第八章 机械振动(A4)

第八章 机械振动

第一课时知识梳理

一、考点内容与要求

内 容 弹簧振子，简谐运动，简谐运动的振幅、周期和频率，简谐运动的位移—时间图象 单摆，在小振幅条件下单摆做简谐运动，周期公式 振动中的能量转化 自由振动和受迫振动，受迫振动的振动频率，共振及其常见的应用 要求 Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ 说明 二、知识结构

定义:生产振动的两个必要条件

描述振动的物理量:振幅A,频率f,周期T。 特征：F回=-kx或a=?周期：T=2π

简谐振动 kx mm k图象：正弦（或余弦）曲线 能量转化：机械能守恒

弹簧振子：T=2π?m 机械振动 受迫振动 实例 k 单摆：T=2π?L g振动频率=策动力频率 共振条件：f固?f策

分组实验：用单摆测定重力加速度

三、本章知识考查特点及高考命题趋势

从近五年来的高考试题来看，直接考查本考点的题目不多，尤其是在综合能力测试中，由于题目的数量和类型的限制，涉及的更小，更多的是在物理单科的测试中，出现了考查振动图像和振动模型的题目。

题型多以选择题，填空题等形式出现。

预计单独考查振动图像和振动模型的可能性不大，更多的会与波的图像结合在一起出题，或以振动的物体为物理情景对综合能力的知识进行考查。但也不排除高考中可能出现再次对单摆的周期公式的应用，对振动图像的理解类的题目。

总之，振动问题要求虽不是很高，但题目内容比较琐碎，复习中要强调细致全面，力求做到切实理解，取得实效。

四、课后练习

1、物体在 附近所做的 运动，叫做机械振动，通常简称为振动。力的方向跟振子偏离 的位移方向相反，总指向 ，它的作用是使振子能返回 ，所以叫做回复力。

2、胡克定律：在弹簧发生弹性形变时，弹簧振子的 跟振子偏离 的位移成正比，这个关系在物理学中叫做胡克定律，通常用公式表示为 ，式中的常数叫做 系数，简称 。

3、简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的 成正比，并且总指向平衡位置的 作用下的振动，叫做简谐运动。

4、振幅：振动物体离开平衡位置的 距离，叫做振动的振幅。做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，叫做振动的周期，在国际单位制中，周期的单位是 。单位时间内完成的全振动的 ，叫做振动的频率，在国际单位制中，频率的单位是 ，简称 ，符号是 。

5、简谐运动的周期和频率由振动系统 的性质所决定，与振动的 无关，因此又称为振动系统的固有周期和固有频率。

6、简谐运动的 图象通常称为振动图象，也叫振动曲线。理论和实验都证明，所有简谐运动的

振动图象都是 或 曲线。

7、如果悬挂小球的细线的 和 可以忽略，线长又比球的 大得多，这样的装置叫做单摆，单摆是实际单摆的 的物理模型。在 很小的情况下，单摆所受的 与偏离平衡位置的 成正比而 相反，单摆做简谐运动。

8、荷兰物理学家 研究了单摆的振动，发现单摆做简谐运动的周期跟 的二次方根成正式，跟 二次方根成反比，跟 、摆球的 无关，并且确定了如下的单摆周期公 。

9、简谐运动的能量：对简谐运动来说，一旦供给振动系统一定的能量，使它开始振动，由于 守恒，它就以一定的 永不停息的振动下去，简谐运动是一种理想化的振动，实际的振动系统不可避免地要受到摩擦和其他阻力，即受到 的作用，系统克服 的作用做功，系统的机械能就要 振动的振幅也逐渐 ，直到最后振动就停下来了，这种 逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。

10、用周期性的外力作用于实际的振动系统，使系统持续的振动下去，这种周期性的外力叫做 ，物体在外界 作用下的振动叫做受迫振动，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于 的频率， 跟物体的 频率没有关系。 的频率接近物体的 频率时，受迫振动的 增大，这种现象叫做共振,声音在共振现象通常叫做 。

11、弹簧振子和单摆的周期：

弹簧振子和单摆的运动都属于 ，但它们的周期关系式有很大的区别，弹簧振子的周期公式为 即其周期只取决于弹簧的

和振子的 与其振动的 ，放置的 无关；单摆的周期公式为 ，即其周期只取决于单摆的 和当地的 ，与摆球的 、摆动的 无关，另外需要特别

注意的是公式中g 值应为 ，与单摆所处的

有关。

第二课时 机械振动及其图象

一、

考点理解

（一） 机械振动 1、械振动

（1）定义：物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动。 （2）产生振动的必要条件：①有回复力存在；②阻力足够小。 （3）回复力的特点

