无越流含水层中完整井流分析

无越流含水层中完整井流分析

学号：09201030108 姓名：黄 安建工

摘要：潜水完整井流方程的假定条件以及推导过程比承压完整井流要复杂，在

忽略垂直补偿、排泄以及假定含水层均质、各向同性、等厚、水平分布等一些苛刻的条件下推导出。无越流承压完整井流轴对称微分方程是最简单的一种，而后通过潜水井流与承压井流之间的对应关系并假定满足裘布依假定而忽视其他方面差异条件推导出潜水完整微分方程。通过微分方程的解以及结合实际的边界条件分析各因素对水头下降的影响，这对实际试验是有指导意义的。

关键词：无越流；承压完整井流；潜水完整井流；裘布依假定；博尔兹门变换

法；

一、 无越流承压完整井流方程的推导

假定条件：（1）含水层是均质、各向同性的、等厚且水平分布，水合含水层均假设为弹性体；（2）无垂向补给、排泄，即W?0；（3）渗流满足达西定律；（4）完整井，假设流量沿井壁均匀流水；（5）水头下降引起地下水从储蓄中的释放是瞬间完成的；（6）抽水前水头面是水平的；（7）井径五项小且定流量抽水；（8）含水层侧向无限延伸。

由假定（1）～（5）可得到承压井流的基本微分方程(1)

??H??r2 ????1?H??H?? ?0?r??,t?0? (1) ?r?r??t水是连续体，水在孔隙介质中运动的特性微分方程刻画出来，当然这要满足水是可压缩的，介质在垂直方向可压缩，但在水平方向不可变形这一假定。 取x,y,z分别平行于各向异性岩层渗透系数主方向，取△x△y△z为均衡体。

则沿x方向的净流入量为

????

x??x,y,z,t?????x??x??x,y,z,t???y?z?t

(?vx)|(x,y,z,t)(?vx)|(x??x,y,z,t) 同理沿y,z方向也是一样，则均衡体的净流入质量?m为

?(?vx)|(x,y,z,t)?(?vx)|(x??x,y,z,t)????x???(?vy)|(x,y,z,t)?(?vy)|(x,y??y,z,t)?????x?y?z?t?y???(?v)|?(?vz)|(x,y,z??z,t)?z(x,y,z,t)????z??

(2)

由于均衡体内的水质量变化可表示为

?m?(?n?x?y?z)(x,y,z,t??t)?(?n?x?y?z)(x,y,z,t) (3) 则（2）与（3）式相等，经变换可得出地下水运动连续性方程

??(?vx)?(?vy)?(?vz)??(?n?z)?????x?y?z??x?y??x?y?z??t ?

（4）由假定（1）~（3）可知，水和介质的变形符合胡克定律方程（4）右端

???z??可化为?t?1?e?e??z?，由土力学可知

1?e??t?z1?e?z1?e??t??n?z? 均衡体固体厚度，为一定值，所以

???t?(?n?z)

?t?(?e)?(??e?t?e) （5）

根据根据?e?pd?dp??(1?e)和dp??dH,得???和dp??dH,得???t?e?t???e?p?p?t??(1?e)??H?t?H?t???p?p?t????

则将上式代入

??t??n?z? ，得

?z1?e?H?t?H?t?(?n?z)?t?[??(1?e)??e???] 由达西定律 ?x??Kxx???x??z??(??n?)?H?t

?H?x?H?x

)??[???xKxx?H?x????x(Kxx?H?x)?????x(Kxx?H?x)

(?Kxx

其他方向也可作此处理，处理后经转化得出

?(Kxx?H?x)???y(Kyy?H?y)???z(Kzz?H?z)??(??n?)?H?t ?x （6）

定义?s??（??n?)则（6）式可改为

???H????H????H??H??K?K???Kxx????zzs?yy??x??x??x??y??x??z??t （7）

由于假定含水层为均质、等厚、各向同性承压轴对称流，设T=KM,?e??sM 则

??2H1?H??H?T????e??r2r?r??t??

若记

a?T 则又化为

?e

??2H1?H??H??a????r2?r?r?t??

（8）

到此得到承压完整井流微分方程得出，加上（6）、（7) 、(8)的初始条件和边界条件得到承压井流定解问题，表示如下

???2H1?H??H???? ?0?r??,t?0????2?r?r??t???r?H?r,0??H ?0?r???0??H??,t??H0 ?t?0???H?lim2?rT?Q(常量) ?t?0?r?0?r?

