集合及函数的概念 教案

集合及函数的定义域

考点聚焦

2008年～2012年广东高考数学（文科）集合、函数的定义知识点出现情况 年份 题型 题号 分值 2008 2009 2010 选择题：集合的运算 选择题：集合间的关系 选择题：集合的运算：并集 选择题：对数函数的定义域 选择题：集合的运算：交集 选择题：对数函数的定义域 选择题：集合的运算：补集 提空题：含根号及字母含有未知数函数的定义 1题 1题 1题 2题 1题 4题 2题 11题 5 5 5 5 5+5 5+5 2011 2012 由上面的统计表格，我们可以看到集合及函数的定义域基本是高考的必考考点，分值在一般在5~10分之间，常考题型为选择题。

1判断集合间的关系。○2集合的交、并、补运算○3求类指数函数或类对数函数的考试热点：○

定义域

知识梳理 1.集合的概念：

（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 （2）性质：①确定性： ②互异性： ③无序性。

2.集合的表示：

（1）列举法（2）描述法（3）区间表示法（4）图示法

3.元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A,记作a∈A,如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A,记作 a?A.

1

4.集合与集合的基本关系：

1子集：一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，○

则称A是B的子集。记作：A

2集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集○

合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B

3真子集：如果集合A ○记作：A

5.空集：不含任何元素的集合叫空集，记作 非空集合的真子集。

6.集合的基本运算

1并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集。 ○

记作A∪B(读作A并B),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}

2交集：由所有属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。 ○

记作A∩B(读作A交B),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

3补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有的元素组成的集合称为A的补○

集，记作CuA ,即CuA={x|x∈U,且x?A} 运算类型 定 由所有属于A且属义 于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A?B（读作‘A交B’），即A?B=｛x|x?A，且x?B｝． 注： 1.符号∈与○

有什么区别？

B （2）A?B?? （3）A?B?A （4）A?B?A 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A?B（读作‘A并B’），即A?B ={x|x?A，或x?B})． 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作CSA，即 CSA={x|x?S,且x?A} 交 集 并 集 补 集 .并规定：空集是任何集合的子集，是任何

B(或B

B,但存在元素x∈B,且x A).

A,我们称集合A是集合B的真子集。

B （或B

A),读作A含于B(或B包含A).

2.常见的集合运算（1）A ○

2

7.常用数集（要求记住）

（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；

（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N； （3）整数集：全体整数的集合，记做Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q （5）实数集：全体实数的集合，记做R

8.有限集合的子集的个数（要求理解并熟记）

A的子集包括A的真子集和A。如果一个集合有n个元素，则它的子集个数是2个，它的真子集个数是2-1个，非空真子集的个数为2-2个.

9.指数函数的定义

形如y=a（a>0且a?1）的函数称之为指数函数，其中x?R。

注意：（1）指数函数的解析式必须是y=a的形式，a前的系数必须是1，没有其它项

（2）为什么要规定a>0且a?1？ ①a<0，函数的性质没有规律 ②a=0，对于x?0,a都没意义

③a?1,函数为常函数1，对它没有研究的必要

10.指数函数y=a（a>0且a?1）的图像与性质:

xxxxn

n

n

※

x

11.对数函数的定义

函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做对数函数，x是自变量，定义域为(0，＋∞)。

12.对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像与性质:

3

典型例题解析 题型一：集合间的关系

例题1：（集合的相等）

（1）．下列集合中表示同一集合的是（ ）

A．M={（3，2）}，N={（2，3）} B．M={4，5}，N={5，4} C．M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1} D．M={1，2}，N={（1，2）}