回复力是使物体回到平衡位置的力，它是按力的作用效果命名的，回复力可能是一个力，也可能是一个力的分力，还可能是几个力的合力。回复力的方向始终指向平衡位置，回复力是周期性变化的力。

2、描述振动的物理量 （1）全振动

振动物体的运动状态由振动物体的速度来表征。确定的速度大小和速度方向表征确定的运动状态。振动质点经过一次全振动后其振动状态又恢复到原来的状态。实际上，经过一次全振动后不但振动物体的速度大小和方向回复到原来的状态，振动物体的加速度大小和方向、振动物体的位移大小和方向也恢复到原来的状态。

（2）位称?：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量,其最大值等于振幅。 （３）振幅

即振动质点离开平衡位置的最大距离，常用符号Ａ表示。振幅是标量，是表示质点振动强弱的物理量。

（４）周期

即振动质点经过一次全振动所需的时间，常用符号Ｔ表示。周期是表示质点振动快慢的物理量。简谐运动的周期与振幅无关。

（５）频率

1 即一秒钟内振动质点完成全振动的次数，常用符号f来表示。周期和频率的关系是：f＝T，因此，

频率同样是描述质点振动快慢的物理量。 ３、简谐运动

（1）物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的力作用下的振动叫简谐运动。 （2）回复力F和加速度a与位移x的关系：

F=-?kx, a=?kx/m

注意：①“—”号表示回复力的方向与位移方向相反，即总是指向平衡位置。

②k是比例系数，不能理解成一定是弹簧的劲度系数，只有弹簧振子，才等于劲度系数。 ③判断一个振动是否为简谐运动，可从两方向考虑；a.回复力大小与位移大小成正比。 b.回复力方向与位移方向相反

④机械振动不一定是简谐运动，简谐运动是最简单、最基本的振动。

（3）简谐运动的位移?、回复力F、加速度a、速度υ都随时间做正弦（或余弦）式周期性变化，变化周期为T；振子的动能Ek、系统的势能Ep也做周期性变化，周期为T，但总机械能守恒。 2（4）简谐运动的过程特点 物体 位置 位移?方向 回复力F 方向 大小 加速度a 来源学科网来源学科网来源学科网ZXXK]大小 方向 大小 平衡位 置O 零 零 零

最大位移处M 由O指向M 由OO→M 指向M 由OM→O 指向M 物体 位置 平衡位置 O 最大位移 处M 由O O→M 向M 由M M→O 指向O （5）简谐运动的对称性、多解性

零→?m 零 速度υ 势 能Ep 方向 大小 动 能 A→零 零→A A 由M指向O 由M指向O 由M指向O kA→零 由M指向O kAmkA 由M指向O kAm 零→kA 由M指向O 零→kAm →零 Ek ?m 零 Ekm Epm 零 ?m→零 零→Epm Ekm→零 Epm→零 零→ Ekm

①简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，在

X运动上是一个变加速度的运动,质点运动相同的路程所需的时间不一定相同；它是一个

BA周期性3T4的运动，若运动的时间与周期的关系存在整数倍的关系，则质点运动的路程就不会是唯一的。若是运动时间为周期的一半，运动的路程具有唯一性，若不是具备以上条件，质点运动的路程也是多解的，这是必须要注意的。

②简谐运动的对称性：做简运动的质点，在距平

C0-AT4T2Tt衡位置等距离的两点上时，具有大小相等的速度和加速度，在O点左右相等的距离上的运动时间也是相同的。

（二）简谐运动的图象

（１）简谐运动的图象的物理意义

简谐运动的图象表示运动物体的位移随时间变化的规律，而不是运动质点的运动轨迹。 （２）简谐运动的图象的特点所有简谐运动的振动图象都是正弦（或余弦）曲线。

（３）简谐运动的图象的 作图法

用横轴表示时间，纵轴 表示位移，根据实际数据定

出坐标单位及单位长度，根据振动质点各个时刻的位移 大小和方向画出一系列的点，

再用平滑的曲线连接这些点，得到周期性变化的正弦（或余弦）曲线。如右上图所示。 （4）简谐运动的图象的应用

①从振动图象可直接读出振幅A、周期T及某时刻t对应的位移?。 ②判定质点在某时刻t的v、a、F的方向。

③判定某段时间内振动物体的v、a、F的大小变化及动能、势能的变化情况。

二、方法讲解

１、计算简谐运动路程的4倍振幅法 做简谐运动的质点在振动时间为△t=

tS=4.△A（A为振幅） TnT2（n=1、2、3……）内，质点振动通过的路程为S为：

２、根据简谐运动图象分析简谐运动的情况的基本方法。

简谐运动图象能够反映简谐运动的规律，因此将简谐运动图象跟具体的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。

