2-4隐函数的求导法则

·复习 初等函数的求导法则，基本初等函数的求导公式. ·引入 前面我们所遇到的函数都是y=f(x)的形式，这种函数的求导问题已经解决，下面我们来学习几种特殊的求导法. ·讲解新课

第四节 隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数 一 隐函数的求导法

把一个变量明显是另一个变量的函数，并可以表示为y=f(x)的形式的函数叫做显函数．把一个函数的自变量x和变量y之间的对应关系由一个二元方程F(x,y)=0所确定的函数叫做隐函数．

如4x-5y+8=0，x2+y2=R2，x+y-ey=0都是隐函数． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化. 如将方程x+y-1=

0化成y=

隐函数的显化有时是有因难的．甚至是不可能的．

如隐函数xy=ex+y3就无法化成显函数．但在实际问题中，常常需要计算隐函数的导数．

求隐函数的导数的方法是将方程两边同时对自变量x求导，把y看成是关于x的函数，把关于y的函数应看成是关于x的复合函数． 例1 求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数的导数y'x． y '解：将方程两边同时对x求导，得ey'x+y+xyx=0，解得y

y'x=-y(x+ey≠0). yx+e

dy中允许dx一般地，由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y，它的导数 含有y．

例2 求方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y在x=0的导数dy． dxx=0 解：将方程的两边同时对x求导，得 5y4dydy+2-1-21x6=0， dxdx

dy1+21x6

所以 ． =4dx5y+2

当x=0时，由方程y5+2y-x-3x7=0得y=0，所以 二 对数求导法

形为y=u（其中u、v都是x的函数）的函数叫做幂指函数． 在求导运算中，常会遇到这样两类函数求导问题：一类是幂指函数，另一类是由一系列函数的乘、

除、乘方、开方所构成的函数。可以用对数求导法来求着两类函数的导数。所谓对数求导法，就是两边先取对数，然后利用隐函数的求导法求的结果。 例3 求函数y=xsinxvdy1=． dxx=02(x>0)的导数． 解：两边先取自然对数，得lny=sinx?lnx，

将方程两边同时对x求导，得1sinxy'=cosx?lnx+， yx 于是y'=y(cosx?lnx+sinxsinx)=xsinx(cosx?lnx+). xx 例4 求函数y=(x-4)(x-3)的导数． (x-2)(x-1)

1[ln(x-4)+ln(x-3)-ln(x-2)-ln(x-1)]， 2解：先两边取对数，得lny= 方程两边对x求导，得111111y'=(+--)， y2x-4x-3x-2x-1 所以y

'=1+1-1-1). x-4x-3x-2x-1

三 由参数方程所确定的函数的导数

x=?(t)定理 （参数方程求导法则）设函数由参数方程?所确定，如??y=f(t) 果x=?(t),y=f(t)在某区间内关于t都可导，并且dx=?'(t)≠0，那么dt dy

由参数方程确定的函数的导数为dy=?'(t)=。

dxf'(t)dt

此公式就是由参数方程所确定的函数y对x的导数公式．

x=?(t)一般情况下，参数方程?，确定了y是x的函数．假设参数??y=f(t)

方程所确定的函数是y=F(x)，那么函数y=f(t)可以看成是由函数y=F(x)和x=?(t)复合而成的函数，即y=f(t)=F[?(t)]，假定 3

且y=F(x)和x=?(t)都可导，dydx≠0，于是根据复合函数的求导法则，dt 就有dy=dydx，即 dydt 。 =dtdxdtdxdt

?x=acosθdy例5 已知圆的参数方程? （a>0，θ为参数），求． dxy=asinθ? 解：∵dx=-asinθ，dy=acosθ， dθdθ dy

∴dy=dθ=acosθ=-cotθ． dxdx-asinθ

dθ

例6 已知椭圆的参数方程为?数）求椭圆在θ=?x=acosθ （a>0，b>0,θ为参?y=bsinθπ的切线方程. 4

dy解：∵dx=-asiθn，=bcosθ，∴dθdθ dy． dybcoθsb==-=-coθtdxdxasiθna

d当θ=π时，椭圆上的相应点M的坐标

是x0=acosππ=

y0=bsinM处的切线斜424b率为dy=-，

dxθ=πa4

所以椭圆在点M处的切线方程

为y-b=-(x-，整理得2a2 bx+ay-2ab=0,如图所示．

练习 1 求由下列方程所确定的隐函数的导数y'x.