二、 博尔兹门变换

对于承压井流的定解问题利用博尔兹门变换法求解，此法是1984年博尔兹门提出的，引入一个二元函数

r2 则

?u?u?4at

r2at2

?r?ur??1?u??2????t4a?t?t （*)

H是u的函数，而u又是r和t的函数，依复合函数求

?H?r?dH?udu?r?dHr导法则，有

du2at （**）

?2H??H???dHr??r2???r???r????r??du2at???dH1du2at?r??dH?

2at?r??du???1dH

2atdu?rd?dH?2atdu??du??u??r22?1dH2atdu???r?dH?2at??du2?2H1dH22所以?r2??r?dH2atdu???2at??du2

?H?dH?u?dH?u??tdu?tdu???t? ?将以上方程代入承压井流微分方程（8） a???2H1?H????r2?r?r??H????t

得

?d2H?u2?(1?u)dH?dudu?初始条件和外边界条件表示为 ??H(u)u???H0

??内边界条件为??lim?u?02udHdu?Q2?T(const)代入初始条件和边界条件积分得

?H0e?uHdH?Q4?T??uudu

即得泰斯公式

?us?HH?Q??e0?4?Tuudu?Q4?TW(u)

***）

****）

（ （

Q?4?TsW(u)

t?r2?1?4?Ts4aW???Q???? (9)

至此得到计算承压井流的三个基本方程。W(u)???e?xuxdx为泰斯井流井函数。

三、 潜水完整井流推导

假定条件为承压井流假定条件的第一条改为“含水层是均质、各向同性、等厚且含水层底板水平”，再加上第（9）条，降深值远远小于潜水含水层厚度，流动满足裘布依假定。

依据裘布依假定，将三维流转化为二维流，均衡体为X和X+△X之间宽度为1的含水层柱体。

均衡体在△t内净流入量为

?V?q(x,t)?t?q(x??x,t)?t (10)

由裘布依假定第二条，水量的增量又可表示为

?V??h(x,t??t)?h(x,t)???x?1??d (11)

令?x?0,?t?0，联立变换得?代入达西定律qx??Kh???h??hKh????d?x??x??t?q?x??d?h?t

dhdx，则得到

（12）

令??122h，于是h????????K???d?x??x??t

以平均值hm代替h,得到hm????????K???d?x??x??t，将剖面二维流问题推广到三

维流问题，得到hm??????????????K???K??hmd???x??x??y??y??t （13）

??2??2?对于均质含水层可化为Khm???x2??y2????Khm???d，引入水力扩散系a???t?d?数，对于轴对称流，类似于承压井流方程可改写为

??2?1?????? a???r2?r?r???t （14）

??至此潜水完整井流微分方程以得出。加上初始条件边界条件可得到潜水完整

???2?1?????????(0?r??,t?0)?Khm?d??r2?r?r??t???12?其中??h,初始边界条件2?井流定解问题 ?????（r,0)??0(0?r??)

???(?,r)??0(t?0)????lim2?rK?Q(const)?r?r?0??四、 承压完整井流与潜水完整井流对比

对于承压井流方程（8），引入势函数??HM，将承压井流改为

??2H1?H??H? （15） KM????e??r2?r?r??t?其中?s?Ka,?e??s?M

???2?1??????KM?????e(0?r??,t?0)??r2?r?r??t????初始边界条件代入边界初始条件可得?????（r,0)??0(0?r??)

???(?,r)??0(t?0)??lim2?rK???Q(const)??rr?0?通过对比可见承压完整井流与潜水完整井流定解形式一致，于是其解?也就相同，注意对应关系

承压井流 潜水井流 含水层厚度：hm M 给水度： ?d ?e 势函数： h2 HM

21将（9）式改写为 H0M?HM?KMKMQ4?KW(u)

其中T?;a??e;u?rue4KMt2

对于承压完整井流抽水方程

12?h20?h2??2Q4?K W(u) （16）

12??s??s 2?由

12?h20?h??1?h20?h??h0?h???ho?h?h0?h0?s??ho?潜水井流方程改为?h0???s?QW(u)，解此方程定流量抽水潜水完整井?s?2?4?K流三个基本方程为

2s(r,t)?h0?h0?Q2?KW(u)，Q?2?K?2h0?s?sW(u)，t?4aW?1r2?2?K?2h0?s?s??Q?????