（2）.下列各式中，正确的是（ ）

A．2?{x|x≤2} B．3∈{x|x＞2且x＜1}

C．{x|x=4k±1，k∈Z}≠{x|x=2k+1，k∈Z} D．{x|x=3k+1，k∈Z}={x|x=3k-2，k∈Z}

变式训练1：

（1）．已知集合A={2，9}，B={m，2}，若A=B，则实数m的值为（ ） A．3 B．2 C．±2 D．±3

（2）．已知集合M={a，2，3+a}，集合N={3，2，a}．若集合M=N．则a=（ ）

4

2

2

A．1 B．3 C．0 D．0或1 （3）．含有三个实数的集合可表示为{a，1，的值为（ ） A．0 B．1 C．-1 D．±1 练一练：

(1)．已知集合A={2，0}，B={m，2}，若A=B，则实数m的值为（ ） A．1

（2）.已知A={-2，2011，x-1}，B={0，2011，x+3x}，且A=B，则x的值为（ ） A．1或-1 B．0 C．-2 D．-1

（3）.含有三个实数的集合可表示为{x，1，的值是（ ） A．1 B．-1 C．2

2009 2

2

2

b220102010 }，也可表示为{a+b，0，a}，则a+ba B．0 C．±1 D．2

y220092009 }，也可表示为{x，0，x+y}，则x+yxD．（-2）2009 例题2：（子集） 例题1：

（1）.已知集合A?{x|x是平行四边形}，B?{x|x是矩形}，C?{x|x是正方形}，

D?{x|x是菱形}，则( )

（A）A?B （B）C?B （C）D?C （D）A?D

（2）.（2009）1.已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是( )

2

（3）．集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3λ+1，λ∈Z}，则M与P的关系是（ ） A．M?P B．M=P C．M?P D．M?P 练一练：集合M={x|x=k+11，k∈Z}，P={y|y=2k-，λ∈Z}，则M与P的关系是（ ） 22A．M?P B．M=P C．M?P D．M?P

5

例题3：（子集的个数问题）

（1）.集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是（ ）

A．32 B．31 C．16 D．15

（2）．已知集合A={1，2，3，4}，那么A的非空真子集的个数是（ ） A．15 B．16 C．3 D．14

（3）.设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（ ） A．16 B．8 C．7 D．4 练一练：

（1）.（2000?广东）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（ ） A．15 B．16 C．3 D．14

（2）.集合A={0，1，2}，若B?A则符合条件的集合B个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

变式训练1：

（1）.集合A={-1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

（2）.已知集合A={1，2，3，4}，满足{1，2}?B?A的集合B有（ ）个． A．2 B．3 C．4 D．5

（3）.满足{1}?A?{1，2，3}的集合A的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．8

练一练：

（1）.满足{a，b}?M?{a，b，c，d，e}的集合M的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9

(2).设集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5，6}的集合B的个数是（ A．4 B．8 C．16 D．32

题型二：集合的运算

例题1：（交集的运算）

（1）.已知集合A??1,3,5,7,9?,B??0,3,6,9,12?,则A?B?( ) A． ?3,5? B. ?3,6? C. ?3,7? D. ?3,9?

6

）

（2）.设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数}，则M∩N=（ ） A.{2,4}

（3）若集合M={x||x|≤2}，N={x|x-3x=0}，则M∩N等于（ ） （ ）

A．{3} B．{0} C．{0，2} D．{0，3}

(4)设集合 M={x|（x+3）（x-2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（ ） A．[1，2） B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3] 练一练：

2

B.{1,2,4} C.{2,4,8} D.{1,2,8}

Nx,?5, (1)若集合A={X∣（2x+1）（x-3）＜0｝，B?x?（A） {1,2,3,} (B) {1,2, }

?则A∩B是（ ）

(C) {4,5} (D) {1,2,3,4,5}

（2）（2007）.已知集合M?{x|1?x?0},N?{x|1?0},则M?N=（ ） 1?x A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1}

变式训练1：已知集合A?{(x,y)|x,y为实数，且x?y?1}，B?{(x,y)|x,y为实数，且x-y=1

练一练：（2011）2.已知集合A?{(x,y)|x,y为实数，且x?y?1}，B?{(x,y)|x,y为实数，且x?y?1}，则A?B的元素个数为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

例题2：（集合的并集及补集运算）

2222?，则A?B的元素个数为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

1,2,4?则集合A?B?( ） （1）((2010)若集合A??0,1,2,3?，B??1,2? 1,2,3,4? C.?0? D. ?A. ?0,1,2,3,4? B. ?

