玉林市田家炳中学2021届高三上学期教学质量检测数学(文)试卷

高三教学质量监测试题

数学(文科)

考生注意:

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合U={0,1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则A∪(?

U

B)=

A.{1}

B.{0,2,4}

C.{1,2,3}

D.{0,1,2,4}

2.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=

A.2-3i

B.2+3i

C.3+2i

D.3-2i

3.已知α为第二象限角,sinα=3

,则sin2α=

A.12

25

B.-

12

25

C.-

24

25

D.

24

25

4.若等差数列{a

n }满足a

2

=20,a

5

=8,则a

1

=

A.24

B.23

C.17

D.16

5.已知单位向量e

1与e

2

的夹角为

2π

,则向量e

1

在向量e

2

方向上的投影为

A.√3

2B.

1

2

C.-√

3

2

D.-

1

2

6.设x∈R,则“x>1

2

”是“2x2+x-1>0”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s值等于

A.0

B.-10

C.-3

D.-2

8.如图,在正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

中,点E,F分别是棱AD,CC

1

的中点,则异面直线A

1

E

与BF所成角的大小为

A.π

6

B.

π

4

C.π

3

D.

π

2

9.函数f(x)=cosx

x

(-

π

2

≤x≤

π

2

且x≠0)的图象可能是

10.小王、小张、小赵三个人是好朋友,其中一个人下海经商,一个人考上了重点大学,一个人参军了.此外还知道以下条件:小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张的小;小王的年龄和大学生的年龄不一样.请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是

A.士兵、商人、大学生

B.士兵、大学生、商人

C.商人、士兵、大学生

D.商人、大学生、士兵

11.将函数f(x)=2sin(2x+π

3

)图象上每一个点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标

不变,再将所得图象向左平移π

12

个单位长度得到函数g(x)的图象,在g(x)图象的所

有对称轴中,离原点最近的对称轴的方程为

A.x=5π

24

B.x=

π

4

C.x=-

π

24

D.x=

π

12

12.点P 为椭圆x 216+y 215=1上任意一点,EF 为圆N:(x-1)2+y 2=1的任意一条直径,则PE ???? ·PF ???? 的取值范围是

A.(8,24)

B.[8,24]

C.[5,21]

D.(5,21) 第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.

13.已知直线l 1:2x-y+1=0与直线l 2:x+by+2=0互相垂直,那么b= ▲ .

14.若双曲线x 24-y 2m =1的焦距为6,则该双曲线的虚轴长为 ▲ .

15.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+32),且f(-2)=3,则f(2020)= ▲ .

16.在三棱锥P-ABC 中,AB=AC=4,∠BAC=120°,PB=PC=4√3,平面PBC⊥平面ABC,则三棱锥P-ABC 外接球的表面积为 ▲ .

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.

(一)必考题:共60分.

17.(本小题满分12分)

已知等差数列{a n }是递增数列,且a 1a 5=9,a 2+a 4=10.

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)若b n =1a n ·a n+1

(n∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n . 18.(本小题满分12分)

某家电公司销售部门共有200名销售员,每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22](单位:百万元)内,现将其分成5组,第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6),[6,10),[10,14),[14,18),[18,22],并绘制出如图所示的频率分布直方图.

(1)求a 的值,并计算完成年度任务的人数

;

(2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取一个容量为25的样本,求这5组分别应抽取的人数;

(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名,奖励海南三亚三日游,求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.

19.(本小题满分12分)

如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为4的正三角形,M,N 分别是BC,CC 1的中点.

(1)证明:平面AMN⊥平面B 1BCC 1.

(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为30°,试求三棱锥M-ANC 的体积.

20.(本小题满分12分)

已知圆(x-4)2+(y-4)2=r 2(r>0)经过抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线E 的准线l 相切.

(1)求抛物线E 的标准方程及r 的值;

(2)设经过点F 的直线m 交抛物线E 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为点C,若△ACF 的面积为6,求直线m 的方程.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=e x -ax+a-1,a∈R.

