大物终结复习资料

7.1选择题

(1) 容器中贮有一定量的理想气体，气体分子的质量为m，当温度为T时，根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x方向的分量平方的平均值是：

13kT3kT2． (B) ?x?．［］

3mm3kTkT22?? (C) ?x． (D) ?x． mm123kT22222222[答案：D。???x??y??z，?x??y??z??，??。]

3m (A)

?x2?

(2) 一瓶氦气和一瓶氮气的密度相同，分子平均平动动能相同，而且都处于平衡状态，则

它们［］

(A) 温度相同、压强相同． (B) 温度、压强都不相同．

(C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强． (D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强．

[答案：C。由w?由??3kT，w氦?w氮，得T氦=T氮； 2pMmol，?氦??氮，T氦=T氮，而Mmol氦?Mmol氮，故p氦?p氮。] RT

(4) 一定质量的理想气体的内能E随体积V的变化关系为一直线，其延长线过E~V图的原点，题7.1图所示，则此直线表示的过程为：［］

(A) 等温过程． (B) 等压过程． (C) 等体过程． (D) 绝热过程．

E O 题7.1图

V

[答案：B。由图得E=kV, 而E?

iipV，i不变，k?p为一常数。] 22(5) 在恒定不变的压强下，气体分子的平均碰撞频率Z与气体的热力学温度T的关系为

[ ]

(A) Z与T无关． (B)．Z与T成正比． (C) Z与T成反比． (D) Z与T成正比．

[答案：C。Z?2?d2?n?2?d2?8RTp1??。]

?MmolkTT

8.1 选择题

(1) 关于可逆过程和不可逆过程有以下几种说法： ①可逆过程一定是准静态过程．

②准静态过程一定是可逆过程．

③不可逆过程发生后一定找不到另一过程使系统和外界同时复原． ④非静态过程一定是不可逆过程． 以上说法，正确的是：［］

(A) ①、②、③、④. (B) ①、②、③.

(C) ②、③、④. (D) ①、③、④.

[答案：D. 准静态过程不一定是可逆过程．因准静态过程中可能存在耗散效应，如摩擦、粘滞性、电阻等。]

(2) 热力学第一定律表明：［］

(A) 系统对外做的功不可能大于系统从外界吸收的热量． (B) 系统内能的增量等于系统从外界吸收的热量．

(C) 不可能存在这样的循环过程，在此循环过程中，外界对系统做的功不等于系统传给外界的热量．

(D) 热机的效率不可能等于1．

[答案：C。热力学第一定律描述个热力学过程中的能量守恒定性质。]

(3) 如题8.1图所示，bca为理想气体绝热过程，b1a和b2a是任意过程，则上述两过程中气体做功与吸收热量的情况是: ［］ (A) b1a过程放热，做负功；b2a过程放热，做负功． (B) b1a过程吸热，做负功；b2a过程放热，做负功． (C) b1a过程吸热，做正功；b2a过程吸热，做负功． (D) b1a过程放热，做正功；b2a过程吸热，做正功．

p a c 1 2 b V O 题8.1图

[答案：B。b1acb构成正循环，ΔE = 0，A净> 0，Q = Qb1a+ Q acb= A净>0，

但Q acb= 0，∴Qb1a>0 吸热; b1a压缩，做负功

b2a cb构成逆循环，ΔE = 0，A净< 0，Q = Qb2a+ Q acb= A净<0，

但Q acb= 0，∴Qb2a<0 放热 ; b2a压缩，做负功]

(4) 根据热力学第二定律判断下列哪种说法是正确的．［］

(A) 功可以全部变为热，但热不能全部变为功．

(B) 热量能从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体． (C) 气体能够自由膨胀，但不能自动收缩．

(D) 有规则运动的能量能够变为无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变为有规则运动的能量．

[答案：C. 热力学第二定律描述自然热力学过程进行的条件和方向性。] 9.1选择题

(1) 下面说法正确的是：（）

（A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有电荷；

（B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。

[答案：D]

(2) 一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0

[答案：C]

