河北省衡水市2013届高三下学期高考信息卷理科数学(2)

河北省衡水市2013届高三下学期高考信息卷理科数学（2）

一、选择题 1 ．复数z?(1?i)1?i2(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于

B．第二象限

2（ ）

D．第四象限

（ ）

A．第一象限

2 ．若集合A??1,mC．第三象限

?,B??2,4?,则“m?2”是“A?B??4?”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 件

3 ．令an为(1?x)n(n?3)2n?1D．既不充分也不必要条

的展开式中含xn(n?1)2n?1项的系数,则数列?C．

nn?1?1??的前n项和为 （ ） a?n?A．

B． D．

2nn?1

4 ．已知三条不重合的直线m,n,l,两个不重合的平面?,?,有下列命题①若m//n,n??,

则m//?;②若l??,m??且l//m,则?//?;③若m??,n??,m//?,n//?,则

?//?;④若???,????m,n??,n?m,则n??.其中正确的命题的个数是

A．1

x（ ）

B．2

C．3

D．4

5 ．将函数y?2的图象按向量a?(0,?1)平移得到图象C1,再作出关于y?x对称的图象

C2,则C2的解析式为

（ ）

x?1 C．y?logx?1 D．y?log(x?1)

A．y?log2(x?1) B．y?log2226 ．2011年4月28日,世界园艺博览会(以下简称世园会)在西安顺利开幕,吸引了海内外的

大批游客,游客甲、游客乙暑假去西安看世园会的概率分别为,1134,假定他们两人的行

动相互不受影响,则暑假期间游客甲、游客乙两人都不去西安看世园会的概率为

（ ） A．

12 B．

712 C．

1112 D．

23

?x?1x?[?1,0)7 ．已知f(x)??2,则下列函数的图象对应函数正确的个数为

x?[0,1]?x?1

A．1

（ ）

B．2

?2C．3 D．4

8 ．已知函数y?sin(?x??)(??0,?????)为偶函数,在函数的一个周期内,点A,B5,则?,?的

分别为函数的最低点和最高点,且|AB|?值分别为 A．2?,0

5?5（ ）

B．?,

?2

C．

,0 D．?,0

9 ．如图,非零向量OA?a,OB?b且BC?OA,C为垂足,若OC??a,则??

A．a?b|a|2（ ）

B．a?b|a||b| C．

a?b|b|2 D．|a|?|b|a?b 10．已知点F是双曲线

xa22?yb22?1(a?0,b?0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过

F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若?ABE是直角三角形,则该双曲线

的离心率e为 A．2

B．2

C．3

D．1?（ ）

2

11．已知等差数列?an?的前n项和为Sn,a6?0,a7?0,则下列结论不一定成立的是

A．S6?S7

B．S13?0

C．S12?0

（ ）

D．S12?S13

12．春节假期期间,从正月初一休息到正月初七,共七天,某科室共有五人,每天安排一人值班,

每人最多值两天,若值两天均要连续值班,且五人均值班,初一这一天由科长值班,则共

有( )种值班的方法. A．144 B．96

二、填空题 13

．

4（ ）

C．240

?635D．600

若?为锐角,且cos(??)?,则

3?10sin??___________.

214．如图,过抛物线y?4x的焦点任作一条直线交抛物线于A,D两点,若存在一定圆与直线交于B,C两点,使|AB|?|CD|?1,则定圆方程为_____________.

15．某学校共有青年、中年、老年教师630人,为了调查各年龄段

老师的身体状况,现抽取一个容量为n的样本,若样本中青年、中年、老年三年龄段老师的人数成等差数列,已知青年教师共240人,那么老年教师的人数为____________.

16．已知a?0,b?0,a?b?1,则a?三、解答题

17．已知?ABC中,角A,B,C对应的边为a,b,c,sinB?33,A?2B.

1a?b?1b的最小值为______________.