(1)当a=1时,求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若对任意x∈[a,+∞),f(x)≥0恒成立,求a 的取值范围.

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{x =2-√2t ,y =-1+√2t

(t 为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4

).

(1)判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系;

(2)设点M(x,y)为曲线C 2上任意一点,求2x+y 的最大值.

23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.

(1)求f(x)的最小值

m;

(2)若a,b,c 均为正实数,且满足

a+b+c=m,证明:b 2a +c 2b +a 2c ≥3. 高三教学质量监测试题

数学参考答案(文科)

1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

6.A

7.C

8.D

9.B 10.A 11.C 12.B

13.2 14.2√5 15.3 16.80π

1.解:∵?U B={0,1,4},∴A∪(?U B)={0,1,2,4}.故选D.

2.解:z=i(3-2i)=3i-2i 2=2+3i.故选B.

3.解:∵α为第二象限角,∴cosα=-√1-sin 2α=-√1-

925=-45. ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(-45)=-

2425.故选C. 4.解:根据题意,d=a 5-a 25-2

=-4,则a 1=a 2-d=20-(-4)=24,故选A. 5.解:向量e 1在向量e 2方向上的投影为|e 1|cos 2π3=-12

.故选D. 6.解:∵不等式2x 2+x-1>0的解集为x>12

或x<-1,∴“x>12”是“2x 2+x-1>0”的充分不必要条

件.故选A.

7.解:第一次循环,k=1<4,所以s=2-1=1,k=2;第二次循环,k=2<4,所以s=2-2=0,k=3; 第三次循环,k=3<4,所以s=0-3=-3,k=4,结束循环,所以输出s=-3.故选C.

8.解:作FG∥DC 交DD 1于G,连接AG,如图所示,则AG∥BF,异面直线A 1E 与BF 所成的角,即AG 与A 1E 所成的角,显然Rt△A 1AE≌Rt△ADG,

故∠GAD=∠AA 1E,故∠GAD+∠A 1EA=90°,即AG⊥A 1E.故选D.

9.解:因为f(-x)=

cos (-x )-x =-cosx x =-f(x),所以f(x)为奇函数,故排除选项A,C. 又f'(x)=-sinx ·x -cosx x 2,当x∈(0,π2)时,f'(x)<0恒成立,故函数f(x)在(0,π2

)上单调递减,排除选项D.故选B.

10.解:由“小赵的年龄比士兵的大,大学生的年龄比小张的小”,可知年龄处在中间位置的是“大学生”小赵.而小张的年龄最大,士兵的年龄最小,则小张是“商人”,小王是“士兵”.故选A.

11.解:g(x)=2sin[4(x+π12)+π3]=2sin(4x+2π3),由4x+2π3=π2+kπ,k∈Z,得x=kπ4-π24

,k∈Z,当k=0时,离原点最近的对称轴方程为x=-

π24,故选C. 12.解:P 为椭圆x 216+y 215

=1上任意一点,EF 为圆N:(x-1)2+y 2=1的任意一条直径,PE ????? ·PF ????? =(PN ?????? +NE ?????? )·(PN ?????? +NF ????? )=(PN ?????? +NE ?????? )·(PN ?????? -NE ?????? )=PN ?????? 2-NE

?????? 2=PN ?????? 2-1. ∵a -c≤|PN ?????? |≤a+c,即3≤|PN ?????? |≤5,∴PE ????? ·PF

????? 的取值范围是[8,24],故选B. 13.解:由2×1+(-1)·b=0,解得b=2.故答案为2.

14.解:由√4+m =3,解得m=5.所以双曲线的虚轴长为2√5.故答案为2√5.

15.解:由已知可得,f(x+32)=-f(x),则有f(x+3)=f(x+32+32)=-f(x+32

)=f(x),

则3是函数f(x)的一个周期,所以f(2020)=f(673×3+1)=f(1).又f(-2)=3,所以f(1)=f(-

2)=3,所以f(2020)=3,故答案为3.

16.

解:如图,设△ABC 外接圆的圆心为O 1,连接O 1C,O 1A,BC∩O 1A=H,连接PH.