(3) 在电场中的导体内部的（）

（A）电场和电势均为零； （B）电场不为零，电势均为零；

（C）电势和表面电势相等； （D）电势低于表面电势。

[答案：C]

10.1选择题 (1) 对于安培环路定理的理解，正确的是：

（A）若环流等于零，则在回路L上必定是H处处为零； （B）若环流等于零，则在回路L上必定不包围电流；

（C）若环流等于零，则在回路L所包围传导电流的代数和为零； （D）回路L上各点的H仅与回路L包围的电流有关。

[答案：C] (2) 对半径为R载流为I的无限长直圆柱体，距轴线r处的磁感应强度B（） （A）内外部磁感应强度B都与r成正比；

（B）内部磁感应强度B与r成正比，外部磁感应强度B与r成反比； （C）内外部磁感应强度B都与r成反比；

（D）内部磁感应强度B与r成反比，外部磁感应强度B与r成正比。

[答案：B]

(3）质量为m电量为q的粒子，以速率v与均匀磁场B成θ角射入磁场，轨迹为一螺旋线，若要增大螺距则要（） （A） 增加磁场B；（B）减少磁场B；（C）增加θ角；（D）减少速率v。

[答案：B]

(4）一个100匝的圆形线圈，半径为5厘米，通过电流为0.1安，当线圈在1.5T的磁场中从θ=0的位置转到180度（θ为磁场方向和线圈磁矩方向的夹角）时磁场力做功为（） （A）0.24J；（B）2.4J；（C）0.14J；（D）14J。

[答案：A]

11.1选择题

(1）一圆形线圈在磁场中作下列运动时，那些情况会产生感应电流（）

（A）沿垂直磁场方向平移；（B）以直径为轴转动，轴跟磁场垂直； （C）沿平行磁场方向平移；（D）以直径为轴转动，轴跟磁场平行。

[答案：B]

(2)下列哪些矢量场为保守力场（） （A） 静电场；（B）稳恒磁场；（C）感生电场；（D）变化的磁场。

[答案：A]

(3) 用线圈的自感系数 L 来表示载流线圈磁场能量的公式W?1LI2（）

m2( A )只适用于无限长密绕线管； ( B ) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺线环； ( C ) 只适用于单匝圆线圈； ( D )适用于自感系数L 一定的任意线圈。

[答案：D]

(4)对于涡旋电场，下列说法不正确的是（）：

（A）涡旋电场对电荷有作用力； （B）涡旋电场由变化的磁场产生； （C）涡旋场由电荷激发； （D）涡旋电场的电力线闭合的。

[答案：C]

12.1 选择题

(1)对于位移电流，下列说法正确的是（）：

（A）与电荷的定向运动有关； （B）变化的电场； （C）产生焦耳热； （D）与传导电流一样。

[答案：B]

(2)对于平面电磁波，下列说法不正确的是（）：

（A）平面电磁波为横波； （B）电磁波是偏振波； （C）同一点E和H的量值关系为

[答案：D]

(3) 图示为一充电后的平行板电容器，A板带正电，B板带负电，开关K合上时，A、B位

移电流方向为（按图上所标X轴正方向回答）（）：

（A） （B） （C） （D） （E）

x轴正向 x轴负向

x轴正向或负向 不确定

?E??H； （D）电磁波的波速等于光速。

A B R k x [答案：B]

7.2填空题

（2）有一瓶质量为M的氢气，温度为T，视为刚性分子理想气体，则氢分子的平均平动动能为____________，氢分子的平均动能为______________，该瓶氢气的内能为____________________．

[答案：w?

