抛物线中两线段的和最小问题（及差最大问题）(1)

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1，（2012湖北恩施8分）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S?APC法可知△APC的面积的最大值

解：（1）由抛物线y=﹣x+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，??1?b+c=0，

???4+2b+c=32

2

2

?S?APQ+S?CPQ，由二次函数的最值的求

解得?b=2。∴抛物线的函数关系式为y??x??c=3+n=0∵AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得??k?k+n=3?22?2x?3。设直线AC的函数关系式为y=kx+n，

，解得?k=1。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。

??n=1（2）作N点关于直线x=3的对称点N′， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。 ∴N′（6， 3）由y??x2?2x?3=??x?1?+4得

2D（1，4）。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则?6s+t=3，解

??s+t=4得?s=?1。∴故直线DN′的函数关系式为y??1x?21。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直??555??t=21?5?线DN′上时，MN+MD的值最小，∴m??1?3?21=18。∴使MN+MD的值最小时m的值为18。（3）由（1）、（2）

5555得D（1，4），B（1，2）， ①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。

②当BD为平行四边形边时，∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，?x2?2x?3）。

又∵BD=2∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。∴?x2?2x?3??x?1?=2，即?x2?x?2=2。若

2?x2?x?2=2，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。若?x?x?2=?2，解得，

x=1?217，

3+17?或E?1?173?17?。综上，满足条件的点E为（2，3）+173+17∴E?1+17，、（0，1）、?1 ， ， ???????????22??22??22?、

????1?173?17， ??22??。

???（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G， 设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3）。∴PQ?（?x2

2?2x?3）（?x?1）??x2?x?2。

∴S?APC?S?APQ+S?CPQ?1PQ?AG2

131227。

?（?x2?x?2）?3??（x?）?2228∵?3<0，∴当x=1时，△APC的面积取得最大值，最大值为27。

228

2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:

y??1?x?2?(x?m)?m?0?m与x 轴相交于点B、

C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧.

(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．

(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2，（2012湖北黄冈14分）【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。

（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。（4）分两种情况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得2②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。 解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴2??1?2?2?(2?m)，解得m=4。

m（2）由（1）得y??1?x?2?(x?4)。 令x=0，得y?2。∴E（0，2），OE=2。 令

4y=0，得0??1?x?2?(x?4)，解得x1=－2，x=4。∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。

4∴△BCE的面积=1?6?2?6。（3）由（2）可得y??x?2(x?4)的对称轴为x=1。连接CE，交对称轴于点H，

42由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。设直线CE的解析式为y?kx+b，则

2+2。

1??13?4k+b=0，解得?1。∴直线CE的解析式为

y??x+2。 当x=1时，y? ?k=??2?22?b=2??b=2∴H（1，3）。（4）存在。分两种情形讨论： ①当△BEC∽△BCF时，如图所示。

22

则BE?BC，∴BC=BE?BF。由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，BCBF∴∠CBF=45°。作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。∴令F（x，－x－2）（x＞0）， 又点F在抛物线上，∴－x－2=?－2m－2）。 此时BF?2

1，∴x=2m，F（2m，?x?2?(x?m)，∵x+2＞0（∵x＞0）

m(2m?2)2?(?2m?2)2?22（m?1），BE?22，BC?m?2，又

2

BC=BE?BF，∴（m+2）=

22 ?22（m?1），解得m=2±22。∵m＞0，∴m=22+2。

2

②当△BEC∽△FCB时，如图所示。则BC?EC，∴BC=EC?BF。同①，∵∠EBC=∠CFB，

BFBC2 2 △BTF∽△COE∴TF?OE?2 。∴令F（x，－（x+2））（x＞0），又点F在抛物线上，∴－（x+2）

mmBTOCm=?1?x?2?(x?m)。∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=m+2。∴F（m+2，－2 （m+4）），EC?mmmBC=EC?BF，∴（m+2）=