(2)已知集合M={x|-2＜x≤5}，N={x|x＜-5或x＞5}，则M∪N=（ ） A．{x|x＜-5或x＞-2} B．{x|-5＜x＜5} C．{x|-2＜x＜5} D．{x|x＜-3或x＞5}

7

（3）知集合U={1，3，5，7，9}，A ={1,5,7}，则CUA?（ ） A．{1，3} B.{3，7，9}

例题3：（集合的混合运算）

（1）若A位全体实数的集合，B???2,?1,1,2?则下列结论正确的是（ ）

A．A?B??2,?1? B． (CRA)?B?(??,0) C．A?B?R

D． (CRA)?B??2,?1? C.{3，5，9}

D.{3,9}

??（2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 (CUA)?(CUB)?

(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

（3）若全集U={x∈R|x≤4}，则集合A={x∈R||x+1|≤1}的补集?UA为（ ） A．{|x∈R|0＜x＜2|} B．{|x∈R|0≤x＜2|} B．C．{|x∈R|0＜x≤2|} D．{|x∈R|0≤x≤2|} 练一练：

（1）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=（ ）

A．{1，2，3，4，6} B．{1，2，3，4，5} C．{1，2，5}

（2）已知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}则Cu（A∪B）（ ） A．{6，8} B．{5，7}

C．{4，6，7}

D．{1，3，5，6，8}

D．{1，2}

2

（3）已知全集U=R，集合M={x||x-1|≤2}，则CUM=（ ） A．{x|-1＜x＜3} B．{x|-1≤x≤3} C．{x|x＜-1，或x＞3}

例题4：（参数的计算）

（1）设集合A??x||x-a|<1,x?R?,B??x|1?x?5,x?R?.若A?B??，则实数a的取值范围是（ ）

D．{x|x≤-1，或x≥3}

?a|0?a?6?D.?a|2?a?4?

A．

B.

?a|a?2,或a?4? C.?a|a?0,或a?6?

2（2）.集合A??0,2,a?,B?1,a,若A?B??0,1,2,4,16?,则a的值为（ ）

??8

A.0 B.1 C.2 D.4

题型三：类指数函数及类对数函数的定义域 例题1: （1）函数y?2x?1的定义域是（ ） A．（-∞，0] B．（-∞，0）

(2)函数f（x）=lg1-x2的定义域为（ ） A．[0，1] B．（-1，1） C．[-1，1] D．（-∞，-1）∪（1，+∞）2006） （3)（2007?广东）已知函数f(x)=则M∩N=（ ） A．{x|x＞-1}

(4)函数f(x)? B．{x|x＜1} C．{x|-1＜x＜1} D．? C．[0，+∞） D．（0，+∞） 1 的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，1-x3x21?x?lg(3x?1)的定义域是（ ）

A.(?,??) B. (?,1) C. (?,) D. (??,?) 练一练：

（2010）2．函数，f(x)?lg(x?1)的定义域是 ( )

A．(2，??) B．(1,??) C．[1，??) D．[2，??)

13131133131?lg(1?x)的定义域是( ) 1?x A.(??,?1) B.(1,??) C.(?1,1)?(1,??) D.(??,??)

（2011）4.函数f(x)? 例题2： 函数f(x)=1 的定义域为（ ） log2(?x2?4x?3)B．（-∞，1）∪（3，+∞） C．（1，3） D．[1，3] A．（1，2）∪（2，3）

9

（2008?江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g(x)=A．[0，1] B．[0，1）

练一练：

（1）.若函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数f(x)的定义域是（ ）

A．[－4，4] B．[－2，2] C． [0，2] D． [0，4]

（2）.若y?f?x?的定义域是?0,2?，求函数f?x?1??f?2x?1?的定义域.