Mi5M3i5kT，??kT=k T，E?RT?RT]

222Mmol22Mmol（3）容积为3.0×102m3的容器内贮有某种理想气体20 g，设气体的压强为0.5 atm．则气体分子的最概然速率，平均速率和方均根速率．

[答案：由理想气体状态方程可得?p?1.41??1.60pVRT ?MMmolRTpV?1.41?3.89×102 m/s MmolMRTpV?1.60?4.41×102 m/s MmolM?2?1.73pVRT?4.77×102 m/s ] ?1.73MMmol

（4）题7.2图所示的两条f(?)~?曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线．由此可得氢气分子的最概然速率为___________；氧气分子的最概然速率为___________．

f(?) O 2000 题7.2图

?(m.s-1)

[答案：由?p?1.41RT，及Mmol氢?Mmol氧可知，?p氢=2000 m·s-1 ; Mmol?p氧Mmol氢Mmol氢?又，得?p氧??p氢= 500 m·s-1] ?p氢Mmol氧Mmol氧8.2填空题

(1) 一定量理想气体，从同一状态开始把其体积由V0压缩到V0，分别经历等压、等温、绝热三种过程．其中：__________过程外界对气体做功最多；__________过程气体内能减小

最多；__________过程气体放热最多． [答案：绝热；等压；等压. 从p-V图可知

12

p

绝热 2 0 1 V V0/2 V0

等压 题8.2/图

绝热线下面积最大，故外界做功最多。

由pV?vRT可知，等压过程压缩后温度最低，故内能减小最多。

QT?vRTln因i???

ii?21V2p0V0 ??p0V0ln2,Qp?vCp?T?(?1)vR?T??222V1i?2?ln2,且绝热 Qr=0,故等压放热最多.] 49.2填空题

(1) 在静电场中，电势不变的区域，场强必定为。

[答案：相同]

(2) 一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为，若将点电荷由中心向外移动至无限远，则总通量将。

[答案：q/6ε0, 将为零] (3)

电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比。 [答案：5：6]

10.2 填空题

(1)边长为a的正方形导线回路载有电流为I，则其中心处的磁感应强度。

[答案：

(2)计算有限长的直线电流产生的磁场用毕奥——萨伐尔定律，而用安培环路定理求得（填能或不能）。

[答案：能, 不能]

(3)电荷在静电场中沿任一闭合曲线移动一周，电场力做功为。电荷在磁场中沿任一闭合曲线移动一周，磁场力做功为。

[答案：零，正或负或零]

(4)两个大小相同的螺线管一个有铁心一个没有铁心，当给两个螺线管通以电流时，管内(4)

电介质在电容器中作用（a）——（b）——。

[答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命]

2?0I，方向垂直正方形平面] 2?a的磁力线H分布相同，当把两螺线管放在同一介质中，管内的磁力线H分布将。

[答案：相同，不相同]

题10.9图

11.2 填空题

(1)将金属圆环从磁极间沿与磁感应强度垂直的方向抽出时，圆环将受到。

[答案：磁力]

(2)产生动生电动势的非静电场力是，产生感生电动势的非静电场力是，激发感生电场的场源是。

[答案：洛伦兹力，涡旋电场力，变化的磁场]

(3)长为l的金属直导线在垂直于均匀的平面内以角速度ω转动，如果转轴的位置在，这个导线上的电动势最大，数值为；如果转轴的位置在，整个导线上的电动势最小，数值为。

12[答案：端点，B?l；中点，0]

2

12.2填空题

(1)一个变化的电场必定有一个磁场伴随它，方程为；

?????D?d?D??(j0?)?ds] [答案：?H?dl?I?ls1dt?t

(2)一个变化的磁场必定有一个电场伴随它，方程为；

???d?m?B?????ds] [答案：?lE?dl??dt?t

(3)磁力线必定是无头无尾的闭合曲线，方程为；

??[答案：?B?ds?0 ]

s

(4)静电平衡的导体内部不可能有电荷的分布，方程为。

??[答案：?D?ds??q0???0dVsV ]

7.7 速率分布函数f(?)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为

系统总分子数)．

（1）f(?)d?（2）nf(?)d?（3）Nf(?)d? （4）

??0f(?)d?（5）?f(?)d?（6）?Nf(?)d?