（1）从简谐运动图象可以直接读出不同

时刻t的位移值，从而知道位移?随时间t的变化情况。

（2）在简谐运动图象中，用做曲线上某点切线的办法可确定各时刻质点的速度大小和方向，切线与?轴正方向夹角小于90时，速度与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时速度越大。当切线与x轴正方向的夹角大于90时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大，表明此时的速度越小。 （3）由于a=-km00x，故可根据图象上各个时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况，同样，只

要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况。

三、考点应用

例1：一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下 列说法正确的是（ ）

Ａ、若t时刻和（t+?t）时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则?t一定等于Ｔ的整倍数 Ｂ、若t时刻和（t+?t）时刻振子运动速度的大小相等，方向相反，则?t一定等于T的整倍数 2Ｃ、若?t＝Ｔ，则在t时刻和（t+?t）时刻振子运动的加速度一定相等

Ｄ、若?t＝T，则在t时刻和（t+?t）时刻弹簧的长度一定相等 2分析：根据题意，画出示意图，如下图对选项A，只能说明这两个时刻振子位于同一位置，设为P，并不能说明这两个时再回到P的时间，故

ACPOAPB刻振子的运动方向一定相同，?t可以是振子由P向B认为?t一定等于T的整数倍是错误的。

对选项B，振子两次到P的位置时可以速度大小相等，方向相反，但并不能肯定?t等于T的整数倍，2选项B也是错误的。

在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C是正桷的。

相隔T的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置可位于P?处，如上图所示，在P处弹2簧处于伸长状态，在P?处弹簧处于压缩状态，弹簧长度并不相等，选项D是错误的。

答案：C

点评：做简谐运动的弹簧振子的运动具有往复性、对称性和周期性，正确理解弹簧振子做简谐运动过程的特点，是判断此类问题的关键。

例2：如右图所示，质量为m的物体放在弹簧上，弹簧在竖直方向做简谐运动，当振

m幅为A时，物体对弹簧的压力最大值是物重的1.5倍，则物体对弹簧的最小压力是 ，欲使物体在弹簧的振动中不离开弹簧，其振幅不能超过 。

分析：本题中弹簧的弹力与重力的合力充当回复力，注意应用简谐运动的对称性进行分析求解。 解答：弹簧的弹力与重力的合力充当物体做简谐运动的回复力F。在振动的最低点处，物体对弹簧压力最大为FN=1.5mg，设向下为正方向，对物体有：F1=mg- 1FN1=-kA；在振动的最高点处，物体对弹

簧压力最小为FN，有F2=m g-

2FN2=kA则FN2=m g-kA=2mg-FN1 =0.5mg。

物体振动到最高点处，若刚好不脱离弹簧，则对弹簧压力为零，重力成为回复力，有F=mg=kA?,又

F2=mg-

FN2=kA,即F2=0.5mg=kA，得A?=2A。

答案：0.5mg；2A。

点评：在振动的最低点处向上的合力最大，加速度向上，物体处于超

x重状态，且加速度最大，所以物体对弹簧的压力最大。同理，在最高点时合力向下，加速度向下最大，且失重，所以压力最小。

振动到最高处刚好不脱离，则弹簧为原长。

例3：把弹簧振子的小球拉离平衡位置后轻轻释放，小球便在其平衡位置两侧做简谐运动，若以?示小球被拉平衡位置的距离，则（ ）。

A、小球回到平衡位置所需的时间随?0的增大而增大 B、小球回到平衡位置所需的时间与?0无关 C、小球经过平衡位置时的速度随?0的增大而增大 D、小球经过平衡位置时的加速度随?0的增大而增大

