2(z?x1)?x1e?x1(z?x1)e?(z?x1)?x1(z?x1)e?z, 故fZ(z)??0zx1(z?x1)e?z32x1zx1?zzz2?zdx1?(?)e?e,(z?0) 0236?z3e?z?故fZ(z)??3!,z?0

?z?0?0,21 设随机变量(X,Y)的概率密度为：

?1?(x?y)e?(x?y),x?0,y?0,（1）X与Y是否相互独立，（2）f(x,y)??2?其它,?0,求Z=X+Y的概率密度。 解：（1）fX(x)?e?x??1(x?02??1y)e?ydy??e?x?(x?y)de?y

02???1??1??e?x(x?y)e?y0?e?x?e?yd(x?y)(注x:常量)022111???xe?x?e?x(?e?y0)?e?x(x?1), 2221fY(y)?e?y(y?1),f(x,y)?fX(x)fY(x),不独立.2（2）

20

当z?0时,fZ(z)??f(x,z?x)dx????0??z1z11?ze?z?dx?z2e?z.0222(x?z?x)e?(x?z?x)dx

22.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,400)分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.

设Xi为选取的第i只电子管的寿命，则Xi～N(160,202)i?1,2,3,4.令

Y?min{X1,X2,X3,X4}P{X1?1}8?10??(1)?0.1则P{Y?180}?[

P{X1?180}]

4，而

5 8因此P{Y?180}?0.000634

23 设随机变量X1,X2,X3相互独立，且Xi服从参数为?i(?i?0)的指数分布，求P{min{X1,X2,X3}?X2}. 解：X1,X2,X3的联合密度为

????e??1x1??2x2??3x3,x,x,x?0123f(x1,x2,x3)??123

0,其它,?P{min{X1,X2,X3}?X2}?P{X2?X1,X2?X3}???????0x2x2???????2e??2x2dt2?1e??1x1dx1?3e??3x3dx30x2x2???(???2??3)x2?2?2e1dx2?.0?1??2??3(???????1?2?3e??1x1e??2x2e??3x3)dx1dx3dx2??

?习 题 四

补充;设随机变量X1,X2,X3独立，X1在[0.6]上服从均匀分布，X2服从

N(0,22)，X3服从参数为??3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则

D(Y)?D(X1)?4D(X2)?9D(X3)?3?4?4?9?3?46

1 设X服从如下表的概率分布： X 概率 -1 0 12 1 621 2 1 31 61 121 4求(1)E(X),(2)E(?X?1),(3)E(X) 解：E(X)?(?1)?11111112?0????1??2??;E(?X?1)? 36261243311111135E(X2)?(?1)2??02????1??4??;

36461242421

?e?x,0?x??,22 设X的概率密度为f(x)??求(1)E(X),(2)E(X)

其它,?0,解：E(X)??0??xe?xdx???xde?x??xe?x00?????????xedx 0??e?x0???1

E(X2)??

??2?x??2?xxedx??xde00???x2e?x0???2???0xe?xdx?23 设随机变量X,Y相互独立，其概率率密度分别为：

?e?(y?5),y?5,?2x,0?x?1,fX(x)??fY(y)??求E(XY).

0,y?5.?0,其它.?独立解： E(XY).?E(X)E(Y)?(?012x2dx)?(???5ye?(y?5)dy)

??2x312?(y?5)?(y?5)???()(?yde)?(?ye530?53??4 验证f(x)????(y?5)2edy)?(5?1)?453

1?(1?x)2,(???x???)是某个随机变量X的概率密

度，但具有这概率密度的随机变量X的数学期望不存在。 证明：（1）

?????f(x)dx??001???(1?x2)dx??????10?(1?x)x22dx?1

（2）

?????xf(x)dx??xdx?x???(1?x2)dx??00?(1?x)dx

而

????(1?x2)01?ln(1?x2)????；所以??。

5．一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为??x?1e4,x?0,f(x)??工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以

4?0,x?0.?调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

22

P(A)? A:售出设备一年内调换，则：Y:表示调换费用。

14?04e11?x1?4dx?1?e4,

E(100?Y)??(100?yk)pk=100ek??200(1?e?14)?33.64（元）

6某车间生产的圆盘直径在期间(a,b)上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

?1?,a?x?b,解 直径X～f(x)??b?a记圆盘面积S,则

?其它,?0,x2?b21?1x3bE(S)?E(??)??xdx???

aa44b?a4b?a3??12(a2?ab?b2).