0??2?1答：f(?)?1dN：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率?附近单Nd?位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.

dN表示分布在速率?附近，速率区间d?内的分子数占总分子数的百分比. Nf(?)Nd?dN?(2) Nf(?)d?=表示分布在速率?附近、速率区间d?内的分子数密度． VV(1)f(?)d??(3) Nf(?)d??dN表示分布在速率?附近、速率区间d?内的分子数． (4)(5)

??01f(?)d??N??0dN表示分布在?1~?2区间内的分子数占总分子数的百分比．

??0f(?)d??1表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.

(6)

???21Nf(?)d???dN表示分布在?1~?2区间内的分子数.

?1?2

7.12 题7.12图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题7.12图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?

f(?) (1) (2) f(?) T (1) (2) Mmol O (a)

? 题7.12图

O ? (b)

答：用?p?1.41RT来判断。图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高． Mmol

7.15 试说明下列各量的物理意义． （1）

13ikT（2）kT（3）kT 222i3MiRT（5）RT（6）RT

22Mmol2（4）

答：(1) (2)

1kT表示在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量． 23kT表示在平衡态下，分子的平均平动动能（或单原子分子的平均能量）. 2(3) (4)

ikT表示在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为. 2MiRT表示由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能.

Mmol2iRT表示1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能. 23(6) RT表示 1摩尔自由度为3分子组成的系统的内能，或者说热力学体系内，1摩尔分

2(5)

子的平均平动动能之总和.

7.20 设有N个粒子的系统，其速率分布如题7.20图所示．求 (1)分布函数f(?)的表达式； (2)a与?0之间的关系；

(3)速度在1.5?0到2.0?0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

(5)0.5?0到?0区间内粒子平均速率．

Nf(?) O ?0 2?0

?

题7.20图

解：(1)从图上可得分布函数表达式

?Nf(?)?a?/?0??Nf(?)?a?Nf(?)?0?(0????0)(?0???2?0) (??2?0)?a?/N?0(0????0)?f(?)??a/N(?0???2?0)

?0(??2?0)?(2) f(?)满足归一化条件，但这里纵坐标是N f(?)而不是f(?),故曲线下的总面积为N.由归一化

条件

??00Na??0d??N?可得a?2?0?0ad??N,

2N 3?0(3)可通过面积计算?N?a?(2?0?1.5?0)?(4)N个粒子平均速率

1N 3??????02?0a?2?01??f(?)d????Nf(?)d???d???a?d?

0??0N001123211(a?0?a?0)??0 N329131N1?(a?0.5a)(?0?0.5?0)?a?0?N

284(5) 0.5?0到?0区间内粒子数

0.5?0到?0区间内粒子平均速率

????00.5?0?dNN1?N?0?dNN?0??f(?)d? ??0.5?0.5?00N1N1N332av0N?0a?21?0a?21a?017a?0 ???d??d??(?)??0.5?0.5?00N1N?0N1?0N13?024?0N12427a?07????06N9

8.11 .如题8.11图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统做功126 J．

(1) 若沿adb时，系统做功42 J，问有多少热量传入系统?

(2) 若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统做功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少?

p c b a O d 题8.11图

V

解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差

Q??E?A

?E?Q?A?350?126?224J

abd过程，系统作功A?42J

Q??E?A?224?42?266J系统吸收热量

ba过程，外界对系统作功A??84J

Q??E?A??224?84??308J系统放热

8.12 1mol单原子理想气体从300K加热到350K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外做了多少功? (1) 容积保持不变； (2) 压力保持不变。 解：(1)等体过程

由热力学第一定律得Q??E 吸热Q??E??CV(T2?T1)??iR(T2?T1) 2Q??E?对外作功A?0 (2)等压过程

3?8.31?(350?300)?623.25J 2Q??CP(T2?T1)??吸热Q?i?2R(T2?T1) 25?8.31?(350?300)?1038.75J 2?E??CV(T2?T1)

内能增加?E?3?8.31?(350?300)?623.25J 2.75?623.5?415.5J 对外作功A?Q??E?1038

8.18．设有一以理想气体为工质的热机循环，如题8.18图所示．试证其循环效率为

V1?1V?＝1??2

p1?1p2p p1 绝热 p2 O V2

题图8.18

解：等体过程

V1 V

??vCV(T2?T1) 吸热Q1Q1?Q1??CV(p1V2p2V1?) RR??0 绝热过程Q3等压压缩过程

??vCp(T2?T1) 放热Q2???vCP(T2?T1) Q2?Q2?CP(p2V1p2V2?) RR循环效率??1?Q2 Q1??1?Cp(p2V1?p2V2)Q2?1?Q1CV(p1V2?p2V2)(?1/?2?1)(p1/p2?1)

??1??