五、 泰斯井流方程水头下降影响因素分析 5.1、降深的影响因素

从方程s?r,t??Q4?TW?u? 可看出，承压完整井做定流量抽水时，s值随r的增

?r2大而减小，随t的增大而增大。当t?0或r??时，W??4at????0，故s?0。降升??s与抽水流量Q呈正比关系。在抽取地下水后无补给增量与排泄减量的条件下，

开采量全部来自储存量的释放（体现在水头降深s上），只要?e为常量且无滞后释水，则Q与s呈正比。 5.1.1、 弹性给水度?e的影响

降深s随弹性给水度?e的增大而增减小。当抽水流量Q和抽水延续时间t一定时，含水层释水的体积V?Qt一定。若?e大，则下降漏斗浅，即s小；反之，则下降漏斗深，即s大。 5.1.2、 含水层导水系数T的影响

含水层导水系数T对水头降深s的影响，方程s?r,t??Q4?TW?u? 右端有两处

????2rQ? 。s随第一个T的增大而减小，随第二出现T：一是 ，另一是:W??T?4?Tt??4?e??个T的增大而增大。这两个T对s起着相反的作用。对QQ4?TT与 中 T? ? s?，

组成

QT因子，可以理解为内边界条件对s的作用。Q是定流量的内边界条件，

QT而当井半径rw一定时，

可以理解为水力坡度的内边界条件，即在抽水井壁处

????2r? 中 T? ? s?，理解为任一由r至的水力坡度愈大，则s也俞大。对W??T?t??4?e??r??r围成的均衡段内其下游断面流量Qr大于上游断面流量Qr??r必由均衡段内

含水层释水量来均衡，从而导致水头降在漏斗一定且?e一定时，若T大，则s亦大；若T小，则s亦小。

5.1.3、 含水层水力扩散系数a的影响

T在a??e 中 s随a??s?，a（与?e组成a?T?e）对s的影响，我们可以对

任一均衡段（由r与r??r两个圆柱面围闭的含水层体积所构成）任一时刻的漏

斗曲线的分析看出，下游断面的流出水量Qr大于上游断面的流入水量Qr??r，必由均衡段内含水层释放水量来均衡，为此导致水头下降。在漏斗一定（即水力坡度一定）且?e值一定时，若a大，则s亦大；若a小，则s亦小。 5.1.4、 时间t的影响

t?,s? t?0,u??W?u??0,?s?0 t趋向无穷大时，s也趋向于无穷大。注意公式的应用条件，承压井流保持

承压状态，即s不得大于?H0?M?，否则将转化为承压－无压井流，破坏了基本

条件。对于无压井流，s不得大于h0。因为在s?h0以后，流量将变小，破坏了定流量的基本条件，那时，就转变为定降深变流量的条件了。水头扩散系数a 不应理解为含水层某种压力改变后，压力向四周传播的速度。实际上压力传播的速度是以含水层的音速推进，在前面假定中假定了释水瞬时完成。这也就意味着不管抽水持续时间多短，任何r处都瞬时发生水头下降。对含水层而言，a可理解为含水层由于某种因素（外界刺激）破坏原有平衡形成不稳定流动时，地下水水头再分布以适应新条件的速度。在某些条件下，表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动（水头H随时间变化，但水力坡度J不随时间变化的一种不稳定流动）的速度。

5.2、水头下降速度的影响因素

将水头降深s对t求导

?s?Q4?TQ14?TtdW?u??udue?r2

?t?uQ??e???t4?T??u??r2?1??????4a?t2???? （17）

?4at①由此可以看出：对同一时间而言，近处水头下降快，远处慢。 ②对于同一距离、不同时间的下降速率，需要将上式左端再对t求导：

r??sQ??1????e4at2?t4?T?t?t?2rQ?1?4at??e4?T?t?22????2?r2??r??1????4a????t2??e????r24at?1????2?? ?t????Q4?T?1t2?e?4at?r2????4at?1???由此可见：s=s(t)曲线有一拐点。要求拐点位置，令上式等于0。设拐点处时间为t,则：ti?r24a

那么拐点处降深为：si?Q4?TW???r24atiQ4?TW(1)?Q4?T?0.2194?0.0175QT，

该式表明拐点处降深与r无关。

?s?tQ14?Tt?r2由

?s?t?e4at可知当t足够大时（例如t?25r2a）则（17）式变成为

?1 ? （18）

4?KMtQ这意味着，在一定范围内，它们的水头下降速度相同，与r无关。换言之：在一定r范围内，经过一定的抽水时间之后，承压漏斗曲线平行下降。

r2漏斗曲线平行下降范围可按

4at?0.01 近似确定，即 r?0.2at。

六、参考文献

陈崇希、林敏，地下水动力学。武汉：中国地质大学出版社[M]，1999.10.

束龙仓、杨建青、王爱平、章树安，地下水动态预测方法及其应用[M]。北京：中国水利水电出版社，2010.5(3) 30-34.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e3z3.html