分析：弹簧振子做简谐运动的周期T等于该装置的固有周期，只由振子的质量和回复力系数决定，与其他因素无关，从最大位移处回到平衡位置需要T时间，不随?0而改变，选项A错误，B正确。弹簧振4子做简谐运动时机械能守恒，?0越大，系统弹性势能越大，到达平衡位置时动能也越大，速度也越大，选项C正确，在平衡位置时回复力为零，加速度为零，选项D错误。

答案：BC

点评：小球拉离平衡位置的距离等于振幅的大小，本题振幅A=?0，弹簧振子的固有周期与振幅无关。 例4：某质点做简谐运动的图象如右图所示，那么在t1、t2、t3、t4时刻，质点动量相同的时刻是 ，动能相同的时刻是 ，加速度相同的时是 。 分析：利用简谐运动图象的物理意义分析求解。

0表

a0t1-at2t3t4t

解答：由于四个时刻位移大小均为a ,则四个位置关于平衡位置对称，质点在四个时刻速度大小相同，四个时刻的动能相同；t1与t4时刻质点都沿x轴正方向运动，则t1与t4时刻动量相同；t2和t3时刻质点都沿x轴负方向运动，则t2与t3时刻动量也相同；t1和t2时刻及t3和t4时刻的位移都分别相同，则t1和

t2时刻加速度相同，t3与t4时刻加速度相同，但t1和t2时刻的加速度与t3和t4时刻加速度大小相等，

方向相反。

所以，动量相同的时刻为t2与t3或t1与t4；动能相同的时刻为t1、t2、t3和t4；加速度相同的时刻为t1、t2（或t3、t4）。

点评：简谐运动图象上偏离平衡位置位移大小相同的点，振动物体具有相同的动能和势能，所受回复力和加速度的大小也相同。对于简谐运动图象题，要注意利用图象的特点进行分析。

四、课后练习

1、（2003·临汾）如右图所示，是一弹簧振子，设向右方向为正，O为平衡位置，则（ ） A、 A→O时，位移为负值，加 速度为负值

B、 O→B时，位移为正值，加 速度为负值

C、 B→O时，位移为负值，速度为负值 D、 O→A时，位移为负值，加速度为正值

2、（2004·天律）如右图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一条竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点，已知OC=h，振子的周期为T，某时刻物体恰经过C点并向上运动，则从此时刻开始的半个周期时间内（ ） A、重力做功2mgh

ACOBxAOB0T2TtmgT

B、重力的冲量大小为2

C、回复力做功为零 D、回复力的冲量为零

m3、（2004·天津）公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向的振动可视为简谐运动，周期为T，取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即t=0，其振动图象如右图所示。则（ ） A、t=B、t=

1412T时，货物对车厢底板的压力最大 T时，货物对车厢底板的压力最小

C、t=D、t=

y03434T时，货物对车厢底板的压力最大 T时，货物对车厢底板的压力最小

tyTy甲2T

0T乙y2Tt0T丙2Tt

0T丁2Tt0A4、（2004·江苏）如下图①中，波源S从平衡位置y=0开始振动，运动方向竖直向上（y轴的正方向），振动周期T=0.01s，产生的简谐波向左、右两个方向传播，波速均为?=80 m/s，经过一段时间后，P、Q两点开始振动，已知距离SP=1.2 m，SQ=2.6 m，若以Q点开始振动的时刻作为计时零点，则在下图②的振动图象中，能正确描述P、Q两点振动情况的是（ ） Ａ、甲为Q点的振动图象 Ｂ、乙为Q点的振动图象 Ｃ、丙为P点的振动图象 Ｄ、丁为P点的振动图象

5、（2004·湖北）如右图所示，在光滑的水平桌面上有一弹簧振子，弹簧劲度系数为k，开始时，振子被拉到平衡位置O的右侧A处， 此时拉力大小为F，然后释放

振子从静止开始向左运动，经过时间t 后第一次到达平衡位置O处，此时振子的速度为?，在这个过程中振子的平均速度为（ ）

A、0 Ｂ、? Ｃ、2Fkt

Ｄ、不为零的某值，但由题设计条件无法求出

第三课时 单摆 受迫振动 共振

一、

考点理解

（一）两种简谐运动类型 1、 水平弹簧振子

（1）回复力的来源：弹簧的弹力充当回 复力，表达式为F=-kx，其中K为弹簧的劲度系数。

AOBPvSv1Q（2）能量转化关系：不计

阻力的情况下，振子的动能和弹簧的弹性势能相

互转化，总能量保持不变。

2、 单摆

（1）单摆（理想化模型）

如右下图所示悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略。线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。