(1)求sinC的值;(2)若角A的平分线AD的长为2,求b的值. 18．甲乙丙丁戊五人做游戏,每人发一张写有一个号码的的卡片(每人不知自己的卡片号码),

然后去坐写有同样号码的五个凳子.

(1)求恰有一人坐的凳子与自己手中号码一致的概率;

(2)若坐凳子与自己手中号码一致,则获得奖金10元,记五人获得奖金数为?,求?的分布列及数学期望.

19．如图,在四棱锥D??ABCE中,底面为直角梯形,AB?2BC?2CE?2,且

AB?BC,AB//CE,平面D?AE?平面ABCE.

(1)求证:AD??EB;

(2)若D?A?D?E,D?A?D?E,求直线AC与平面ABD?所成角的正弦值.

20．已知数列{an}满足：Sn?1?an(n?N)，其中Sn为数列{an}的前n项和.

*（Ⅰ）试求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足：bn?nan(n?N)，试求{bn}的前n项和公式Tn；

*（III）设cn?11?an?11?an?1，数列{cn}的前n项和为Pn，求证：Pn?2n?12．

21．已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所组成的四边形

为正方形，直线l与y轴交于点P(0,m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且AP?2PB． （Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）求m的取值范围。

22．已知函数f(x)?a?sinx2?cosx?bx (a、b?R),

(Ⅰ)若f(x)在R上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为2680,试求a和

b的值.

(Ⅱ)若f(x)为奇函数,

(1)是否存在实数b,使得f(x)在(0,2?3)为增函数,(2?3,?)为减函数,若存在,求出b

的值,若不存在,请说明理由;

(2)如果当x?0时,都有f(x)?0恒成立,试求b的取值范围.

2012年春季期河北衡水高考信息卷理数（2）参考答案

一、选择题

1. B 2. A 3. D 4. B 5. D 6. A 7. B 8. B 9. A 10. B 11. C 12. C 二、填空题

13. 3 14. (x?1)?y三、解答题 17. (1)sinC?59322?1 15. 180 16. 5

(2)b?456

18. (1)记恰有一人坐的凳子与自己手中号码一致的

19.

20.解：（Ⅰ）?Sn?1?an ① ?Sn?1?1?an?1 ②

②-①得an?1??an?1?an ?an?1?又n?1时，a1?1?a1?a1??an?12?(12)nann?112an,(n?N)

*12

*?(12),(n?N)--------------------------------4分

n（Ⅱ）bn??n?2,(n?N)

n*?Tn?1?2?2?2?2Tn?1?222?3?233???n?24n ③

n?1?2?22?3?23???n?2n④

?Tn?2?2?2n???2n?1?n?2n?1③-④得

?2(1?2)1?2

?n?2n?1*?2,n?N-------------------------8分 整理得：Tn?(n?1)2（III）

?cn?11?an?11?an?1?11?(112)n?1?(12n112)n?1?221nn?1?22n?1n?1?1

?2n?1?1?12n?1?1?2n?1?1?2?(?1?1)12n?1?12n?1?1?2n?1n?1?(2?1)(21n?1)?1)(2n?1?222n?1n?2n?2?1?222n?1nn?2?1又

?2n?1?1?12n?12n?1--12分

1?Pn22?2n?(122?123?124??12n?1)?2n?22(1?1?1212n)?2n?12?12n?1?2n?12,n?N

*21.解：（Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为

ya22?xb22?1(a?b?0)，

由题意知a?2，b?c，又a2?b2?c2则b?y22，

所以椭圆方程为

4?x22?1--------------------------------------4分

（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意，直线l的斜率存在， 设其方程为y?kx?m，与椭圆方程联立

?y?2x?4即?， ?y?kx?m222222则(2?k)x?2mkx?m?4?0,??(2mk)?4(2?k)(m?4)?0

222mk?x1?x2??2??2?k由韦达定理知?；--------------------------6分 2m?4?x?x?122?2?k?又AP?2PB，即有(?x1,m?y1)?2(x2,y2?m)