8.19 一卡诺热机在1000K和300K的两热源之间工作，试计算 (1) 热机效率；

(2) 若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3) 若高温热源不变，要使热机效率提高到80%，则低温热源温度需降低多少? 解：(1)卡诺热机效率??1?T2 T1??1?(2)低温热源温度不变时，若

300?70% 1000??1?300?80% T1要求T1?1500K，高温热源温度需提高500K

(3)高温热源温度不变时，若

??1?T2?80% 1000要求T2?200K，低温热源温度需降低100K

8.20如题8.20图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中AB和CD是等压过程，BC和DA为绝热过程，已知B点和C点的温度分别为T2和T3．求此循环效率．这是卡诺循环吗?

p A B D O 题图8.20

C V

解：(1)热机效率??1?Q2 Q1???CP(T2?T1) AB等压过程Q1吸热Q1?MCP(TB?TA) Mmol??vCP(T2?T1) CD等压过程Q2??放热Q2??Q2MCP(TC?TD) MmolQ2TC?TDTC(1?TD/TC) ??Q1TB?TATB(1?TA/TB)根据绝热过程方程得到

?1????1??AD绝热过程p?ATA?pDTD

??1??1??1??BC绝热过程pBTB?pCTC

又pA?pBpC?pDTDT ?TCTB??1?T3 T2(2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间．

8.21 (1) 用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000J的热量传向27℃的热源，需要多少功?从-173℃向27℃呢?

(2) 一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于做功就愈有利。当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么?

解：(1)卡诺循环的致冷机

e?Q2T2 ?A静T1?T27℃→27℃时，需作功

A1?T1?T2300?280Q2??1000?71.4J T2280?173℃→27℃时，需作功

A2?T1?T2300?100Q2??1000?2000J T2100(2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同

样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．

9.8一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强． 解: 如9.8图在圆上取dl?Rd?

题9.8图

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为

dE??Rd?方向沿半径向外

4π?0R2则dEx?dEsin???sin?d?

4π?0R??cos?d?

4π?0RdEy?dEcos(???)??积分Ex??0?? sin?d??4π?0R2π?0REy???0??cos?d??0

4π?0R∴E?Ex??，方向沿x轴正向．

2π?0R

9.10(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?

??q 解: (1)由高斯定理?E?dS?

s?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴各面电通量?e?q． 6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e?q 6?0q， 24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?如果它包含q所在顶点则?e?0．

如题9.10图所示． 题9.10 图

9.11均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C·m求距球心5cm，

-3

?58cm ,12cm 各点的场强．

???q解:高斯定理?E?dS?,E4πr2?s?0?q

?0?当r?5cm时，?q?0,E?0 r?8cm时，?q?p4π33(r?r内) 3?∴E?4π32r?r内3?3.48?104N?C?1，方向沿半径向外． 24π?0r??

r?12cm时,?q??4π33 (r外?r内）3?∴E?4π33r外?r内4?13?4.10?10N?C沿半径向外. 24π?0r??9.12半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．

???q解: 高斯定理?E?dS?

s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl

??则?E?dS?E2πrl

S对(1)r?R1?q?0,E?0 ?q?l?

(2)R1?r?R2∴E??沿径向向外

2π?0r(3)r?R2∴E?0

?q?0

题9.13图

9.13 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间各处场强．

解: 如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2， 两面间， E??1?(?1??2)n 2?0?1?(?1??2)n ?1面外， E??2?0?1?(?1??2)n ?2面外， E?2?0?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．

9.18 如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?