7．设X,Y的分布律如下表:

X Y -1 0 1 P{X?xi} 1 0.2 0.1 0.1 0.4 2 0.1 0.0 0.1 0.2 3 0.0 0.3 0.1 0.4 P{Y?yj} 0.3 0.4 0.3 1 （1）求E(X),E(Y)，（2）设Z?（

1

）

Y，求E(Z);（3）设Z?(X?Y)2,求E(Z). X的边缘分布见上表X,YEX?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2,EY??1?0.3?1?0.3?0

，故：

（2）EZ?（3）EZ???XiPij?ijYj?1?1?1110.2?0.1?0?????0.1?? 123315??(xi?yj)2Pij???5

ij8X,Y是相互独立同分布的随机变量，且P{X?0}?P{X?1}?1,求2max{X,Y}和min{X,Y}的数学期望。

解：记M?max{X,Y},m?min{X,Y}则：

23

P{M?0}?P{X?0}P{Y?0}?13，P{M?1}?1?P{M?0}? 4413P{m?1}?P{X?1}P{Y?1}?，P{m?0}?1?P{M?1}?

44故E[max{X,Y}]?31,E[min{X,Y}]? 44?12y2,0?y?x?1,9 设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??求：

其它,?0,E(X),E(Y),E(XY),E(X2?Y2).

x???12y2dy?4x3,x?(0,1) fX(x)??0?其它,?0,?112y2dx?12y2(1?y),?fY(y)???y?其它,?0,y?(0,1)

114E(X)??xfX(x)dx??4x4dx?.

0053E(Y)??yfY(y)dy??12y3(1?y)dy?.

0051x1E(XY)???xy?12y2dydx?.

00211112216E(X2?Y2)??x2fX(x)dx??y2fY(y)dy?????

00351510 设系统I由元件A,B并联而成，X,Y分别表示A,B的寿命（以h记）并设A,B相互独立，且服从同一分布，其概率密度函数为

??e??x,x?0,f(x)??求系统I的寿命Z的数学期望。

0,x?0??1?e??x,x?0,而Z?Max{X,Y}，由63页 解：分布函数为F(x)??x?0?0,?(1?e??z)2,z?0,?2?(1?e??z)e??z,z?0FZ(z)???fZ(z)??

0,z?00,z?0,?? 24

00????z???2?z??????2ze??z0?2edz?ze?2?z0?edz

00E(Z)??2?2??ze??zd(??z)????ze?2?zd(?2?z)?????13?.2?2?11 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X的期望与方差。。

解：P{X?0}?939?0.75,P{X?1}???0.2045 1212113293219P{X?2}????0.0409,P{X?3}???0.0045.1211101211109

E(X)?0?0.75?1?0.2045?2?0.0409?3?0.0045?0.301

E(X2)?0?0.75?1?0.2045?4?0.0409?9?0.0045

?0.2045?0.1636?0.0405?0.4086D(X)?E(X2)?E2(X)?0.4086?0.09?0.318

12．随机变量X服从几何分布，其分布律为P{X?k}?p(1?p)k?1,k?1,2,?,其中0?p?1是常数.求E(X),D(X).

?E(X)?k?1?kqk?1?p(q?1?p)=

p(q?q2?q3??)=

??q?1?p??. ?1?q?p?? E(X)?2k?1?kq?2k?11)?]? ?p?p(?kq)? =p[q(?qk)?]??p[q(kk?1k?1??1?q?q=p??(1?q)2??2???p(1?q)?2(1?q)q?1?q 其中“′”表示对q的形式导数. ?(1?q)4p2?D(X)?qp2,，

13．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P{X?1}?P{X?2},求

E(X),?2,D(X)?2. 14

设

X为随机变量，c（

是常数由

，若于

c?E(X),证明:D(X)?E{(X?c)2}.

25

D(X)?E{[X?E(X)]2},上式表明E{(X?c)2}当c?E(X).时取到最

小值。

证明：因为

E{(X?c)2}?D(X)?E(X2.)?2cE(X)?c2?{E(X2)?[E(X)]2}

?c2?2cE(X)?[E(X)]2?[c?E(X)]2?0.

所以：??。

?x2??x2?15设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度为f(x)??2e2?,x?0,???x?0.?0,其中??0,是常数.求E(X),D(X).

E(X)??2??0??x22?x22?22?eex2?)dx??x2???0??22xde2???xe2??x2?x2??0??0???x22?2edx，

?0???(d()?2??4??22?x22?2?x22?2??0???x2E(X)?22?0??x3x22?2?2eedx???0???xde2???xe2??02e2?dx2??2??0???x22?2d(?x22?2x22??)??2?e2?0?2?2? DX?(2?)?2

216设随机变量X～N(0,4),随机变量Y服从（0，4）上的均匀分布，并且X与Y相互独立，求D(X?Y),D(2X?3Y),E(X?2Y).，

2(4?0)24?,；又解：由已知及75页4 76页 7有D(X)?4,D(Y)?123X与Y相互独立，再由73页知： D(X?Y)?D(X)?D(Y)?16. 3D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?16?12?28.