??x1?2x2?x1?x2??x2??2?x1x2??2x2?m2--------------------------------------------8分

2mk2?422?k??2(2?k22)2整理得(9m?4)k?8?2m

2又9m?4?0时不成立，所以k49222?8?2m9m22?4?0--------------------10分

得

?m?4，此时??0

23)?(23,2).----------------------------12分

所以m的取值范围为(?2,?22. (Ⅰ)∵f(x)在x?R上存在最大值和最小值,

∴b?0(否则f(x)值域为R),

a?sinx2?cosx2∴y?f(x)??sinx?ycosx?2y?a?sin(x??)?2y?a1?y2?1

?3y?4ay?a?1?0,

2又??4a?12?0,由题意有ymin?ymax?∴a?2010;

243a?2680,

(Ⅱ)若f(x)为奇函数,∵x?R,∴f(0)?0?a?0,

sinx2?cosx2cosx?1(2?cos)2∴f(x)??bx,f?(x)??b,

(1)若?b?R,使f(x)在(0,

23?)上递增,在(

23?,?)上递减,则f?(23?)?0,

∴b?0,这时f?(x)?231?2cosx(2?cosx)2,当x?(0,23?)时,f?(x)?0,f(x)递增.

当x?(?,?)时f?(x)?0,f(x)递减.

?bcosx?2(1?2b)cosx?1?4b(2?cosx)222(2)f?(x)?

△=4?(1?2b)?b(1?4b)??4(1?3b)

若△?0,即b?13,则f?(x)?0对?x?0恒成立,这时f(x)在?0,???上递

减,∴f(x)?f(0)?0.

?若b?0,则当x?0时,?bx?[0,??),???2?cosx?sinx3?,?, 33?3f(x)?sinx2?cosx?bx不可能恒小于等于0. ????2?cosx?sinx333??不合题意. 3?若b?0,则f(x)?13,若0?b?,则f?(0)?1?3b3?0,

f?(?)??b?1?0,∴?x0?(0,?),使f?(x0)?0,

x?(0,x0)时,f?(x)?0,这时f(x)递增,f(x)?f(0)?0,不合题意.

综上b??,???.

?3?法（2）要使f(x)?0即当x?0时，①式恒成立 当x?0时，①式变为b?sinxx(2?cosx)?1?sinx2?cosx?bx ①在x?[0,??)恒成立

在 (0,??)恒成立，故b???? ?x(2?cosx)??maxsinx设g(x)?sinxx(2?cosx)(x?0)，则

g?(x)?x(2?cosx)cosx?(2?cosx?xsinx)sinx[x(2?cosx)]2x?2xcosx?2sinx??[x(2?cosx)]212sin2x

又令c(x)?x?2xcosx?2sinx?12sin2x(x?0)

2c?(x)?1?2cosx?2xsinx?2cosx?cos2x?2sinx?2xsinx?2sinx(sinx?x)

?sinx?x?0在x?(0,??)恒成立，所以当x?(0,?)时c?(x)?0，即c(x)在(0,?)0在x?(0,?)恒成立，单调递减，故x?(0,?)时，c(x)?c(0)?0，故g?(x)?故g(x)在x?(0,?)单调递减，而

limg(x)?limx?0?sinxx(2?cosx)x?0??limx?0cosx2?cosx?xsinx??12?1?0?13

故g(x)在x?(0,?]上的值域为[g(?),)即[0,)，而当sinx?0时，g(x)?0，当

33sinxx(2?cosx)12x?xcosx12x?x1x11311sinx?0,x??时，g(x)???????

综上可知，b?

13。

limg(x)?limx?0?sinxx(2?cosx)x?0??limx?0cosx2?cosx?xsinx??12?1?0?13

故g(x)在x?(0,?]上的值域为[g(?),)即[0,)，而当sinx?0时，g(x)?0，当

33sinxx(2?cosx)12x?xcosx12x?x1x11311sinx?0,x??时，g(x)???????

综上可知，b?

13。

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