则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

?

题9.18图

E??dEy??2???Rd?cos?

?4π?R202????［sin(?)?sin］

224π?0R??

2π?0R?(2)AB电荷在O点产生电势，以U??0

U1??同理CD产生U2?AB2R?dx?dx????ln2

4π?0xR4π?0x4π?0?ln2 4π?0半圆环产生U3?πR???

4π?0R4?0∴UO?U1?U2?U3???ln2? 2π?04?0

4-1

9.19 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线

上的线电荷密度．(电子质量m0=9.1×10kg，电子电量e=1.60×10C)

-31

-19

解:设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强

E??

2π?0r电子受力大小Fe?eE?e? 2π?0re?v2∴?m 2π?0rr2π?0mv2?12.5?10?13C?m?1 得??e

2

9.22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0

-7

mm．B，C都接地，如题9.22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解:如题9.22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2

题9.22图

(1)∵UAC?UAB，即 ∴EACdAC?EABdAB ∴

?1EACdAB???2 ?2EABdACqA S且?1+?2?得?2?qA2q,?1?A 3S3S2qA??2?10?7C 3而qC???1S??qB???2S??1?10?7C

(2) UA?EACdAC?

?1dAC?2.3?103V ?09.23两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量． 解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势

U???R2???E?dr??qdrq ?R24π?r24π?R00

题9.23图

(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：

U?q4π?0R2?q4π?0R2?0

(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?0

4π?0R2得q??R1q R2?q?q'?R1?R2?q ?24π?0R24π?0R2外球壳上电势

UB?q'4π?0R2?q'4π?0R2??ABCDB10.9如题10.9图所示，、为长直导线，C为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半

径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

?解：如题10.9图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

AB 产生B1?0

?CD 产生B2??0I12R，方向垂直向里

CD 段产生B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里 R2?R24?2∴B0?B1?B2?B3?

?0I3?(1??)，方向?向里． 2?R26题10.11图

10.11 如题10.11图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电

源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度．

解： 如题10.11图所示，圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且

I1电阻R2?. ??I2电阻R12????I1产生B1方向?纸面向外

B1??0I1(2???)，

2R2??I2产生B2方向?纸面向里

B2??0I2?

2R2?∴

B1I1(2???)??1 B2I2????有 B0?B1?B2?0

10.12 在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I=5.0 A通过，电流分布均匀.如题10.12图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．

题10.12图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取

?IPdl，坐标如题10.12图所示，取宽为dl的一无限长直电流dI?在轴上点产生dB与R?R垂直，大小为

IRd??0dI?Id??RdB???02 2?R2?R2?R?Icos?d?dBx?dBcos??02

2?R?Isin?d??dBy?dBcos(??)??02

22?R?0∴ Bx???2??2?0I?Icos?d??0I???[sin?sin(?)]??6.37?10?5T 2222?R2?R22?RBy??(??2??2?0Isin?d?)?0 22?R???5∴ B?6.37?10iT

10.18 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，如题10.18图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小 解：

?L??B?dl??0?I

Ir2(1)r?aB2?r??02

RB?(2)a?r?bB2?r??0I

?0Ir 2?R2B??0I 2?rr2?b2??0I (3)b?r?cB2?r???0I22c?b?0I(c2?r2) B?222?r(c?b)(4)r?cB2?r?0

B?0

题10.18图

10.20 如题10.20图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者 共面．求△ABC的各边所受的磁力．

???A解：FAB??I2dl?B

BFAB?I2a?0I1?0I1I2a?方向垂直AB向左 2?d2?d???CFAC??I2dl?B方向垂直AC向下，大小为

AFAC??d?adI2dr?0I1?0I1I2d?a?ln 2?r2?d?同理FBC方向垂直BC向上，大小

FBc??∵dl?d?adI2dl?0I1 2?rdr ?cos45∴FBC?

