材料力学课件： 压杆的稳定性

压杆的稳定性1 压杆稳定的概念 2 细长压杆的欧拉临界压力 3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图 4 压杆的稳定计算 5 纵横弯曲的概念1

11.1 压杆稳定的概念

压杆的稳定性是指压杆保 持或恢复原有平衡状态的 能力

11.2 细长压杆的欧拉临界压力理想压杆的概念 完全对中等截面； 载荷作用无偏心； 光滑(球形)铰链。

在线弹性、小变形下，近似地， EIy M ( x) py

压杆的微弯必定发生在抗弯能力最小的纵向截面内， 所以惯性I应为截面最小的惯性矩Imin。P 2 引入记号： k ,改写为 y k y 0 EI2

通解为：3

y A sin kx B cos kx

边界条件: y(0)=0 , y(l)=0 (两端绞支), 即 A sin 0 B cos 0 0 A sin kl B cos kl 0 齐次方程邮非零解的条件， 0 1 nπ 0 sin kl 0 k sin kl cos kl l 由此可得，n 2 2 EI P l2

压杆的临界压力是使弯杆保持压 缩平衡状态的最小压力。

两端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式=〉 Pcr 压杆承受的压力达到临界 压力时的微弯曲线，称为 失稳波形或失稳形式。n=1时的

2 EIl2

失稳波形

一端固支一端绞支压杆的欧拉临界压力

在线弹性、小变形下，近似地，EIy M ( x) Q(l x) py P 引入记号： k 2 ,改写为 EI Q(l x) k 2 y y EI Q 通解为： y A sin kx B cos kx (l x) P 边界条件: y(0)=0 , q(0)=0, y(l)=0 (两端绞支), 即 Q A sin 0 B cos 0 l 0 P Q kAcos 0 Bk sin 0 0 P Q A sin kl B cos kl 0 0 5 P

A,B,Q/P不能同时为零 ，即行列式

0 k

1 0

l 1 0 tan(kl) kl (kl) min 4.5 0

sin kl cos kl

一端固支一端绞支细长压杆的欧拉临界压力公式Pcr

2 EI(0.7l ) 2

各种杆端约束情况下压杆的欧拉 临界压力

压杆端部约束情况

长度系数0.5 0.71 2

两端固定 一端固定，一端绞支两端绞支 一端固定，一端自由

2 EI Pcr ( l )2式中， 为压杆的长度系数。思考：压杆失稳形式

11.3 欧拉公式的适用范围 临界应力总图细长压杆的临界应力Pcr 2 EI cr A ( l )2 A

引入记号

li

称为压杆的柔度或细长比

称是一个无量纲的量，它综合反映了压杆 长度、约束条件、截面形状和尺寸对压杆临 界应力的影响。 细长压杆的临界应力

2E cr 2 I A

图示钢制压杆的稳定性不合要求，可 以采取哪些措施改进设计？其中换用 8 其他钢材对Pcr影响不大，为什么？

i

2.欧拉公式的适用范围 cr p欧拉公式成立的条件： cr 即

2E p 2

E p p2

欧拉公式适用范围 p Q23

5 钢，E=206GPa p 9

p = 200MPa6

2E p

2 206 109200 10

100

3.临界应力总图 cr cr= s sA PO B

cr=a b C cr 2E 2

D

s

P

0 < s 称为小柔度杆， cr = s

s < p 称为中柔度杆， cr = a b 10

1 细长杆的临界应力

2E 2E cr 2 p p引入记号

2E 1 p

2E 欧拉公式的适用范围 1 i p2 中长杆的临界应力(经验公式)

l

cr a b , 2 1

a s 2 b

3 短杆的临界应力(强度问题) 11

cr s , 2

例题 由A3钢制成的矩形截面杆，其两端用绞销支撑如图。已 知截面尺寸：a=40mm,b=60mm。求此杆的临界压力。设l=2.1m, l 1=2m,E=205GPa, p=200MPa。 解：压杆在xoy平面内，

1 2100 z 121.2 iz 17.32压杆在xoz平面内， l 1 2000 y 1 86.6 iz 11.55iz b 2 3 a iy 11.55mm 2 3 17.32mm

l

2E 2 205 109 1 101 6 p 200 10 所以，压杆为细长杆。 max max{ y , z } 121.2 112

2 EA Pcr 2 330.6kN

例题 一端固定一端球绞的圆截面杆的最大工作压力为4kN, 其长度0.5m,规定nst=6,材料为A3, p=200MPa, s=240MPa, E=205GPa,试确定压杆的截面直径d. 解：因为d未知，不能确定压杆的柔度。采用试算法。 假设为细长杆： Pcr nst Pmax

2 EI d 25mm 2 ( l )

2E 经验算： l 0.7 500 58.3 1 101 p i 24 / 4 a s 304 240 2 57.1 假设不合理！b 1.12

例11 1 截面为 120mm 200mm 的矩形 木柱，长l=7m,材料的弹性模量E = 10GPa,

p = 8MPa。其支承情况是：在屏幕平面内失稳时柱的两端可视为固定端(图a);若在 垂直于屏幕平面内失稳时，柱的两端可视 为铰支端(图b),试求该木柱的临界力。

P

P

l=7m

l=7m

(a)

(b)

y h=200 z b=12015

解：由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承

条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？从临界应力总

图，我们知道， 越大，越容易失稳。

计算 y

z

在屏幕平面绕 y 轴失稳时hb3 200 1203 Iy 10 12 288 10 7 m 4 12 12iy Iy 288 10 7 0.0346m 6 A 200 120 10

∵ 两端固定

∴ y = 0.5 y 17

yliy

0.5 7 101 0.0346

在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时bh3 1 Iz 120 2003 10 12 8 10 5 m 4 12 12iz Iz 8 10 5 0.0577m 6 A 120 200 10

∵ 两端铰支∴ z = 1 z 18

zliz

1 7 121 0.0577

∵ ∴

z > y如果木柱失

稳，将在垂直于屏幕 平面内绕 z 轴失稳。

2E 2 10 109 p 110 6 p 8 10

z > p

∴ 应采用欧拉公式计算

2 E 3.142 10 109 cr 2 6.734 106 Pa 6.734MPa 1212Pcr cr A 6.734 106 120 200 10 6 162 103 N 162kN

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e32q.html