课后强化练习 1.下列命题中，正确的有 （ ） ①空集是任何集合的真子集

f(2x) 的定义域是（ ） x?1 C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1） ? ②若A??B，B ?C，则A??C

③任何一个集合均有两个或两个以上的真子集 ④如果凡不属于B的元素也不属于A，则AB

（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④ 2.集合M{1,2,3}的真子集的个数是 （ ）

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9 3.已知{1,2}M??{1,2,3,4}，则符合条件的集合M的个数是 （ ）

（A）3 （B）4 （C）6 （D）8 4.已知M{}，，则下列关系中正确的是 （ ）

（A）N??M （B）M （C）MN （D）M??N

5.下列六个关系式中：①{a，b}={b，a}；②{a，b}{b，a}；③；④{0}；⑤??{0}；⑥0，其中正确的个数是 （ ）

（A）1 （B）3 （C）4 （D）6 6.已知集合，集合，则集合是（ ）

（A）{-1,2,3} （B）{-1,-2,3} （C）{1,-2,3} （D）{1,-2,-3} 7.设集合,，则( )

（A）{0,1} （B）{-1,0,1} （C）{0,1,2} （D）{-1,0,1,2} 8.若集合{1,3,x},{1,},{1,3,x}，则满足条件的实数x有（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 9.已知集合，，则等于（ ）

（A）(0,1),(1,2) （B）{(0,1),(1,2)} （C）{y|y=1或y=2} （D）{y|y} 10.已知全集U={2,5,8}，且,则集合A的真子集的个数为（ ）

10

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 11.已知全集U={2,3,5}，集合A={2，|a-5|}，若{3}，则a的值为（ ）

（A）0 （B）10 （C）0或10 （D）0或-10

12.若A=?x|x?1?0?，B=?x|x?3?0?，则A?B=（ ） (A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)

13.设集合A=x?3?2x?1?3，集合B为函数y=lg（x-1）的定义域，则A?B=（ ） （A）（1，2） （B）[1, 2]（C） [ 1，2 ） （D）（1，2 ]

第一部分 选择题（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、设集合M={y|y=2x，x∈R}，N={y|y=x2+1，x∈R}，则M∩N是（ ）

A．?

B．有限集 C．M D．N

2、集合A={y|y=lgx，x＞1}，B={-2，-1，1，2}则下列结论正确的是（ ） A．A∩B={-2，-1} B．（CRA）∪B=（-∞，0） C．A∪B=（0，+∞） D．（CRA）∩B={-2，-1}

3、若复数z满足方程z2?2?0，则z3?（ ）

A.?22 B. ?22 C. ?22i D. ?22i

4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）

A.y??x3 ,x?R B. y?sinx ,x?R C. y?x ,x?R D. y?()x ,x?R

12A

D 图1

????5、如图1所示，D是?ABC的边AB上的中点，则向量CD?（ ） ????1????????1????A.?BC?BA B. ?BC?BA

22????1????????1????C. BC?BA D. BC?BA

22B C

6、给出以下四个命题：（ ） ①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

11

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是

A.4 B. 3 C. 2 D. 1

7、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）

A.5 B.4 C. 3 D. 2 8、函数y?f(x)的反函数y?f?1(x)的图像与y轴交于点

y 4 2 y?f?1(x) P(0,2)（如图2所示），则方程f(x)?0在[1,4]上的根是x?（ ）

A.4 B.3 C. 2 D.1

?1 O 3 y x ?x?0?y?0?9、在约束条件?下，当3?x?5时，目标函数

y?x?s???y?2x?4z?3x?2y的最大值的变化范围是（ ）

A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

10、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)?(c,d)，

y?图2x2 ?4 x?y?s O 图3 x 当且仅当a?c,b?d；运算“?”为：

(a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)；运算“?”为：(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d)，设p,q?R，若(1,2)?(p,q)?(5,0)，则(1,2)?(p,q)?（ ）

A.(4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,?4)

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

11、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 12、在(x?)11的展开式中，x5的系数为________.

13、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,?堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)?_____；f(n)?_____（答

案用n表示）.

图4

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、(本题14分)已知函数f(x)?sinx?sin(x?2x?

?2),x?R.

12

(I)求f(x)的最小正周期；

(II)求f(x)的的最大值和最小值； (III)若f(?)?3，求sin2?的值. 4

15、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X的分布如下：

0?6 7 8 9 10 X

0 0.2 0.3 0.3 0.2 P

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为?. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求?的分布列

(III) 求?的数学期望E?.

13

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e4p7.html