?d?aa?0I2I1dr?IId?a?012ln

2?rcos45?d2?题10.22图

10.22如题10.22图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 I2=10

cm，求：

(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力； (2)矩形线圈所受合力和合力矩．

? 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

FCD?I2b?0I1?8.0?10?4N 2?d?同理FFE方向垂直FE向右，大小

FFE?I2b?0I12?(d?a)?8.0?10?5N

?FCF方向垂直CF向上，大小为

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5N 2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5N

?????(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

F?7.2?10?4N

合力矩M?Pm?B ∵线圈与导线共面

?????∴ Pm//B

?M?0．

∵?1?0?2?32lB 4∴A?I32lB?4.33?10?2J 4

?.3一半径r=10cm的圆形回路放在B=0.8T的均匀磁场中．回路平面与B垂直．当回路半径

以恒定速率

dr-1

=80cm·s收缩时，求回路中感应电动势的大小． dt2解: 回路磁通 ?m?BS?Bπr 感应电动势大小

??

d?mddr?(Bπr2)?B2πr?0.40V dtdtdt

题11.5图

11.5如题11.5图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，

且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压

UM?UN．

解: 作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时d?m?0 ∴ ?MeNM?0 即 ?MeN??MN 又∵ ?MN?所以?MeN沿NeM方向，

大小为

??a?ba?bvBcos?dl??0Iva?bln?0 2?a?b?0Iva?bln 2?a?bM点电势高于N点电势，即

UM?UN?

?0Iva?bln2?a?b

题11.6图

11.6如题11.6所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以

dI的变化率增大，求： dt(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势． 解: 以向外磁通为正则

b?ad?a?ln] ?b2πrd2πr2πbdd??0ld?ab?adI?[ln?ln] (2) ???dt2πdbdt(1) ?m?b?a?0Ildr??d?a?0Ildr??0Il[ln

11.8 如题11.8图所示，长直导线通以电流I=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线

-1

圈长b=0.06m，宽a=0.04m，线圈以速度v=0.03m·s垂直于直线平移远离．求：d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．

题11.8图

?解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA产生电动势

?I????1??(v?B)?dl?vBb?vb0

D2?dABC产生电动势

?2??∴回路中总感应电动势

CB???(v?B)?dl??vb?0I2π(a?d)

???1??2?方向沿顺时针．

?0Ibv11(?)?1.6?10?8V 2πdd?a

题11.13图

11.13磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题11.13图中位

置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当动势的大小和方向．

?dB＞0时，求：杆两端的感应电dt解： ∵ ?ac??ab??bc

?ab???abd?1d323RdB??[?RB]? dtdt44dtd?2dπR2πR2dBB]?????[?

dtdt1212dt∴ ?ac3R2πR2dB?[?]

412dtdB?0 dt∵

∴ ?ac?0即?从a?c

12.3 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介电常数为?的电介质.当两极板间的电压随时间的变化

dU?k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为dtr处的位移电流密度．

解：圆柱形电容器电容C?2??l R2lnR1q?CU?2??lU R2lnR1D?q2??lU?U??

RRS2?rln2rln2R1R1∴j??D??t?kRrln2R1

12.4试证：平行板电容器的位移电流可写成Id?CdU．式中C为电容器的电容，U是电dt容器两极板的电势差．如果不是平板电容器，以上关系还适用吗? 解：∵q?CU

D??0?∴?D?DS?CU

不是平板电容器时D??0仍成立 ∴ID?CCU SID?d?DdU?CdtdtdU还适用． dt题12.5图

12.5如题12.5图所示，电荷+q以速度v向O点运动，+q到O点的距离为x，在O点处作半径为a的圆平面，圆平面与v垂直．求：通过此圆的位移电流． 解：如题12.5图所示，当q离平面x时，通过圆平面的电位移通量

???D?(1?d?D∴ ID??dtq2xx?a22)

qa2v2(x2?a)322

题12.5图

12.6 如题12.6图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度E=720sin10?tV·m，正

-1

5方向规定如图．试求：

(1)电容器中的位移电流密度；

(2)电容器内距中心联线r=10m的一点P，当t=0和t=

-2

1?10?5s时磁场强度的大小及方向2(不考虑传导电流产生的磁场)．

?D,D??0E ?t?E???0(720sin105?t)?720?105??0cos105?tA?m?2 ∴jD??0?t?t???? (2)∵?H?dl??I0??jD?dS

解：(1)jD?l(S)取与极板平行且以中心连线为圆心，半径r的圆周l?2?r，则

H2?r??r2jD

H?t?0时HP?rjD 2r?720?105??0?3.6?105??0A?m?1 2t?