（2）当单摆的最大摆角小

于10时， 单摆的振动近似为简谐运动。

（3）单摆的振动过程中，回复力由重力沿速度方向的分力提供。 如右上图所示当摆球运动到

任一点P时重力沿速度方向分力G2=mgsinθ，在θ＜10时，sinθ≈故单摆在θ＜10时振动近似为简谐运动。 （4）单摆的周期T=2?lg000xl，所以回复力F=-

mgl?。

0①上式中只适用于小摆角（θ＜10）的情况下。 ②式中的l单位为m，T的单位为s。

③单摆的振动周期在振幅较小的条件下，与单摆的振幅无关，与摆球的质量也无关。（单摆的等时性） ④摆长是悬点到摆球球心之间的距离，公式中的L应理解为等效摆长。 ⑤g与单摆所处物理环境有关，g为等效重力加速度。 （i）不同星球表面，g=GM/r，式中r为星球表面半径。

（ii）单摆处于超重或失重状态等效重力加速度为g=g0±a，如在轨道上运动的完全失重，等效重力速度g=0.

无论悬点如何运动或还是受别的作用，等效g的取值总是单摆不振动时，摆线的拉力F与摆球质量的比例，即等效重力加速度g=F/ m。

G1GG22θ卫星a=g0，

（5）应用：①测重力加速度g=4?②计时器

（二）振动的能量

1、 摆动过程是一个动能和势能不断转化的过程。

在任意时刻，动能和势能之和等于振动物体总的机械能。没有损耗时，振动过程中总机械能守恒。振动物体的总机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动能量越大。简谐运动的振幅不变，总机械能守恒。

２、阻尼振动

阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。振动系统受到的阻尼越大，振幅减小得越快，振动停下来也越快。阻尼过大时，系统将不能发生振动。

阻尼振动的振幅逐渐减小，因此阻尼振动的机械能不守恒，阻尼振动又叫减幅振动。相对的，振幅不变的振动，叫做无阻尼振动，又叫等幅振动。

注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用。 （三）受迫振动 共振

1、 受迫振动

物体在周期性变化的外力（驱动力）作用 下的振动。

物体做受迫振动时，振动稳定后的振动频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。 2、 共振

共振是一种特殊的受迫振动，当驱动力的频率跟

物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。声音的共振现象叫做共鸣。

3、共振曲线 受迫振动的振幅

2l/T2

A与驱动力的频率f的关系——共振曲线（如右图所示） f固表示振动物体的固有频率，当f= f固时振动最大。

3、 共振的防止和利用 利用共振：使驱动力的频率接

AYcm50-5受迫振动振幅24ts近，直至等于振动系统的固有频率。防止共频率。

振：使驱动力的频率远离振动系统的固有0f固f

二、方法讲解

1、等效法

单摆的周期公式T=2?lg中的l、g分别为等效摆长和等效重力加速度。

（1）等效摆长：摆动时圆孤中心到摆球重心的距离，如图1中双线摆的摆长为（?1sin?+?2）,图2中摆长为

?+r。 ααl1l1l图1

lr图2（2）等效重力加速度：公式中的g应该由单摆所处的空间位置和物理环境决定。比如单摆处在坚直方向的电场中时，等效的g?值等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值。

3、 简谐运动能量转化的分析思路

简谐运动中动能和势能相互转化，总的机械能保

持不变，平衡位置的动能最大，位移最大处势能最大。判断动能和势能变化大小的思路是： 位移?→势能Ep→机械能守恒→动能Ek

4、 共振问题的解题思路和方法

解决共振问题时，必须从驱动力的频率和 固有频率入手寻找解题突破口

（1）对于给定的振动系统，振动的能量由振幅决定。

（2）受迫振动的特点是系统的振动频率等于驱动力的频率。 （3）共振的条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率。

三、考点应用

例1：设想一周期为2s的秒摆从地球表 面移至某一行星的表 面上，其振动图象如 右图所示。已知该行

星质量为地球质量的2倍，则该行星表面处的重力加速度为地球 表面处重力加速度的 倍，该行星半径是地球半径的 倍。

分析:本题是单摆、万有引力定律的综合应用。

解答：从振动图象上可以得出该行星上摆的周期T?=4s。 根据周期公式T=2? 又由万有引力定律:

g?glg，得到：

T21?(T?)?4

GMmR2?mg,得 g=GMR2,

故半径之比为:

R?R?M行M地g?g2?4?22 ??答案:0.25;2

2.