26

E(X?2Y)2?E(X2)?4E(X)E(Y)?4E(Y2)?D(X)?[E(X)]2?4E(X)E(Y)?4{D(Y)?[E(Y)]2} 41?4?0?4?0?2?4(?22)?25.3317 5家商店联营，它们每两周售出的农产品的数量（以㎏记）分别为

X1,X2,X3,X4,X5,已知X1服从N(200,225),X2服从N(240,240),

X3服从N(180,225),X4服从N(260,265),X5服从N(320,270)X1,X2,X3,X4,X5,相互独立，

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差。

（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？ 解：（1）记X?i?1?Xi,?E(X)?200?240?180?260?320?1200.

5D(X)?225?240?225?265?270?1225.

（2）X?i?1?Xi,～N(1200,1225)即N(1200,352).

5X?1200T?1200P34(5)T?1200P(X?T)?P(?)??()353535查表T?1200 ?0.99??(2.33),?2.3335T?35?2.33?1200?1282(kg)18 设随机变量X服从某一期间上的均匀分布，且E(X)?3,D(X)?（1）求X的概率密度。 （2）求P{X?2}； （3）求P{1?X?3}.

1. 3?b?a?3,??b?a?6,?2?a?4,?a?2,??解：（1）???b?2,or?b?4,故 22(b?a)1(b?a)?4????,??3?12?1?,2?x?4, （2）P{X?2}?0 f(x)??2??0,其它, 27

（3）P{1?X?3}??120dx??1dx?. 2223119 重复掷一均匀硬币n次，记X为正面出现的次数，X与YY为反面出现的次数，求X与Y的相关系数。

Y?n?X,?XY?解

2E{[X?E(X)][n?X?E(n?X)]}D(X)D(n?X)

??{E[X?E(X)]}?D(X)???1D(X)D(X)20设两随机变量X与Y的方差分别为25和16，相关系数为0.4，求

D(2X?Y),D(X?2Y).

解：由77页：

D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)

?4D(X)?D(Y)?4?XYD(X)D(Y)?116?4?0.4?5?4?148.D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)

?D(X)?4D(Y)?4?XYD(X)D(Y)?25?64?4?0.4?5?4?5721 设A,B是试验E的两个随机事件，且P(A)?0,P(B)?0,定义随机变量X,Y如下：

?1,A发生,?1,B发生, X??Y??0,A不发生,0,B不发生,??证明：若?XY?0,则X和Y必定是相互独立的。 解

：

P78?P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1}?P(AB)?P(A)P(B)?0,由16页定理2?A,B;A,B,A,B相互独立,?,故X和Y相互独立.

22设随机变量(X,Y) 的概率密度为f(x,y)???XY?0,?Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?1,?0,y?x,0?x?1,求：

其它,E(X),E(Y),Cov(X,Y),

解

：

28

1x???1dy?1?y,?1?y?1,?1dy?2x,0?x?1,fY(y)???yfX(x)????x?? , ,?0,?0,故

(奇)12E(X)??2xdx?,E(Y)??(1?y)ydy?0

0?13121x(奇)E(XY)??xdx?0Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0.23 在圆心在原点的单位圆周上任取一点，记θ为该圆心角，(X,Y)为该点的坐标，证明：

X与Y不相关，但X与Y不相互独立。

?xydy?0?

?1?,0???2?,?X?cos?,f(?)??2??Y?sin?,

?其它,??0,E(XY)??2?124?2?1E(Y)??sin?d??0,??XY?0,但X2?Y2?102?0cos?sin?d?2?1?0,E(X)?cos?d??0,02??

24设随机变量(X,Y)服从区域D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}上的均匀分布，求相关系数?XY. 答案：0

25设随机变量X服从N(?,?),Y服从N(?,?),且X,Y相互独立，试求

22Z1??X??Y和Z2??X??Y的相关系数（其中?,?是不为零的常数）。

解

：

E(Z1)?(???)?,E(Z2)?(???)?,E(Z1Z2)?E(?2X2??2Y2) 因

为

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?E(X2)?D(X)?[E(X)]2??2??2.

同理E(Y)??22??2.故E(Z1Z2)?(?2??2)(?2??2).

222因X,Y独立，故D(Z1)??D(X)??D(Y)?(???2)?2.

29

同理D(Z2)?(?2??2)?2.故：

?Z1Z2?2E(Z1Z2)?E(Z1)E(Z2)D(Z1)D(Z2)222222?(???)(???)?(???)?(???)?2222???????222 2.26 对于随机变量V,W;若E(V),E(W)存在，证明（Cauchy-Schwarz）不等式：

2[E(VW)]2?E(V2)E(W2)

证

明

：

对

任

意

的

t?R,有

E(V?tW)2?0.?t2E(W2)?2tE(W)?E(V2)?0.

故

??[2E(VW)]2?4E(W2)E(V2)?4[E2(VW)?E(W2)E(V2)]?0.

