中央电大经济数学基础积分学部分综合练习及参考答案（考试复习用）

经济数学基础综合练习及参考答案

第二部分 积分学

一、单项选择题

1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）． A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x 2. 若

?(2x?k)dx= 2，则k =（ ）．

01 A．1 B．-1 C．0 D． 3．下列等式不成立的是（ ）．

A．exdx?d(ex) B．?sinxdx?d(cosx) C．1 21dx?dx D．lnxdx?d() x2x1 4．若?f(x)dx??e?x2?x2?c，则f?(x)=（ ）.

xxx1?1?1? A. ?e B. e2 C. e2 D. ?e2 244?x 5. ?xd(e)?（ ）．

A．xe 6. 若 A．?x?c B．xe?x?e?x?c 1x1x C．?xe?x?c D．xe?x?e?x?c

?f(x)edx??e?c，则f (x) =（ ）．

1111 B．- C．2 D．-2 xxxx 7. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是( )．

A．C．?xabf(x)dx?F(x) B．?f(x)dx?F(x)?F(a)

ax?aF(x)dx?f(b)?f(a) D．?f?(x)dx?F(b)?F(a)

ab 8．下列定积分中积分值为0的是（ ）． x?x1e?eex?e?xdx dx B．? A．??1?1221 C．????(x3?cosx)dx D．?(x2?sinx)dx

??? 9．下列无穷积分中收敛的是（ ）． A．

???1lnxdx B．???0exdx C．?1????11dxdx D．2?31xx10．设R?(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是

（ ）．

A．-550 B．-350 C．350 D．以上都不对 11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程．

2 A．yx?lny?y?

y B．y?y?xy?e

x2x C．y???xy??e D．y??sinx?y?e?ylnx

1

12．微分方程(y?)2?y?(y??)3?xy4?0的阶是（ ）.

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 ?x1．dedx? ?2 ． ． 2．函数f(x)?sin2x的原函数是 ? 4．若?f(x)dx?F(x)?c，则?e 3．若f(x)dx?(x?1)2?c，则f(x)? . ?xf(e?x)dx= . deln(x2?1)dx? . 5．?dx11xdx? 6．? ． ?1(x2?1)2??17．无穷积分? ．（判别其敛散性） dx是 0(x?1)28．设边际收入函数为R?(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为 ．

．

9. (y??)3?e?2xy??0是 阶微分方程. 10．微分方程y??x2的通解是

三、计算题 12xdxx⒈ ?2dx 2．? xx3．?xsinxdx 4．?(x?1)lnxdx sin5．7．9．??ln30e21e(1?e)dx 6．?xx2e1πlnxxdx 1dx 8．?2xcos2xdx

0x1?lnx?e?10ln(x?1)dx y7?x2?1满足初始条件y(1)?的特解． x42ey?3x11．求微分方程y???0满足初始条件y(?1)?3的特解．

yy12．求微分方程y???lnx满足 yx?1?1的特解.

x13．求微分方程y?tanx?ylny的通解．

x14．求微分方程xy??y?的通解.

lnx15．求微分方程y??2x?y的通解．

16．求微分方程xy??y?xsinx的通解．

10．求微分方程y??

2

四、应用题

1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(x)=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2．已知某产品的边际成本C?(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R?(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

3．生产某产品的边际成本为C?(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

4．已知某产品的边际成本为C?(x)?4x?3(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 5．设生产某产品的总成本函数为 C(x)?3?x(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为R?(x)?15?2x（万元/百吨），求：

(1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

试题答案

一、 单项选择题

1. A 2．A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. C 二、填空题

1?x-cos2x + c (c 是任意常数) 3. 2(x?1) 4. ?F(e)?c 5. dx 2. 23x3?c 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q 9. 2 10. y?231. e?x2三、计算题 1111⒈ 解 ?2xdx???sind()?cos?c xxxx2xdx22．解 ??2?2xd(x)?2x?c ln2xxdx??xcosx??cosxdx??xcosx?sinx?c 3．解 ?xsinsin11(x?1)22ndx=(x?1)lnx??dx 4．解 ?(x?1)lx22x12x2?x?c =(x?2x)lnx?24

3

5．解

?ln30e(1?e)dx=?lnxxe1xx2ln301(1?e)d(1?e)= (1?ex)33x2xee11ln30=56 36．解

?e1dx??lnxd(2x)?2xlnx??2xd(lnx) ?2e???2e??e1e12x2x1dx?2e?4x 1edx?4?2e d(1?lnx)=21?lnx?e217．解

?e21x1?lnx1dx=?e211?lnx?=2(3?1)

1112122sin2xdx=cos2x=? xco2sxdx=-xsin2x??0224020e?1e?1xe?11?1(?1)dx?xlnx(?1)e?dxe?1?(1?)dx 9．解法一 ?lnx =0?0x?1?00x?18．解