（1）y2-2xy+9=0，（2）x2+y2-3axy=0，（3）xy=ex+y. 2利用对数求导法求下列函数的导数.

x（1）y=x，（2）y=(x2+1)(x2-2)，（3）y=x+1

. 3x-2(x+3)

3. 求下列参数方程所确定的函数的导数dy. dx

2??x=sint?x=a(t-sint)?x=1-t（1）?，（2），（3）（a为常数）.

??3??y=t?y=a(1-cost)?y=t-t 四 相关变化率

在一些问题中，变量x,y的变化依赖于另外的变量t，但变量x,y之间存在着某种关系，从而变化率dxdy与直接也存在一定的关系。这样，dtdt

两个相互依赖的变化率称为相关变化率。相关变化率问题是研究两个变化率之间的关系，通过其中一个来计算另一个变化率。

例7 设气体以100cm/s的常速注入球状的气球，假定气体的压力不变，那么当半径为10cm时，气球半径增加的速率是多少？

解 设在时刻t时，气球的体积与半径分别为V和r，显然 3 4V=πr3,r=r(t)， 3

所以V通过中间变量r与时间发生联系，是一个复合函数 V=π[r(t)]。 4

33

dVdr3=100cm/s,要求党r=10cm时的值。 dtdt

dV4dr=π?3[r(t)]2， 根据复合函数求导法则，得dt3dt 2dr将已知数代入上式，得100=4π?10?， dt dr1=所以cm/s， dt4π

1即当半径为10cm时，气球半径增加的速率是cm/s。 4π根据题意，已知

例8 若水以2m/min的速度灌入高为10m，底面半径为5m的圆椎形水槽中（如图），问当水深为6m时，水位的上升速度为多少？

解 设在时间为t时，水槽中水的体积为V,水面的半径为x，水槽中水的深度为y。

由题意有，3dV1=2m3/min，V=πx2y， dt3且11x5=，即x=y。因此 V=πy3， 212y10

dV12dydy4dV=πy=，即。 dt4dtdtπy2dt将上式求导得

将dV1=2m3/min及V=πx2y代入上式得 dt3dy4?22==≈0.071（m/min）。 dtπ?369π

所以，当水深6m时，水位上升的速度为0.071m/min。

例9 一气球从离开观察员500m处离地面垂直上升，其速率为

140m/min，当气球高度为500m时，观察员视线的仰角的增加率是多少/

解 设气球上升t秒后，其高度为h米，观察员视线的仰角为α，则 tanα=h， 500

其中α及h都是时间t的函数。上式两端对t求导，得

sec2t?

已知dα1dh=?。 dt500dtdh=140m/min，又当h=500米时，tan=1，sec2=2,代入上式得 dt

dα12=?140。 dt500

dα70=0.14（ard/min）. 所以 dt500

即观察员视线的仰角增加率是0.14ard/min.

练习 1 一盏5m高处的路灯，照在一个距灯3m远，从5m高处落下的小球上，球的影子沿地面移动，求当球离地面3m高时，影子移动的速率？

(2 飞机在高h米处飞行的速度为a米/秒，位于航线正下方的地面上有一个探照灯跟踪飞机，问探照灯应以怎样的角速度转动才能找到飞机？（ahard/s） h2+a2t2 3 落在平静水面上的石头，产生的同心波纹。若最外一圈的半径的

2增大率总是6m/s，问2s末扰动水面面积的增大率是多少？（144πm/s） 五 基本初等函数的求导公式与法则 1 基本初等函数的求导公式

（1） (C')=0, （2 ） ()'=-11'=x≠0) , （3

）2xx（4） (ax)'=axlnx, （5） (ex)'=ex

（6） (xα)'=αxα-1（α是任意实数）（7）(log1 ax)'=xlna. （8） (lnx)'=1

x （9） (sinx)'=cosx .

（10) (cosx)'=-sinx (11) (tanx)'=sec2x (12) (cotx)'=-csc2x (13) (secx)'=secxtanx. (14) (cscx)'=-cscxcotx (15) (arctanx)'=1 1+x2. (16) (arccotx)'=-1 (17) (arcsinx)'=1+

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