即[E(VW)]?E(V)E(W)。

27已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均数是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。 解：由83页知：

222P{5200?X?9400}?1?{P(X?5200)?P(X?9400)}

?1?P(X?5200?X?9400}?1?P(X?7300?2100) P8318?1??1??.99210027002

28 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现

随机的取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总合大于1920小时的概率。

??e??x,x?0,解：75页5：Xi(i?1,2,?,16)～f(x)??70页3：

x?0,?0,E(X)????0?xe??x????x1已知??x??dx??xe?edx??10000??(1)

E(X2)????0?x3e??xdx??x2e??x1由(1)????x2???2xedx?00?2?

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?

?2?1002,30

由87页定理166：记

X?k?1?Xk16,则

16?100?1??(0.8)?1?0.7881?0.2119.i?1P{?Xi?1920}?1?P{i?116?Xi?1600?1920?1600

}40029．对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.

第k次轰炸命中目标的次数为Xk(k?1,2,?,100),则Xk独立同分布,且

100100??E(Xk)?2,?2?1.69,命中的总次数X?N(0,1),

?Xkk?1?Xk?n?,

k?1n?(近似)～

P{180?X?220}??(2020)??(?)?0.8759 1313

30 一部件包括10部分，每部份的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望是2㎜，均方差是0.05，规定总长度为

20?0.1(mm)时产品合格，试求产品合格的概率。

解：由87页定理6P(20?0.1?10i?1?Xi?20?0.1)?

10P{20?0.1?2020?0.1?2010?i?1?}?2?()?1

510?0.0510?0.0510?0.05查表?Xi?20?2?(0.632456)?1?2?0.7357?1?0.4714.31 设Xi(i?1,2,?,100)是相互独立同分布的随机变量，若

E(Xi)?1,D(Xi)?2.4,(i?0,1,2,?,100),，用中心极限定理求

P{?Xi?90}的近似值。

i?1100解：

31

100P{?Xi?90}?1?P{?Xi?90}?1?P{i?1i?1100100i?1?Xi?100?11002.4?90?100?1}1002.4?1??(?12.4)??(12.4)??(0.65)?0.7422

32．设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率． 设老人死亡数为X,n?10000,p?0.017，公司亏本当且仅当 2000X?40?10000,即X?200，于是，X?N(np,npq)，亏本的概率：

P{X?200}?1??(200?npnp(1?P))?1??(2.321)?0.01017．

33 （1）一个复杂系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，必须至少有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。

（2）一个复杂系统由n个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80％以上的部件正常工作才能使整个系统正常工作。问n至少多大才能使系统的可靠性不低于0.95。 解：(1)由88页定理7 X表示损坏数，则X～b(100,0.1)

P{X?15}?P{X?10100?0.1?0.9?5}??()?0.9525

3100?0.1?0.915?10(2)同理：X表示损坏数，则X～b(n,0.1),N为0.2n取整。

P{X?N}?P{X?0.1n0.3n?N?0.1n0.3n}??(N?0.1n0.3n)?0.05

可得n至少为25。

34 随机的选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合物的PH值，每个人测量的结果是随机变量，它们相互独立且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均

（1）求{4.9?X?5.1}. （2）求{?0.1?X?Y?0.1}. 解

：

（

1

）

由

8087页定理

6P{4.9?X?5.1}?P(4.9?80?i?1?Xi?5.1?80)?

32

80?0.380?0.380?0.324查表8?2?()?1?2?(1.633)?1?2?0.9484?1?0.8968.24E(Xi?Yi)?0;D(Xi?Yi)?2?0.3?0.6?8?i?1P{?8?i?1?Xi?80?0.5?808}??(8)??(?824)

?(Xi?Yi)?80（2）P{880?0.680?0.680?0.633查表2?2?()?1?2?(1.55)?1?2?0.8749?1?0.7498.3}??(2)??(?2)

35．某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望?(未知），方差?2?400.为了估计?，随机地取n只这种器件，在时刻t?0投入测试（设测试是相

1互独立的）直到失败，测得其寿命为X1,X2,?,Xn,以X?n?Xk作为?的

k?1n估计.为了使P{X???1}?0.95,问n至少为多少？

n P{X???1}?0.95,?P{i?1?Xi?n?n??n?1?n}?0.95

P{i?1?Xi?n?n??nn?}?0.95??(n?)??(?n?)?0.952?(n?)?1.95,??(查nn)?0.975??（1.96）;?1.96,n?1.962?202?1536.64,?n?15372020

习题五

1 设从总体X抽样得到一个大小为10的样本，其值为：

4.5， 2.0， 1.0， 1.5， 3.4，4.5， 6.6， 5.0，3.5， 4.0。 分别计算样本均值X与样本方差S. 解

：

22110110110222x??xi?3.6s??(xi?x)?(?xi?10x)?2.95.10i?19i?19i?1 33

2 设总体X服从正态分布N(72,100),为使样本均值大于70的概率不少于90％，其样本容量至少应取多少？ ：由104页（3.3

解）因为

X服从N(72,100),?P{X?70}?1?P{X?70}，从而 n查表?(1.29)?0.90?P{X?70}?1?P{X?70}?1?P{X?7210

70?72教材P34(5)n?}??(),?(x)单增.5n10n故:1.29?n,n?6.452?41.6025,取n?42. 5223 设总体X～N(?,?),?,?均未知，已知样本容量n?16,样本均值X?12.5,样本方差s2?5.333,求P{X???0.4}. 解： s?5.333?2.312由104页定理4，

P{X???0.4}?1?PX???0.4?P{X????0.4}.

