层次分析法例题

专题：层次分析法

一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。如果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系统方案的优劣，显然是十分困难的。尤其是物流系统的社会经济评价很难作出精确的定量分析。

层次分析法（Analytical Hierarchy Process）由美国著名运筹学家萨蒂（T．L．Saaty）于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。目前，该方法在国内已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。

◆ 层次分析法的基本原理

人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。假设有n个物品，其真实重量用w1，w2，…wn表示。要想知道w1，w2，…wn的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵A。

如果用物品重量向量W=[w1，w2，…wn]右乘矩阵A，则有：

T

由上式可知，n是A的特征值，W是A的特征向量。根据矩阵理论，n是矩阵A的唯一非零解，也是最大的特征值。这就提示我们，可以利用求物品重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W。从而确定最重的物品。

将上述n个物品代表n个指标（要素），物品的重量向量就表示各指标（要

素）的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。依此类推，如果n个物品代表n个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。

◆ 应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：

（1）将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型（目标层、判断层、方案层）。

（2）标度及描述。同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的重要性之比做出判断，给予量化。

（3）对同属一层次的各要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评价尺度确定其相对重要度，据此构建判断矩阵A。

（4）计算判断矩阵的特征向量，以此确定各层要素的相对重要度（权重）。

（5）最后通过综合重要度（权重）的计算，按照最大权重原则，确定最优方案。

★例题：

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中B1表示功能，B2表示价格，B3表示可维护性。C1，C2，C3表示备选的3种品牌的设备。

目标层

购买设备A 判断层

功能B1 价格B2 维护性B3 方案层

产品C1 产品C2 图 设备采购层次结构图

产品C3

解题步骤：

1、标度及描述

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、

7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

标度 1 3 5 7 9 2、4、6、8 倒数 定义（比较因素i与j） 因素i与j同样重要 因素i与j稍微重要 因素i与j较强重要 因素i与j强烈重要 因素i与j绝对重要 两个相邻判断因素的中间值 因素i与j比较得判断矩阵a ij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij 注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：

aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n

显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A

判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：

●判断矩阵A?B(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；

●判断矩阵B1?C(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示； ●判断矩阵B2?C(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示； ●判断矩阵B3?C(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所 示。

表1判断矩阵A?B A B1 B2 B3 1 1/3 3 1 1/2 1/5 表2 判断矩阵B?C 1B1 B2 B32 5 1 C3 C1 C2 C3B1 1 l/3 3 1 5 3 表3 判断矩阵B2-C 1 1/2 1/7 C1 C1 C2 1/5 1/3 1 C3C1 C2 C3B2 2 1 1/5 C2 7 5 1 表4判断矩阵B C1 C2 C3 B33?C 1 l/3 7 C1 C2 3 1 9 l/7 1/9 1 C3

3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标

一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

●求和法

1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij； 2）将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；

3）将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ， W即为A的特征向量的近似值；

4）求特征向量W对应的最大特征值：

●求根法

1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；wi?n2, …, n）

2）将wi归一化，得到wi?wi?aj?1nij （i =1,

?wi?1n；W=（w1，w2，…wn ）T即为A的特

i征向量的近似值；

3）求特征向量W对应的最大特征值：

(1)判断矩阵A?B的特征根、特征向量与一致性检验 ①计算矩阵A?B的特征向量。

计算判断矩阵A?B各行元素的乘积Mi，并求其n次方根，如

12M1?1??2?，W1?3M1?0.874，类似地有，W2?3M2?2.466，

33W3?3M3?0.464。对向量W?[W1,W2,?,Wn]T规范化，有

W1?W1?Wi?1n?i0.874?0.230 0.874?2.466?0.464类似地有W2?0.684，W3?0.122。所求得的特征向量即为：

W?[0.230,0.648,0.122]T

②计算矩阵A?B的特征根

?11/32??[0.230,0.648,0.122]TAW??315 ????1/21/51??1AW1?1?0.230??0.648?2?0.122?0.69

3类似地可以得到AW2?1.948，AW3?0.3666。

按照公式计算判断矩阵最大特征根：

n(AW)i0.691.9480.3666?max??????3.004

nWi3?0.2303?0.6483?0.122i?1③一致性检验。

实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。

根据层次法原理，利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。 一致性指标：

CI3.004?3?0.003?0.1，查同阶平均?0.002<0.1，CR?RIn?13?1随机一致性指标（表5所示）知RI?0.58，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，

计算CI??max?n?判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

表5 平均随机一致性指标

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 阶数 3 RI 0.58 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 (2)判断矩阵B1?C的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B1?C的特征根、特征向量与一致性检验如下：

W?[0.105,0.258,0.637]T，?max?3.039，CR?0.033?0.1 (3)判断矩阵B2?C的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C的特征根、特征向量与一致性检验如下：

W?[0.592,0.333,0.075]T，?max?3.014，CR?0.012?0.1 (4)判断矩阵B?C的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B?C的特征根、特征向量与一致性检验如下：

W?[0.149,0.066,0.785]T，?max?3.08，CR?0.069?0.1 4、层次总排序

33获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级

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