2005年全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）（有详细解答）

2005年全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）

（完卷时间：120分钟；满分：150分）

一、选择题

1、二次函数y?ax2?b与一次函数y?ax?b(a?b)在同一个直角坐标系的图像为（ ）

y yO yx yOxOxOxCDAB2、已知数列?an?满足a1?a,a2?b,an?2?an?1?an(n?N*)。Sn是?an?的前n项的和，则a2004?S2004等于（ ）

A、a?b B、a?b C、?a?b D、?a?b 3、在(2?A、3x)2n?1的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和为（ ）

11?1； B、32n?1； C、?32n?1； D、(32n?1?1)

222n?14、在1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1?a2,a3?a2,

a3?a4,a5?a4的排列个数是（ ）

A、10； B、12； C、14； D、16.

225、直线y?mx?3与抛物线C1:y?x?5mx?4m,C2:y?x?(2m?1)x

?m2?3,C3:y?x2?3mx?2m?3中至少有一条相交，则m的取值范围

是（ ） A、m?13或m??2 B、m??1或m??

28C、m?R D、以上均不正确

6、若关于x的不等式x?ax?6a?0有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的a的最大值为Ma、最小值为ma，则Ma－ma等于（ ） A、1 B、24 C、25 D、26 7、k?R，则方程组?

2?y?kx?2k?1?9x?4y?18x?16y?11?022 （ ）

A、有且仅有一组实数解 B、有且仅有两组不同的实数解

C、有两组解，但不一定都是实数解 D、由于k为参数，以上情况均有可能出现

8、锐角△ABC中，BC?a,CA?b,AB?c,且a?b?c，分别以BC，CA，AB边上的高AD，BE，CF为折线，将三角形折成平面角均为?(0????)的二面角，记折叠后的四面体ABCD，ABCE，ABCF体积方便为V1,V2,V3，则下面结论正确的是（ ） A、V1?V2?V3 B、V1?V2?V3

C、V1?V3?V2或V3?V1?V2 D、V1,V2,V3大小不能确定

9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（ ）

A、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；

B、至少有两条过同一个点； C、至少有三条过同一个点； D、至少有四条过同一个点； 10、设xi?R,xi?0(i?1,2,3,4,5)的最小值等于（ ） A、

?xi?15i则max?x1?x2,x2?x3,x3?x4 ,x4?x5??1，

1111 B、 C、 D、 4364二、填空题

22211、设a为实数，集合A??a,a,a?a,B??1,?1?a,1?a,A?B??，则A?B?

????____________________．

12、f(x)是定义在(??,??)上的偶函数，且f(1?x)?f(1?x),f(x)在x?(0,1)上是增

函数，则f(8.1)与f(?3.8)的大小关系是____________________．

???????????13、已知向量a?3b与7a?5b垂直，a?4b与7a?2b垂直，则向量a?b与b的夹角是

____________________． 14、已知

sin(a?2?)1?tan(a??)?3，且??k?,a???n??,(n,k?Z)，则的值

sina22tan?是____________________．

15、设a,b,c,d为已知常数，且b?c?d?0，要使

x?a?x?a?b?x?a?b?c?x?a?b?c?x?a?b?c?d?x?a?b?c?d为

常数，则x的取值范围是____________________．

16、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1，AB?a,BC?b,A1A?c，A1E为D1C1中点，若平面A1BC1与平面ACE所成二面角的平面角为?，则Sin??____________________．

17、若?x?表示不超过x的最大整数（如?1.3??1,??2???3等

4cD1EB1C1DbaCB??1??A等）则?1111?????????????????? ??2?1?2??3?2?3??4?3?4??2004?2003?2004??＝____________________．

APy2?2. ?1交于A、B两点，P为线段AB上的点，且18、斜率为1的直线与椭圆x?PB42则P点的轨迹方程是____________________．

19、函数y?sin2x?3(sinx?cosx)的最大值为____________________．

20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数

是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。）

21、全国篮球职业联赛的某个赛季在H队与F队之间角逐。采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4场，则该队获胜并且比赛结束。设比赛双方获胜是等可能的。根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是____________________．

答案与提示

一、选择题：

1、D.