点评：此题将振动图象、简谐振动（单摆）的周期、万有引力定律结合起来进行考查，需要有综合解决问题的能力，这也是高考命题的方向。

例2：做简谐运动的弹簧振子，其振子的质量为m，振动过程中的最大速度为?，从某一时刻算起，半个周期内（ ）

A、弹力做功一定等于零 B、弹力做的功可能是零到C、弹力的冲量一定为零

D、弹簧和振子系统的机械能和动量守恒

分析:经过半个周期,弹性势能恢复原值,因?EP=0,故弹力做功一定为零,所以A对B错。在半个周期内，动量变化不一定为零，故弹力的冲量不一定为零，所以C错。弹簧振子系统，只有重力（或弹力）做功，机械能守恒，但系统所受的合外力冲量不一定为零，动量并不一定守恒，所以D错.

答案:A。

点评：本题讨论问题时也可以通过图象进行，你能由此讨论单摆运动中能量的转化关系吗？ 例3：如下图所示，在光滑的水平面上，有一个绝缘的弹簧振子，小球带负电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平方向向左的恒定的匀强电场，此后（）

A、振子的振幅将增大 B、振子的振幅将减小 C、振子的振幅将不变

D、因不知电场强度的大小，所以不能确定振幅的变化

分析：在加电场前，弹簧振子平衡位置在弹簧原长处，设振幅为A。当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平方向向左的恒定的匀强电场，此位置仍为振动振幅处，而且振子的振动是简谐运动，只是振动

12m?之间的某一值

2

的平衡位置改在弹簧原长右边，且弹簧伸长量x满足kx振幅增大.

答案：A

点评：注意理解加匀强电场后对弹簧振子的影响，通过改变振子的平衡位置使振子振幅增大。(也可类比竖直方向弹簧振子分析)

例4：如下图甲所示为一单摆的共振曲线，求该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振

2?qE,即振子振动的振幅A?=A+x，所以振子的

时摆球的最大加速度和最大速度各为多少？（ g取10 m/s）

分析：由共振曲线知，单摆共振时，频率f=0.5Hz,即

1f固=f=0.5Hz此时振幅A=8cm=0.08m。

由T=f?2?lg,得l?4?g22f，

故摆长l10?4?3.14m?1m. 2?0.520如上图乙所示，?m为最大摆角（共振时），当?m＜5时，F=mgsin?m≈mg?m=mg弧度为单位，当?m很小时，sing?m≈?m，弦Ａ近似为弧长），所以

2210F. am?m?glA?1?0.08m/s?0.8m/sAl（其中?m以

由单摆的机械能守恒，得

12m?m?mgl(1?cos?m)

?2sin2?2m?101A2l222又1?cos?m(?m很小)故

86Acm?m?Agl?0.08?m/s?0.25m/s

42点评：这是一道根据共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和分析的综合题目，涉及到受迫振动、fHZ00.250.50.75共振及单摆固有周期、频率、能量转化等概念和规律.望注意借此培养学生学科内综合能力。

四、课后练习

A

1、（2003.北京）有一摆长为l的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆球的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片，如右图所示（悬点和小钉未被摄入），P为摆动点的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为（ ） A、

l4ll B、2 C、3 D、无法确定 4NPM2、（2000. 安徽春季）已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长la与lb分别为 （ ） A、la=2.5m, B、la=0.9m, C、la=2.4m, D、la=4.0m,

lb=0.9m lb=2.5m lb=4.0m lb=2.4m

123、（2001.全国）细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉

子A，如右图所示。现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速释放。对于以后的运动，下列说法中正确的是（ ）

A、摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小 B、摆球在左、右两侧上升的最大高度一样 C、摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等 D、摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍

CBO

A4、（2002. 安徽）如右图所示，光滑圆槽的半径为R，A为最低点，C

到A的距离远小于R，两质点小球B、C同时释放，要使B、C两小球正好在A点相遇，问B到A点距离H应满足什么条件？

5、一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后发现先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，对这一现象下列说法正确的是（ ）

①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率大于洗衣机的固有频率 ②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小

③当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率 ④当洗衣机振动最剧烈时，固有频率最大 Ａ、①④ Ｂ、②③ Ｃ、①③ Ｄ、②④