20?? =e?1?[x?ln(x?1)] 解法二 令u?x?1，则 e?10＝lne=1

?e?10ee1ee?e?e?1?1 ln(x?1)dx??lnudu?ulnu1??udu=e?u111u10．解 因为 P(x)? 用公式 y?e?1，Q(x)?x2?1 x?dx[?(x?1)exdx?c]?e?lnx[?(x2?1)lnexdx?c]

21?xdx11x4x2x3xc??c]??? ?[x4242x131c7???， 得 c?1 由 y(1)?4214x3x1?? 所以，特解为 y?42x11．解 将方程分离变量：ye?ydy??e3xdx 等式两端积分得 ?21?y21e??e3x?c 231?311e??e?3?c，c =?e?3 236将初始条件y(?1)?3代入，得 ?所以，特解为：3e?y2?2e3x?e?3

1，得 x12．解：方程两端乘以

4

y?ylnx?? xx2x即

lnx xylnxln2x?dx??lnxd(lnx)??c 两边求积分，得 x?x2xln2x?cx 通解为： y?2 由yx?1?1，得c?1 ()??yxxln2x?x 所以，满足初始条件的特解为：y?213．解 将原方程分离变量 dy?coxtdx ylny

两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx

11y?，它是一阶线性微分方程， xlnx11 P(x)??，Q(x)? xlnx11dx??dx??P(x)dxP(x)dx1?exdx?c] 用公式 y?e[?Q(x)e?dx?c]?ex[?lnx1?lnx1lnxedx?c] ?x[?dx?c] ?e[?lnxxlnx ?x(lnlnx?c) 15．解 在微分方程y??2x?y中，P(x)?1,Q(x)?2x

14. 解 将原方程化为：y??由通解公式y?e??dx(?2xe?dx?c)?e?x(?2xexdx?c)

dx?e?x(2xex?2?exdx?c)?e?x(2xex?2ex?c)

?(2x?2?ce?x)

116．解：因为P(x)?，Q(x)?sinx，由通解公式得

x y?1??dxex(?lnx?sinxe?xdx1dx?c) =e1(?sinxelnxdx?c) =(?xsinxdx?c) x1 =(?xcosx?sinx?c) x

四、应用题

1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

5

?C?x0?(2x?40)dx=(x4062?40x)= 100（万元）

46C?(x)dx?c?又 C(x)?x?36令 C(x)?1??0， 解得x?6. 2x36x2?40x?36= =x?40?

xx x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可

使平均成本达到最小. 2．解 因为边际利润

L?(x)?R?(x)?C?(x)=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令L?(x)= 0，得x = 500

x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 ?L??550500(10?0.02x)dx?(10x?0.01x)2550500 =500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元.

3. 解 L?(x) =R?(x) -C?(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令L?(x)=0, 得 x = 10（百台）

又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 L??1210L?(x)dx??(100?10x)dx?(100x?5x2)10121210??20

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4．解：因为总成本函数为

2 C(x)?(4x?3)dx=2x?3x?c

?当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)=2x?3x?18 又平均成本函数为 A(x)?令 A?(x)?2?2C(x)18?2x?3? xx18?0， 解得x = 3 (百台) x2该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为

18?9 (万元/百台) 35．解：(1) 因为边际成本为 C?(x)?1，边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x) = 14 – 2x 令L?(x)?0，得x = 7 A(3)?2?3?3?由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 ?L??87(14?2x)dx?(14x?x2) =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）

78即利润将减少1万元.

6

?C?x0?(2x?40)dx=(x4062?40x)= 100（万元）

46C?(x)dx?c?又 C(x)?x?36令 C(x)?1??0， 解得x?6. 2x36x2?40x?36= =x?40?

xx x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可

使平均成本达到最小. 2．解 因为边际利润

L?(x)?R?(x)?C?(x)=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令L?(x)= 0，得x = 500

x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 ?L??550500(10?0.02x)dx?(10x?0.01x)2550500 =500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元.

3. 解 L?(x) =R?(x) -C?(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令L?(x)=0, 得 x = 10（百台）

又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 L??1210L?(x)dx??(100?10x)dx?(100x?5x2)10121210??20

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4．解：因为总成本函数为

2 C(x)?(4x?3)dx=2x?3x?c

?当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)=2x?3x?18 又平均成本函数为 A(x)?令 A?(x)?2?2C(x)18?2x?3? xx18?0， 解得x = 3 (百台) x2该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为

18?9 (万元/百台) 35．解：(1) 因为边际成本为 C?(x)?1，边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x) = 14 – 2x 令L?(x)?0，得x = 7 A(3)?2?3?3?由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 ?L??87(14?2x)dx?(14x?x2) =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）

78即利润将减少1万元.

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