???????X??t(15)??X??t(15)?P{X???0.4}?1?P???0.692??P??0.692??????2.312/4??2.312/4?

t分布的对称性P{X???0.4}查表????X??t(15)?1?2P??0.692????2.312/4?

?1?2?0.25?0.5.4在正态总体N(20,3)中抽取2个独立样本，样本均值分别为X,Y，又样本容量分别为10，15，则P{X?Y?0.3}?0.6774 注：X～N(20,33， ),Y～N(20,),X,Y独立。

1015E(X?Y)?0,D(X?Y)?DX?DY?331?? 10152 34

故P{X?Y?0.3}?P{X?Y12X?Y12?0.32}?P{X?Y12??0.32}

?2[1?P{?0.32}?2?(0.32)?0.67745在正态总体N(?,0.5)中抽取个独立样本X1,X2,?,X10,， （

1

）

已

102知

??0,求P{?Xi2?4};i?110（2）

?未知,求P{?(Xi?X)2?2.85};

i?1解：（1）由99页定理1有

10X210Xi?0i服从N(0,1),??4?Xi2服从?2(10)，故：

20.5i?10.5i?1P{?Xi2?4}?P{4?Xi2?16}i?1i?11010查表?2(10)?0.1;

10(X?X)210i（2）104页定理3,?4(Xi?X)服从?2(9)，故 0.52i?1i?1??P{?(Xi?X)2?2.85}?P{4?(Xi?X)2?11.4}i?1i?11010查?2(9)?0.25;

X,S为样本均6设X1,X2,?,Xn为泊松分布P(?)的一个样本，

值和样本方差，求

（1）(X1,X2,?,Xn)的分布律。（2）D(X),E(S).

22P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}??P{X?xi}解：nn???xii?1xi!e????i?1ni?1?xie?n?,(xi?0,1,2,?)ni?1 ?xi! 35

X1,?,Xn独立同分布P74:D(Xi)??1n1?D(X)?D(?Xi)?D(Xi)?.ni?1nn

n?1?2E(S)?E?(?Xi?nX?n?1??i?1??nn?{D(Xi)?[E(Xi)]2}?{D(X)?[E(X)]2 n?1n?1nn??{???2}?{??2}??n?1n?1n27总体X～N(?,?2),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，（1）求（2）求X的概率密度。 X1,X2,?,Xn的联合概率密度。

（1）??????e2????1n?i?1?(xi??)22?2n（2）

12???ne2(??(x??)2n)2

8

设X1,X2,?,Xn,Xn?1,?,Xn?m是来自正态总体

N(0,?2)的容量为n?m的样本，求下列统计量的抽样分布：

（1）Y?1n?mi?1?2?Xi2;m?Xi(2)Y?ni?1n?mn; Xi2i?n?1?m?Xi2(3)Y?ni?1n?mn; Xi2i?n?1?解（1）?(n?m), （

2

）

2 36

n2XiXii?n?1服从?2(m),i?1服从N(0,1);2n?n?m???m?XiY?nXi2i?n?1i?1n?mni?1?Xin?(相当于N(0,1)n??Xi2i?n?12n?m??2(m)m)服从t(m);m?

m?Xi2(3)Y?ni?1n?mni?1?Xi2n?2;服从F(n,m).

n?Xi2i?n?1?n?mi?n?1?Xi2m?2

补充：设X1,X2,?,Xn是来自总体?2(n)的样本，求变量样本均值X的数学期望与方差。

解：由于X1,X2,?,Xn是来自总体?2(n)的样本，故

1E(Xi)?n,D(Xi)?2n，E(X)?n1n?i?1nE(Xi)?1?n?n?n， nD(X)??D(Xi)?n2?n?2n?2 n2i?113设X1,X2,?Xn是来自参数为?的泊松分布总体X～P(?)的一个样本，试求?的极大似然估计和矩估计， 解：先求极大似P{X?k}?然e??,估 计：?kk!ne??,k?0,1,?;L(?)??nn?xixi!i?1lnL(?)?(?xi)ln??n???ln(xi!)i?1i?1，令

dlnL?0,?i?1d??

?xin??x ?n?0??37

??x 再求矩估计：X～P(?)?EX??，令??x,??