６、甲、乙两个单摆，摆球质量相同，做简谐运动时，其周期之比为

2:1。如果两摆的悬点处于同

高度，将摆线拉到水平位置伸直，自由释放摆球，则摆球经过各自的最低点时（ ） A、甲球的动能等于乙球的动能 B、甲摆悬线拉力大于乙摆悬线拉力 C、甲球的机械能等于乙球的机械能

D、甲球的向心加速度等于乙球的向心加速度

7、将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线

上拉力的大小随时间变化的曲线如右图所示。某同学由此图线提供的信息作出了下列判断：①t=0.2s时摆球正经过最低点；②t =1.1s时摆球正经过最低点；③摆球摆动过程中机械能减小；④摆球摆动的周期是

T=1.4s。上述判断中，正确的是（ ）

A、①③ B、②③ C、③④ D、②④

第四课时 机械振动的应用

一、方法讲解

1、弹簧振子的综合应用

弹簧振子振动过程既具有简谐运动的对称性，又具

有能量守恒性。这一特点在往往与牛顿第二定律，动能定理等一起综合运用。

1、 单摆的综合应用

（1）单摆与万有引力定律的综合应用单摆的周期公式T=2?而根据万有引力定律mg=

GMm(R?h)2lg中g为单摆所在位置的重力加速度，

从而可以找出单摆的距地高度。

（２）单摆与圆周运动的综合应用

许多实际的圆周期运动可等效为单摆运动，进而可以利用类比的方法，求出其等效周期来解决相关问题。

３、振动图象的应用

（1）振动图象与波动图象的结合应用，求解此类问题的方法是①在波形图上找出符合题设条件的点；②由振动图线找出周期；③求解相关问题。

（2）振动图象与匀（变）速直线运动的结合应用

求解此类问题的关键是（1）知道固有周期的含义并能准确地在振动图象找出固有周期或表示固有周期的一段图线。

（2）知道振动的振子的作用相当于打点计时器。 （3）会用逐差法分析纸带。

二、方法应用

例1：（江西）如图所示，一质

量不计的轻质弹簧竖直立在地面上，弹簧的上端与盒子A连接在一起,下端固定在地面上.盒子内装一个光滑的小球，盒子内腔为正方体，一直径略小于此正方形边长的金属圆球Ｂ恰好能放在盒内，已知弹簧劲度系数为k＝４００Ｎ／m，弹簧弹力对物体做功的大小与弹簧形变量平

方成正比，盒子Ａ和金属圆球Ｂ质量均为２kg，将Ａ向上提起，使弹簧从自然长度伸长１０cm，从静止释

BA 放盒子Ａ，不计阻力，Ａ和Ｂ一起做竖直方向的简谐振动，g取１０ m/s,求：

（1）盒子A的振幅；

（2）盒子运动到最高点时，盒子A对金属圆球B的作用方向（不要求写出理由） （3）金属圆球B的最大速度。

分析：本题考查的是弹簧振子与牛顿第二定律,动能定理的综合运用.

解答：（1）振幅是振子离开平衡位置的最大距离，竖直方向的弹簧振子的平衡位置在振子起振前的平衡位置处。设系统处于平衡位置时，弹簧压缩?x1，则2mg=?x1，?x1得盒子的振幅为A=0.20m。

（2）当盒子运动到最高点时，系统的加速度方向竖直向下且大于重力加速度g，故盒子A对金属球B的作用力方向向下。

（3）B运动到平衡位置时速度最大，从最高点到平衡位置的过程中，弹力做正功与负功相等，总功为零，由动能定理可得：

22mgA?1.2m.?0.2?2m/s m??m?2gA?2?10?　22g2?　2?　10，可?2mk?400?0.10m 点评：解此类有关弹簧振子问题的关键是

（1）清楚振动过程中的各量含义，尤其是平衡位置所在及回复力是由谁来充当。 （2）会恰当地选择研究对象与相关规律。

例2：水平轨道AB，在B点处与半径R=300m的光滑弧形轨道BC相切，一个质量为M=0.99kg的木块静止于B处.现有一颗质量为m=10g的子弹以?0?500m/s的水平速度从左边射入木块且未穿出，

。试求：?0.5(cos50?0.996，g取10m/s2）

如图所示，已知木块与该水平轨道AB的动摩擦因数?子弹射入木块后，木块需经多长时间停止？

分析：该题所描述的物理过程可划分为三个阶段：第一阶段为子弹与木块发生碰撞获得共同速度；第二阶段为子弹与土块一起在光滑圆弧形轨道上运动；第三阶段为子弹与木块又从B点开始在水平面AB上

做匀减速运动。

要求子弹射入木块后木块的运动时间，关键是第二阶段所经历时间的计算，只有子弹与木块在BC面运动的幅度较小，才可将该阶段的运动看成等效单摆的运动.

