大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题

第十六章 量子力学基本原理 第一节 物质波假设及其实验验证练习1 练习1:设光子与电子的德布罗意波长均为λ,试比较 其动量和能量大小是否相同。 其动量和能量大小是否相同。 解: 动量 p = λ光

hh

pe =

p光 = pehc

能量 E光 = hν =2

λ

λ2

mvc pc c hc c = E光 = Ee = mc = = v v λ v v 结论：当电子的德布罗意波长与光子的波长相等时， 结论：当电子的德布罗意波长与光子的波长相等时， 它们动量相等，能量不等，电子的能量较大。 它们动量相等，能量不等，电子的能量较大。 注意：电子运动速率v小于 电子物质波波速u大于 小于c, 大于c, 注意：电子运动速率 小于 电子物质波波速 大于 而光子运动速率c等于光波波速 。 即：v ≠ u ≠c ;而光子运动速率 等于光波波速 c。2

E e > E光

练习2. 练习2. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动， 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，其物质波 波长 λ 与速度 v 有如下关系

(A ) (C )

λ∝v λ∝1 1 2 2 v ch

(B )

λ ∝1 v λ ∝ c2 v2

(D )

h h = 解：λ = = p mv m0v

1 v 2 c2 1 1 ∝ = 2 2 2 2 v v c 1 v c

练习3 计算动能为1KeV 1KeV的电子的德布罗意波长 练习3:P546例1 计算动能为1KeV的电子的德布罗意波长 相对论: 解：由 相对论: E = E 0 + E k

E = E +c p 1 1 E E = (E + E ) E 得：p = c c 1 1 2E E + E = 2E m c + E = c c2 2 2 2 0

2

2

2

2

0

0

k

0

2

2

2 k

0

k

k

k

0

h ∴λ = = p

hc 2E m c + E2 k 0

2 k

h λ = = p两种特例： 两种特例： 特例2

hc 2E m c + E2 k 0

2 k

(1) 若 E k m0 c ( = 0.51Mev )

则 E k2 2 E k m 0 c 2

∴λ ≈

hc = 2E m c2 k 0

h 2E mk

0

h 本题： 本题： k = 1KeV( 0.51MeV) 时： = E λ = 0.39( A) 2E m° k 0

2 2 (2) 若 Ek m0c 2 (= 0.51Mev) 则 E k 2 E k m 0 c hc hc ∴ λ ≈ = E E2 k k

练习 戴维孙—革末电子衍射实验装置如图， 戴维孙 革末电子衍射实验装置如图，自电子枪发 革末电子衍射实验装置如图 射出的电子束经 U =500V电压加速后投射到某种晶 电压加速后投射到某种晶 φ = 20o 时，测得电子流强度出现 体上， 体上，在掠射角 极大值， 第二次 极大值，试计算电子的德布罗意波长及晶体 的晶格常数。 的晶格常数。

me = 9.11 × 10 31 kg 已知： 已知：e = 1.60 × 10 19

C

φ晶体

h = 6.634 × 10 34 J s

解： 先求电子动量Ek = eU = 500eV m0c 2 (= 0.51Mev)

p Ek = = eU 2m∴ p = 2meU

2

φ晶体

由德布罗意公式： 由德布罗意公式： h h λ= = = 5.49 × 10 11 (m) p 2meU 由布喇开公式： 由布喇开公式： 得晶格常数： 得晶格常数：

2 d sin φ = k λ kλ d= = 0.161(nm) 2sinφ

第二节练习1: 练习 ：P574 17. 13o

不确定关系

λ = 10 6 已知： 已知： 光子 λ

= 3000 A , λ 求：光子位置的不确定量解：设光子沿 x 方向运动 由 又

px =

h

λ

| px |=

h λ

x p x ≥ h

λ

2

∴

h λ2 h λ2 x ≥ = = p x 2π h λ 2π λ

3 × 10 λ λ = = × 10 = 0.048( m) 2π λ 2π 7 6

练习2. 设一维运动粒子的波函数图线如图所示，其中 练习2. 设一维运动粒子的波函数图线如图所示， 确定粒子动量精确度最高的是哪一个？ 确定粒子动量精确度最高的是哪一个？x x x x