习题六

1 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）：74.001,74.005,74.003,74.001,74.000,74.993,74.0067,74.002, 试求总体均值均值?及方差?2的矩估计，

??1?EX???x,?n解：由P 令?122222 ??EX?DX?(EX)?????x2i?ni?1??1??x?故?8?i?181xi?74.001375;??8?2?2?6?10?6 ?x12??i?182设总体X的概率分布为

kP{X?k}?C2(1??)k?2?k,K?0,1,2,?,n.X1,X2,?Xn是来

自总体X个样本，求参数?的矩估计量。

??X 解：E(X)?2p?X?P23

设

总

体

X令的概率密度为

??1?,0?x?1,X,X,?X是来自总体X个样本，f(x)???x12n0,其它,?x1,x2,?,xn是样本值，求参数?的矩估计量及矩估计值。

解：E(X)???01x?dx????1令?X;?1?1??1. X??X??(X)2为?的矩估计 ,?X?1X?1n2(x?x)??1;lnL1nnn?ln??(??1)?lnxi 2i?1L(?)?????lnLn1n??令??lnxi?0,?????2?2?i?1n2(?lnxi)2i?1n.为最大似

38

然估计

4X1,X2,?Xn是来自正态总体N(μ,1)的样本,求μ的最大似然估计。 解：L(?)??f(xi)??i?1nn12??11?(xi??)2 e2i?1n?1n(x??)2n?i?n1?(2?)2e2i?1,?lnL??ln(2?)?(xi??)222i?1

nn?令5

?lnL11???xi?x.?[?xi?n?)?0,????2i?1ni?1设

总

体

X的概率分布为

P{X?k}?p(1?p)k,0?P?1.k?1,2,3，?；X1,X2,?Xn是来

自总体X个样本，求参数p的极大似然估计.

n解：

L(P)??P{X?xi}??P(1?P)i?1nnxi?p(1?P)i?1;

n?xilnL?nlnP?(?xi)ln(1?P),i?1ni?1?lnLn1n1?P??x?0,??X,?i?PP1?Pi?1P令为最大似然估计 ??1.(参考答案1)PX?1X

补充：设X1,X2,?Xn是来自参数为?的泊松分布总体X～P(?)的一个样本，试求?的和矩估计， 解：先求极大P{X?k}?似n然e??,估 计：?kk!ne??,k?0,1,?;L(?)??n?xixi!i?1lnL(?)?(?xi)ln??n???ln(xi!)i?1i?1，令

dlnL?0,?i?1d???xin??x ?n?0????x 再求矩估计：X～P(?)?EX??，令??x,?? 39

6

设总体X服从对数正态分布，即lnX～

N(?,?2),???????,??0,x1,x2,?,xn是样本值，求?,?2的极大似然估计。 解：略

??7设总体X的概率密度，f(x)??(1??)x,0?x?1,其中???1,未知参数为

?0,其它α.，设x1,x2,?xn为其样本值，试求α的极大似然估计和矩估计， 解：矩估计，令X?EX??01x(1??)x?dx?n??12x?1?? ,????22?x?极大似然估计L(?)??(??1)xii?1n?(??1)n(x1?xn)?，

lnL(?)?nln(??1)???lnxi，

i?1ndlnLnnn???lnxi?0,??1??,???1?nnd???1i?1?lnxi?lnxii?1i?1

8设X1,X2,?Xn是来自参数为?的指数分布的总体X,X的概率密度，

??C?x?(??1),x?Cf(x)??,其中C?0已知,??1未知,求：（1）?的矩

0,否则?估计，（2）?的极大似然估计。

解：矩

估?x???1计

??C?，令

X?EX?????cxCx??(??1)dx??C???1???1C.

???1C1C1X?C??X. ?,1??,?,???X?XXX?C极

大

似

然

估

计

：

nL(?)???C?xi?(??1)i?1n，

lnL(?)?nln??n?lnC?(??1)?lnxi，

i?1 40

ndlnLn????nlnC??lnxi?0,??nd??i?1n,

i?1?lnxi?nlnC9 设总体

X服从二项分布，其分布律为：

xxP{X?x}?Cmp(1?p)m?x,x?0,1,2,?,m.X1,X2,?Xn是来自总体

X个样本，求(1)参数p的矩估计量。(2)p的极大似然估计。

??解：（1）令E(X)?mp?X,?pnnX. mxixiL(P)??P{X?xi}??CmP(1?P)m?xi（2）

xilnL??lnCm?(?xi)lnP??(m?xi)ln(1?P)i?1i?1i?1i?1nni?1n

令

nndlnLi?11n??(m?xi)?0,?(1?P)?xi?P?(m?xi)?0,?dPP1?Pi?1i?1i?1nx?x?nmP,?P?.?imi?1?xin为最大似然估计

10设总体X的概率分布为 X P 0 ?2 1 2?(1??) 2 ?2 3 1?2? 1其中?(0???)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，