解答:现估算如下; 第一阶段：m?0 第二段阶：

12?(M?m)?

①

(M?m)?2?(M?m)gR(1?cos?)

?5m/s

?0.996

②

由此①式得? 代入②式得cos?与本题条件比较可知?该时间为了t1,则t1?50，故子弹与木块在BC面上的一个往返时间为等效单摆运动的半个周期，

??Rg设木块在AB面上的运动时间为t2，由匀减速运动的规律可得 又?(M?m)g?(M?m)a t2??a解得t1?17.2s,t2?1s

故从子弹射入木块到它们停止共需经历18.2s.

点评:一切在竖直平面内放置的光滑圆弧形内轨道上的小幅度运动（运动范围远小于圆弧半径,运动过程中所对应的圆心角小于10）,都可以等效为单摆模型,其等效摆长即为圆弧半径R,其质点的运动周期为

0T?2?Rg

例3：一单摆在山脚下时,在一定时间内振动了N次,将此单摆移至山顶上时,在相同时间内振动了(N-1)

Ov0A次,则此山高度约为地球半径的多少倍？

B

分析:本题考查的是单摆与万有引力定律的综合应用.

解答：以g1、g2分别表示山脚和山顶处的重力加速度，则此单摆在山脚与山顶处的振动周期分别为

T1?2?lg1，T2?2?lg2。

依题意，在相同时间内，此单摆在山脚下振动N次,而在山顶上（N-1）次，则有

2?N所以

NN?1lg1?2?(N?1)g1g2lg2

? ①

又设山脚离地心距离为R1，山顶离地心距离为R2，以m表示地球的质量，根据万有引力定律，有

Gmg1?Gm。 2，g2?RR212

得

g1g2?2R2R12 ②

由①、②式得R2?NN?1R1，此山的高度h=R2-R1=N1?1R1

1N?1故此山的高度为地球半径的倍。

点评：①在距地面h高度处的重力加速度g?(RGM?h)2,式中R为地球表面半径，M为地球的质量；此

公式在其他天体上也适用，只不过R、M应分别为该天体的表面半径和质量。

②如果单摆在h高的人造卫星中，则单摆停摆。因万有引力全部提供卫星绕地球做圆周运动，所需向心力，单摆没有回复力。

x例4：P、Q是一

列波上平衡位置间距离为S的两质点，其振动图线如图甲所示。试求该波的传播速度。

分析:本题考查的是波动图象与振动图象的综合应用.

解答： 若波由P向Q传播，在波形图P、

PQ0T2Tt甲vPQ1Q2s?34??n?Q位置如图乙所示，则 有

乙

（n=０，１，２，３，…）

4s?波速??T??4n?(4n4?s3)T ?3若波由Ｑ传向P在波形图上，Ｐ、Ｑ位置如图丙所示 则有：

s S?11，2，3，?) ??444??n?(n?0，n?1QP1vP2P3 波速???T?(4n4?s1)T

丙 点评：此类题目较难。其方法就是：一定要在波形图上找出符合题中所交待的振动规律的两点，再在波形图上确立两点的平衡位置间距离和波长的关系，进而求出波长，再由振动图线得知周期，则波速可求。

例5：如右图所示，一块涂有炭黑的玻璃板质量为2kg，在拉力F的作用下由静止开始竖直OF向上做匀变速运动，一个装有指针的振动频率为5Hz的电动音叉在玻璃上画出如图所示的曲线，量得0A=1cm，OB=4cm，OC=9cm，则外力F的大小为多少？

ABC分析：此题是将振动问题与匀变速直线运动相结合，主要是要注意到振动的音叉起到了打点计时器作用。

解答：由电动音叉画出的振动图线可知，OA、AB、BC所经历时间均为T2而OA?1cm

?21f?0.1s

AB?OB?OA?3cm BC?OC?OB?5cm

即连续相等时间间隔位移差为2cm。 由?s?at2 ??st22210?（2??2.0m/s 2m/s0.1）?2所以a对玻璃板F-mg=ma

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