由不确定关系： 由不确定关系：

x p x ≥ h ; x ↑ , p x ↓

P 练习： 练习：574 17.14 t = 10 8 s , E E 0 = 3.39 eV , 已知: 已知:电子处于某能级 (1)该能级能量的最小不确定量 (1) 求： 该能级能量的最小不确定量 E (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 λ 及 λ :(1) 解:(1) Q E t ≥ h h 1.055 × 10 ∴ E ≥ = = 1.055 × 10 ( J ) = 6.59×10 6 (eV) 10 t 34 26 8

(2) Q E E = hν = λ0

hc 34

hc 6.63 × 10 × 3 × 10 λ= = = 3.67 × 10 ( m ) E E 3.39 × 1.6 × 108 7 19 0

hc 15 λ = E = 7.13 × 10 (m ) 2 ( E E0 )

第三节练习

波函数

薛定谔方程

将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍 将波函数在空间各点的振幅同时增大 倍，则粒 子在空间的分布概率将 1)增大 2 倍， )增大D 3)增大 倍， )增大D倍 2)增大 倍， )增大2D倍 4)不变。 )不变。

第四节 薛定谔方程应用举例(一维问题) 一维问题)例题1 例题1 一维无限深势阱中粒子波函数驻波波长与该粒子 物质波波长是否一致？ 物质波波长是否一致？ΨE 4 = 16 E 1

(x , t )n=4 n=3 n=2 n=1

ψ (x )

2

n=4 n=3 n=2 n=1

E

3

= 9E1

E

2

= 4E1

E1

o 驻波波长： 驻波波长：

a

x

o

a

x

λn = 2a n, n = 1, 2, 3,......

由

k 2 h 2 n 2π 2 h 2 E= = = n 2 E1 2 2m 2ma

( n = 1,2,3,...)E n=4

p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a

n=3 n=2 n=1

h 2a λ= = p n二者是一致的。 二者是一致的。

( n = 1, 2, 3,...)o a

x

例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1:粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 L/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin2 2

L

L

nπ x 2 dx ∴W = ∫ |ψ | d x = ∫ sin 0 L L 1 1 nπ 2 L nπx nπ x sin sin d( )=

=∫ 4 2 nπ 2 L nπ L LL 4L

2

4

2

0

L

4

2

0

=1时 W 当n=1时： =1

1 1 = = 9% 4 2π

=∞时 当n=∞时：W=1/4 =∞

/4处 概率密度为： (2) 在L/4处，概率密度为：2 nπ L 2 nπ | ψ ( L / 4 ) | = sin ( ) = sin L L 4 L 42 2 2

nπ |ψ ( L / 4) | 为最大值时： sin = ±1 为最大值时： 4 nπ π ∴ = ( 2k + 1) ( k = 0,1,2......) 4 22

∴ n = 2( 2k + 1) ( k = 0,1,2......)∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L2 2 2 2 2 38

A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix

1. 将此波函数归一化； 将此波函数归一化； 2. 求出粒子按坐标的概率分布函数； 求出粒子按坐标的概率分布函数； 3. 在何处找到粒子的概率最大？ 在何处找到粒子的概率最大？

解： 1.由归一化条件 得：∞ 2 A A dx = ∫ dx=A 2 arctg x ]∞∞ =A 2π = 1 ∫∞ 1 + ix 1 + x2 ∞

∞

2

∴ A =

1

π

1 ψ (x) = π (1 + ix )

2.概率密度为： 2.概率密度为： 概率密度为

ψ (x ) =2

1 1 = π (1 + x π (1 + ix )2

2

2

)

3. 令：

d ψ (x ) = 0 dx

得：

x=0

处粒子的概率密度最大。 即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e3iq.html