23，1，2，3。求?的极大似然估计和矩估计，

解：矩估计：令X?EX?1?(2??2?2)?2?2?3?6??3?4?， 又x?1616??1. ??3?4??4??1??884L(?)?P(X?0)?[P(X?1)]2?P(X?2)?[P(X?3)]4（抽样时，X?0出现一次，

） X?1出现两次，X?2出现一次，X?3出现四次，

??2[2?(1??)]2?2(1?2?)4?4?6(1??)2(1?2?)4

LnL?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1?2?) 41

dlnL628628????0,????6(1??)(1?2?)?2?(1?2?)?8?(1??)d??1??1?2??1??1?2??6(1?3??2?2)?2??4?2?8??8?26?18??12?2?10??12?2?24?2?28??6?0,14?527?1312?2?14??3?0,???(舍?)2412 ???7?13 1211设X1,X2,X3是来自总体X的样本，T1?111X1?X2?X3 632212111T2?X1?X2?X3,T3?X1?X2?X3

555333（1） 指出T1,T2,T3中那几个为总体均值均值?的无偏估计， （2） 判断上述无偏估计中那一个较为有效？

解：（1）T1,T2,T3均为?的无偏估计，（2）T3最有效。

12设X1,X2,?Xn是来自总体X～N(?,?2)的一个样本，试确定常数C，使C解

E[C?(Xi?1?Xi)2为?2的无偏估计。

i?1n?1;

?(Xi?1?Xi)i?1n?12]?c?[E(Xi2?1)?E(Xi2)?2E(Xi?1)E(Xi)]i?1n?1(X1,X2,?Xn独立同分布于X) ?2c(n?1)[E(X2)?(EX)2]?2c(n?1)?2;

?c?1

2(n?1)213设X1,X2,?Xn是来自总体X～N(?1,?)的一个样本，设

1Y1,Y2,?Yn2是来自总体Y～N(?2,?2)的一个样本，两样本独立，?1,?2未知。

（1） 求?1??2的一个无偏估计。

解：令E(X)?E(Y)??1??2?X?Y得?1??2的一个无偏估计

令X?Y

12122（2） 证明：Sw?[?(Xi?X)??(Yi?Y)2]是?2的

n1?n2?2i?1i?1nn 42

无偏估计。

2n1?1)1122n2?1证明：Sw?[)?(Xi?X)?(Yi?Y)2] ?n1?n2?2n1?1i?1n2?1i?1nn Sw?2122[(n1?1)SX?(n2?1)SY]

n1?n2?211)?E[?(Xi?X)2]??2,n1?1i?12E(SXn而有114页2：

2E(SY)?12E[?(Yi?Y)2]??2;故E(Sw)??2n2?1i?1n2

?,????14 设?12是参数?的两个独立的无偏估计，且?1的方差为?2的2倍，??k??试找出常数k1,k2;使得k1?122也是?的无偏估计，并在所有这些估

计中方差最小。

?)?? 解：由已知有k1?k2?1;记D(?22222222??k???D(k1?122)?k12??(1?k1)]??(3k1?2k1?1)??f(k1)12令:f?(k1)??2(6k1?2)?0,k1?,k2?33记

15 设总体X～N(?,?2),现从总体取得容量为4的样本值： 1.2， 3.4， 0.6， 5.6，

（1）若已知??3，求μ的置信水平为99％的置信期间。 解：由117页（3.3）因为P{X???n?u?}?1??，故μ的置信水平为1-2α（

=0.99（α=0.01）的置信期间为即

X??nu0.005,X??nu0.005),而x?2.7,u0.005?2.572.7?3?2.575?2.7?3.8625,(?1,1625,6.5625), 2（2）若已知σ未知，求μ的置信水平为95％的置信期间。

43

解：由117页（3.5）因为P{X??Sn?t?}?1??，故μ的置信水平为1-2α=0.95（α=0.05）的置信期间为

（X?St0.025(3),而x?2.7,t0.025(3)?3.1824, 211S2?[1.52?1.72?1.92?2.92]?[2.25?2.89?3.61?8.41]?5.72,s?2.395332.395?3.1842?2.7?3.813,(?1.113,6.518), 2 即2.7?参考答案(?0.923,6.323)

16 某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，今随机抽查12袋测得其重量（单位：g）分别为：

1001， 1004， 1003， 1000， 997， 999， 1004， 1000， 996， 1002， 998， 999。

（1）求μ的置信水平为99％的置信期间。 解：由117页（3.5）因P{X??S）

n?t?}?1??，故置信水平为1-α=0.99

2（（X?α/2=0.005的置信期间为

S23t0.005(11),而x?1000.25,t0.005(11)?3.1058,

176.25?6.932,s?2.644 112.644即1000.25??3.1085?1000.25?2.373,(997.877,1002.623),

3.464S2?（2）求?的置信水平为95％的置信期间。 解：1-α=0.95（α=0.025）?0.975(11)?3.816,22?0.025(11)?21.920