由题意可得AH⊥BC,且AH=12O 1A=2,BH=12BC=2√3.

因为平面PBC⊥平面ABC,且PB=PC,所以PH⊥平面ABC,

且PH=√(4√3)2-(2√3)2

=6.设O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心,

连接OO 1,OP,OC,过O 作OD⊥PH,垂足为D,则外接球的半径R 满足R 2=O O 12+42=(6-OO 1)2+O 1H 2,即

O O 12+16=(6-OO 1)2+4,解得OO 1=2,从而R 2=20,故三棱锥P-ABC 外接球的表面积为4πR 2=80π.故

答案为80π. 17.解:(1)设{a n }的公差为d,因为a 1a 5=9,a 2+a 4=10,

所以{a 1(a 1+4d )=9,a 1+d +a 1+3d =10, ................................................. 2分 解得a 1=1或9,a 5=9或1, ....................................................... 3分 由于数列为递增数列,则a 1=1,a 5=9. .............................................. 4分 故d=2,从而a n =1+2(n-1)=2n-1. ................................................. 6分

(2)由于a n =2n-1,则b n =

1a n ·a n+1=1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1). .................... 9分 所以S n =b 1+b 2+…+b n =12(1-13+13-15+…+

12n -1-12n+1)=12(1-12n+1)=n 2n+1. ................. 12分 18.解:(1)因为(0.02+0.08+0.09+2a)×4=1,所以a=0.03, ........................... 2分 故完成年度任务的人数为2a×4×200=48. ........................................ 3分

(2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25=2,第2组应抽取的人数为0.08×4×25=8, 第3组应抽取的人数为0.09×4×25=9,第4组应抽取的人数为0.03×4×25=3,

第5组应抽取的人数为0.03×4×25=3. .......................................... 6分

(3)在(2)中完成年度任务的销售员中,第4组有3人,记这3人分别为A 1,A 2,A 3;第5组有3人,记这3人分别为B 1,B 2,B 3.

从这6人中随机选取2名,所有的基本事件为A 1A 2,A 1A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 1B 3,A 2A 3,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3,A 3B 1,A 3B 2,A 3B 3,B 1B 2,B 1B 3,B 2B 3,共15个, ....... 10分 获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个,故所求概率为615=25

. ............ 12分 19.(1)证明:如图,由直三棱柱ABC-A 1B 1C 1知AM⊥BB 1,又M 为BC 的中点,知AM⊥BC. 因为BB 1∩BC=B,所以AM⊥平面B 1BCC 1.又AM ?平面AMN,

所以平面AMN⊥平面B 1BCC 1. ..................................................... 4分

(2)解:设AB 的中点为D,连接A 1D,CD.

因为△ABC 是正三角形,所以CD⊥AB.

由直三棱柱ABC-A 1B 1C 1知CD⊥AA 1.

所以CD⊥平面A 1ABB 1,所以∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角,即∠CA 1D=30°, .... 7分 所以A 1C=2CD=2×(√32×4)=4√3,在Rt△AA 1C 中,

AA 1=√A 1C 2-AC 2=√48-16=4√2,CN=1AA 1=1×4√2=2√2. .......................... 10分

三棱锥M-ANC 的体积即三棱锥N-AMC 的体积,

所以V=1S △AMC ·CN=1×(√3×42×1)×2√2=4√6. ................................... 12分 20.解:(1)由已知可得,圆心(4,4)到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等,即点(4,4)在抛物线E 上,

则16=8p,解得p=2.故抛物线E 的标准方程为y 2=4x. ................................ 3分

由r=4+p 2,得r=4+22=5. ......................................................... 4分

(2)由已知可得,直线m 的斜率存在,否则点C 与点A 重合. ........................... 5分 设直线m 的斜率为k(k≠0),则直线AB 的方程为y=k(x-1).设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),

