空间解析几何的产生于数形结合作业

空间解析几何的产生与数形结合思想

关键字:空间解析几何的产生与应用,数形结合的思想。

摘要:空间解析几何的产生于生活实践,来源于生活,并且广泛地应用于生活中。它的产生使空间问题与数学问题完美地结合在一起,空间问题数学化。数形结合的思想是很多繁杂的数学问题几何化立体化,清晰而明了,答案呼之欲出,有效地解决了数学问题。 十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面或空间上的点和实数对(x,y)或(x,y,z)的对应关系。x,y(x,y,z)的不同数值可以确定平面或空间上

1

许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线或几何体的性质。这就是解析几何的基本思想。

具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面或空间上建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面或空间上建立了坐标系后，平面或空间上的一条曲线就可由带两或三个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。

解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候

提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。

笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。

解析几何的基本内容: 在解析几何中，首先是建立坐标系。取定两条或三条相互垂直的且具有一定方向和度量单位的直线，叫做一个直角坐标系oxy(oxy)。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)或(x,y,z)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、球坐标和柱面坐标等等。

坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。

解析几何的应用:解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。

在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。

2

在空间解析几何中，研究平面、直线有关性质、柱面、锥面、旋转曲面。

平面、直线、柱面、锥面、旋转面的有些性质,在生活中被广泛地应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

空间几何的解题方法如果与数形结合的思想运用在一起,那么对于解题将会有事半功倍的效果。对于方程或不等式问题,结合图形,做出空间或平面图形,就会使问题清晰明了,答案即呼之欲出,所以在解决数学问题的方法中除了解析法,另外数形结合的方法也是重要的解题方法。 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数形结合思想数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

二、解决函数问题：在函数学习中，函数及其图象为数形结合的学习开辟了广阔的天地。函数的图象是从“形”的角度反映变量之间的变化规律，利用图象的直观性有助

3

于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。如二次函数、指数函数和对数函数等等，根据函数图象讨论函数的性质，借助函数图象的直观解决实际问题。借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 例1：由函数

形，这个封闭图形的面积是_______． 与函数 y = 2 的图象围成一个封闭图

分析：如果利用积分的方法可以做出来,但较为麻烦，而如果借助于图形的对称性并利用割补法，则可将之转化为一个等积矩形的面积问题．可直接看出答案。

三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。某些看似单纯的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型则可能找到新颖别致的解法，借助“形”使我们对问题本身不但有直观的分析，且能有更深刻和实质的了解。

例2：不等式的解集是

分析：如果按照一般的常规解法，该题较繁杂，若转化为图形处理，以形辅数就方便多了。可令，y2=x+2，在同一坐标系中分别作出它们的函数图象。已知原不等式有意义的x值为-2≤x≤2，从图象中观察可见，使y1>y2成立的取值范围是(-2,0)。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

4

六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通向公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

数形结合思想在解题中的应用

1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。

3. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值 问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

5

5、数形结合思想的论文。数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来

解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

（1）以“数”化“形”

由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。

（2）以“形”变“数”

虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，

特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

6

解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

（3）“形”“数”互变

“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数” 而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。

数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

空间解析几何的方法和数形结合的方法在解决各种数学题应用上起到了相辅相成的效果,两者结合,行走在数学王国中,打败天下无敌手。

7

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

结尾语：空间解析几何的产生使我明白了数学产生于生活实践并且服务于生活，数形结合的解题思想使我受益匪浅，解决数学问题可以化繁为简、数学问题几何化、立体化，清晰明了。

引用:高等数学(上、下册)、百度文献、《几何学》。

分工：上半部分及下半部分由李建强、李宏涛合作完成。

8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e4k1.html