2((n?1)s222?0(11)?.0250.975(11),(n?1)s2)?(76.2576.25,);(3.478,19.82) 21.923.816

17 假设新生婴儿（女孩）的体重服从正态分布，随机抽取15名新生婴儿，测得其体重（g）为: 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540.求：（1）新生婴儿体重的置信水平为95％的置信期间。

44

（2）新生婴儿体重的方差的置信水平为95％的置信期间。

解：(1)置信水平为1-α=0.95（α/2=0.025）的置信期间为（X?S15t0.025(14),而x?3096,t0.025(14)?2.1448,

即(2818,3295) (2)

解

：

1-α

=0.95

（

α

=0.025

）

2?20.975(14)?5.629,?0.025(14)?26.119

((n?1)s22?0.025(14),(n?1)s22?0.975(14))?(70687,405620)

18为了估计磷肥对农产品的作用，现选20块条件大致相同的土地，其中

10块不施磷肥，另外10块施磷肥，测得平均产量（kg）如下：

不施肥：560， 590， 560， 570， 580， 570， 600， 550， 570， 550， 施肥： 620，570，650，600，630 ，580， 570， 600， 600， 580。 设不施磷肥和施磷肥的平均产量均服从方差相同的正态分布；试对不施磷肥和施磷肥的平均产量之差作期间估计。（α=0.05）。

2222(n1?1)S1?(n2?1)S29S1?9S22?.?1??2的的置信水平解：Sw?n1?n2?218为95％的置信期间为

X?Y?t0.025(18)Sw111?,?X?Y?t0.025(18)Sw n1n2519 某校随机抽查30名男生和15名女生的身高，以估计男，女生平均身高

之差，经测量，男生身高的平均数为1.73m, 标准差为0.035m;女生身高的平均数为1.66m,标准差为0.036m;试求男，女生身高期望之差的置信水平为95％的置信期间。设男，女生身高都服从方差相同的正态分布。

2222(n1?1)S1?(n2?1)S229S1?14S22?.?1??2的的置信水解：Sw?n1?n2?243平为95％的置信期间为

X?Y?t0.025(43)Sw

111?,?X?Y?t0.025(43)Sw n1n21020 两化验员A,B独立的对某种聚合物含氟量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为sA?0.5419,sB?0.6065,设?A,?B分

45

2222别为A,B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，求方差比

22?A/?B的置信水平为95％的置信期间。

解：120页，已知：XA～N(?A,?A),XB～N(?B,?B)，而

2(nA?1)SA22SA?A(nA?1)?服从F(nA?1,nB?1)

222SB?B(nB?1)SB2?B2?A22(nB?1)??222???ASA11?SA?P???? 2F(n?1,n?1)22F(n?1,n?1)?BSBB?AB?SB?A?1???22???1??已知sA?0.5419,sB?0.6065,1???0.95,22?2?0.025,

1??2?0.975,nA?nB?10;查表得:F0.025(9,9)?4.03P103F0.975(9,9)?1F0.025(9,9)?0.25;2SA2SB

?0.8935.22?A/?B的置信水平为95％的置信期间为（0.222，3.601）。

21从甲、乙两厂生产的蓄电池产品中分别抽取一些样品，取得蓄电池的电容量（单位：Ah）如下：

甲厂：144，141，138，142，141，143，138，137，

乙厂：142，143，139，140，138，141，140，138，142，136。 两厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布N(?1,?1)及N(?2,?2)，求电池容量的方差比?A/?B的置信水平为95％的置信期间。 解：类似21题。略。

22（是关于单侧置信下限的问题）略。 23（是关于单侧置信下限的问题）略。

2222 46

别为A,B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，求方差比

22?A/?B的置信水平为95％的置信期间。

解：120页，已知：XA～N(?A,?A),XB～N(?B,?B)，而

2(nA?1)SA22SA?A(nA?1)?服从F(nA?1,nB?1)

222SB?B(nB?1)SB2?B2?A22(nB?1)??222???ASA11?SA?P???? 2F(n?1,n?1)22F(n?1,n?1)?BSBB?AB?SB?A?1???22???1??已知sA?0.5419,sB?0.6065,1???0.95,22?2?0.025,

1??2?0.975,nA?nB?10;查表得:F0.025(9,9)?4.03P103F0.975(9,9)?1F0.025(9,9)?0.25;2SA2SB

?0.8935.22?A/?B的置信水平为95％的置信期间为（0.222，3.601）。

21从甲、乙两厂生产的蓄电池产品中分别抽取一些样品，取得蓄电池的电容量（单位：Ah）如下：

甲厂：144，141，138，142，141，143，138，137，

乙厂：142，143，139，140，138，141，140，138，142，136。 两厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布N(?1,?1)及N(?2,?2)，求电池容量的方差比?A/?B的置信水平为95％的置信期间。 解：类似21题。略。

22（是关于单侧置信下限的问题）略。 23（是关于单侧置信下限的问题）略。

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