2

2

24?，BC=m+2。又

m2?4??m+2+2?2+4?m+4?m22 .整理得：0=16，显然不成立。综合①②得，在第四象

限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=22+2。

3 （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线y?ax2?bx?c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴．

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3，（2012湖南郴州10分）,

【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式x??b求出对称轴。（2）如图1所示，连接AC，则AC与

2a对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点

P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。 解：（1）∵抛物线y?ax2，B（2，3），C（0，3）三点， ?bx?c经过A（4，0）

??3816a?4b?c?0，解得?∴ ??a??4a?2b?c?3? c?3??3? ?b?4??c?3??。∴抛物线的解析式为：y??323b x? x?3，其对称轴为：x???1。 842a（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。 如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。设直线AC的解析式为y=kx＋b，∵A（4，0），C（0，3），

33∴ ?4k?b?0 ，解得??k??。∴直线AC的解析式为：y=?x＋3。 ?? b?34???b?34令x=1，得y=

99 。∴M点坐标为（1，）。 44（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在y??3 x2?3 x?3中令y=0，解得x1=-2，x2=4。∴P（－2，0）。∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。1

84∴四边形ABCP1为梯形。②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。

设CP2与x轴交于点N，∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。

3。 ∴N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ?2k1?b1?0，解得??k???2??b?3??b1?3 ∴直线CN的解析式为：y=?∴?33323x+3。∵点P2既在直线CN：y=?x+3上，又在抛物线：y?? x? x?3上，228433232

x+3=? x? x?3，化简得：x－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。 284ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。

∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P（－6）。∵26，

∴四边形ABCP2为梯形。

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。

4. （2012四川自贡14分）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1． （1）求l1的解析式；

（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．

4，（2012四川自贡14分）,

【分析】（1）根据翻折变换的性质，求得A1和B1的坐标，用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式，（2）根据三角形两边之差小于第三边的性质即可知，B1C的延长线与对称轴x=1的交点P，即为所求。求出B1C的解析式即可求得点P的坐标。（3）设圆心为D，半径为r，根据直线与圆相切的性质知

D（1，r），F（1+r，r）。由于点F在抛物线l1上，代入即可求得r。分圆位于x轴上方和下方两种情况讨论即可。

解：（1）如图1，设经翻折后，点A．B的对应点分别为A1、B1，依题意，由翻折变换的性质可知

A1（3，0），B1（﹣1，0），C点坐标不变，∴抛物线l1经过A1（3，0），B1（﹣1，0），C（0，﹣3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax+bx+c，则

?9a+3b+c=0?a=12?，解得?b=?2。∴抛物线l1的解析式为：y=x﹣2x﹣3。 a?b+c=0???c=?3?c=?3??2

（2）抛物线l1的对称轴为：x=?b?2=?=1，如图2，连接B1C并延长，与对称2a2轴x=1交于点P，则点P即为所求。此时，|PA1﹣PC|=|PB1﹣PC|=B1C。

设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：|P′A﹣P′C|=|P′B1﹣P′C|＜B1C（三角形两边之差小于第三边），∴|P′A﹣P′C|＜|PA1﹣PC|，即|PA1﹣PC|最大。 设直线B1C的解析式为y=kx+b，则

??k+b=0，解得k=b=﹣3。∴直线B1C的解析式为：y=﹣3x﹣3。 ??b=?3令x=1，得y=﹣6。∴P（1，﹣6）。

（3）依题意画出图形，如图3，有两种情况：

①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，则D（1，r），F（1+r，r）。∵点F（1+r，r）在抛物线y=x﹣2x﹣3上，

∴r=（1+r）﹣2（1+r）﹣3，化简得：r﹣r﹣4=0

2

2

2

1+171?171+17，r2=（舍去）。∴此圆的半径为； 222?1+17②当圆位于x轴上方时，同理可求得圆的半径为。

21+17?1+17综上所述，此圆的半径为或。

22解得r1=

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e4to.html