1?10?5s时，HP?0 212.7 半径为R=0.10m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中．今对电容器匀速充电，

dE13-1-1

=1.0×10 V·m·s．求两极板间的位移电流，并计算电dt容器内离两圆板中心联线r(r＜R)处的磁感应强度Br以及r=R处的磁感应强度BR．

?D?E??0解:(1) jD? ?t?t使两极板间电场的变化率为

ID?jDS?jD?R2?2.8A ????(2)∵?H?dl??I0??jD?dS

lS取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周l?2?r，则

H2?r?jD?r2??0∴H?dE2?r dtrdE?0 2dtBr??0H?当r?R时，BR?

?0?0rdE2dt

?0?0RdE2dt?5.6?10?6T

*12.8有一圆柱形导体，截面半径为a，电阻率为?,载有电流I0． (1)求在导体内距轴线为r处某点的E的大小和方向；

??(2)该点H的大小和方向；

?(3)该点坡印廷矢量S的大小和方向；

(4)将(3)的结果与长度为l、半径为r的导体内消耗的能量作比较． 解:(1)电流密度j0?I0 S由欧姆定律微分形式j0??E得

E?j0???j0??I0，方向与电流方向一致 ?a2(2)取以导线轴为圆心，垂直于导线的平面圆周l?2?r，则

????由?H?dl??j0dS可得

lSr2H2?r?I02

a∴H?I0r，方向与电流成右螺旋 2?a2???(3)∵ S?E?H

∴S垂直于导线侧面而进入导线，大小为

??I02rS?EH?

2?2a4(4)长为l，半径为r(r?a)导体内单位时间消耗能量为

I0r22I0?lr2lW1?I01R?(2)?2? 4a?r?a22单位时间进入长为l，半径为r导体内的能量

I0?lr2 W2?S2?rl?4?a2W1?W2说明这段导线消耗的能量正是电磁场进入导线的能量．

*12.9 一个很长的螺线管，每单位长度有n匝，截面半径为a，载有一增加的电流i，求： (1)在螺线管内距轴线为r处一点的感应电场； (2)在这点的坡印矢量的大小和方向． 解: (1)螺线管内 B??0ni

????B??dS 由 ?E?dl???lS?t取以管轴线为中心，垂直于轴的平面圆周l?2?r，正绕向与B成右螺旋关系，则

E2?r??∴E???B2?r ?t???nrdidir?B?0时，E与B成右螺旋关系；当 ??0，方向沿圆周切向，当dt2?t2dt??di?0时，E与B成左旋关系。 dt题12.9图

??????(2)∵ S?E?H，由E与H方向知，S指向轴，如图所示.

大小为

S?EH?Eni??0n2rdi2idt

-1

*12.10 一平面电磁波的波长为3.0cm，电场强度的振幅为30V·m，试问该电磁波的频率为

2

多少?磁场强度的振幅为多少?对于一个垂直于传播方向的面积为0.5m的全吸收面，该电磁波的平均幅射压强是多大? 解:频率??c??1.0?1010Hz

利用?r?0E??r?0H和S?E0H0可得

B0??0H0??0?0E0?1.0?10?7T

12由于电磁波具有动量，当它垂直射到一个面积为A的全吸收表面时，这个表面在?t时间内所吸收的电磁动量为gAc?t，于是该表面所受到的电磁波的平均辐射压强为：

SEHP?gC??00?C2C?0E02?4.0?10?9Pa

?02C可见，电磁波的幅射压强(包括光压)是很微弱的．

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