联立{y 2=4x ,y =k (x -1),

消去y 得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0, .................................. 6分 则x 1+x 2=2+4

k 2,x 1x 2=1. .......................................................... 7分 由对称性可知,C(x 2,-y 2),所以|AF|=x 1+1,|CF|=x 2+1. ................................ 8分 设直线m 的倾斜角为α,则tanα=k,所以sin∠AFC=|sin(π-2α)|=|sin2α|=|2sinαcosα|=

|2sinαcosα|sin 2α+cos 2α=2|tanα|tan 2α+1=2|k |k 2+1, 所以S △AFC =12(x 1+1)(x 2+1)|sin2α|=[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]·

|k |k 2+1=4|k |, .................... 10分 由已知可得4|k |

=6,解得k=±23. ................................................. 11分 故直线m 的方程为y=±23(x-1),即2x±3y -2=0. ................................... 12分

21.解:已知f(x)=e x -ax+a-1,a∈R.

(1)当a=1时,f(x)=e x -x,f'(x)=e x -1,所以f'(1)=e-1=k, ............................ 2分

f(1)=e-1,所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1)=(e-1)(x-1),

即y=(e-1)x. ................................................................. 4分

(2)若对任意x∈[a,+∞),f(x)≥0恒成立,所以f(x)min ≥0.

因为f(x)=e x -ax+a-1,所以f'(x)=e x -a(x≥a).

当a<0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,f(x)min =f(a)=e a -a 2+a-1<-a 2+a<0,不

合题意.

当a=0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(x)min =f(a)=f(0)=0,

所以f(x)≥0恒成立,所以a=0. ................................................. 6分 当a>0时,令f'(x)=0,解得x=lna,所以函数f(x)在(-∞,lna]上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.令φ(a)=a -lna(a>0),则φ'(a)=1-1a =a -1a

, 所以φ(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,φ(a)min =φ(1)=1>0,

所以a>lna(a>0),所以函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,f(x)min =f(a)=e a -a 2+a-1(a>0). ... 8分

f'(a)=e a -2a+1(a>0),当f″(a)=e a -2>0时,a>ln2;当f ″(a)=e a -2<0时,0<a<ln2.

所以f'(a)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,

所以f'(a)min =f'(ln2)=e ln2-2ln2+1=3-2ln2,

因为e 3>4,所以f'(a)>0对于a>0恒成立,

所以函数f(a)在(0,+∞)上单调递增,f(a)>f(0)=0, ............................... 10分 所以f(x)≥0恒成立.综上,可得a≥0,即a 的取值范围为[0,+∞). .................. 12分

22.解:(1)消去t 得C 1的普通方程为x+y-1=0. ..................................... 1分

由ρ=2cos(θ+π4),得ρ=√2cosθ-√2sinθ,ρ2=√2ρcosθ-√2ρsinθ,即x 2-√2x+y 2+√2y=0,

化为标准方程为(x-

√22)2+(y+√22)2=1, ............................................. 2分 即曲线C 2是以(√22,-√22)为圆心,半径为1的圆,圆心到直线x+y-1=0的距离d=|√22-√22-1|√2=√22<1,故曲线C 1与曲线C 2相交. ....................................................... 5分

(2)由M(x,y)为曲线C 2上任意一点,可设{x =√2

2+cosθ,y =-√22+sinθ,

......................... 6分 则2x+y=√22+2cosθ+sinθ=

√22+√5sin(θ+φ),其中tanφ=2, ........................ 8分 故2x+y 的最大值是√22+√5. .................................................... 10分

23.(1)解:当x<-1时,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x∈(3,+∞);

当-1≤x<2时,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6);

当x≥2时,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x∈[6,+∞). ..................................... 3分 综上,f(x)的最小值m=3. ....................................................... 5分

(2)证明:因为a,b,c 均为正实数,且满足a+b+c=3,所以b 2a +c 2b +a 2c +(a+b+c)=(b 2a +a)+(c 2b +b)+(a 2c +c)≥2(√b 2a ·a +√c 2b ·b +√a 2

c ·c )=2(a+b+c),当且仅当a=b=c=1时,等号成立, 所以b 2+c 2+a 2≥a+b+c,即b 2

+c 2+a 2≥3. .......................................... 10分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e3z4.html