提示：二次函数y?ax2?b与一次函数图象y?ax?b交于两点(o,b)、(1,a?b)，

由二次函数图象知，a,b同号，而由B,C中一次函数图象知a,b异号，相矛盾,故舍去

B,C.又由a?b知，当a?b?0时，?相符. 故选 D 2、B 提示：

b??1，此时与A中图形不符，与D中图形aa1?a,a2?b,a3?b?a,a4??a,a5??b,a6?a?b,a7?a,a8?b

由此推得：an?6?an,an?an?1?an?2?an?3?an?4?an?5?0 ∴a2004?a6?333?6?a6?a?b∴a2004?S2004?a?b。故选B 3、D. 提示：Tr?1?Cr2n?1S2004?334?S6?0

x2n?1?r2?2r.由于x的幂指数应为整数,因此,r为奇数. 记

133552n?12n?1 S?C2. n?1?2?C2n?1?2?C2n?1?2?…+C2n?1?201122n?12n?1 由于 (1?2)2n?1?C2, n?1?C2n?1?2?C2n?1?2?… -C2n?1?201122n?12n?1 (1?2)2n?1?C2, n?1?C2n?1?2?C2n?1?2?… -C2n?1?2 因此,将以上两式相减,即可得到 S?4、D.

提示：由已知条件知只可能 a2?5或a4?5，且a2?3,a4?3,a3?3. (1) 当a2?5时,则a4?3或4

当a4?3时,有2!=2种排列:当a4?4时,有3!=6种排列,即共有8种排列. 同理,当a2?5时,也有8种排列. 故应选 D. 5、B.

提示：原命题可变为，求方程：mx?3?x?5mx?4m，

212n?1(3?1). 2

mx?3?x2?(2m?1)x?m2?3，mx?3?x2?3mx?2m?3中至少有一个

方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m的值，使得所求.即变为解不等式组

?(4m)2?4(?4m?3)?0,? ?(m?1)2?4m2?0, ?4m2?4(?2m)?0,?得 ?33?m??1，故符合条件的m取值范围是m??或m??1， 22应选 B.

?a2?24a?0?6、D；提示 由?a?a2?24aa?a2?24a

??5?22?得

a?0或a??24a?24a?25?02 解得a?[?25,?24)?(0,1]

∴Ma?ma?1?(?25)?26； 故选D 7、B

?y?1??K(x?2)(1)提示：原方程组可变为 ? 22?(x?1)(y?2)(2)??1?9?4）(1)表示过点(2,1的直线,(2)表示椭圆,中心为Q(1,2),短半轴长为2.由

AQ?(2?1)2?(1?2)2?2?2知,A点在椭圆内部,因此,过点A 的直线与椭

圆必有两个不同的交点. 故选 B.

8、A 提示：V1?1?BD?CD?ADSin? 612??bCosC??Sin? ??cCosB6a?bcCosBCoSsiCn? ??

3a?CosACosBCosCSin?bc? ?

3aCosAAcbDaCB?CosACosBsCCSoi?n2b2c2 ? ?3a(?a2?b2?c2)2a2b2c2???CosACosBsCCSoi?n1 ? ?32223a(?a?b?c)

（ 以上?表示?ABC面积）.

2a2b2c2???CosACosBsCCSoi?n 记 K?, 同理可得

3 V2?KK ,V?332223222b(a?b?c)C(a?b?c) 由于K为相同值,因此,要比较V1,V2,V3大小,即比较a3(?a2?b2?c2)、 b3(a2?b2?c2)、c3(a2?b2?c2)的大小.

222 ∵ a?b、a?b?c

∴ a3(?a2?b2?c2)-b3(a2?b2?c2)

=?(a3?b3)(a2?b2)?c2(a3?b3)?2a2b2(a?b) =(a3?b3)(?a2?b2?c2)?2a2b2(a?b)?0 ∴

11, ?32223222a(?a?b?c)b(a?b?c) ∴ V1?V2. 同理, V2?V3.

∴ V1?V2?V3 , 选 A. 9、C.

提示：如图，设CD为满足要求的直线，将

分成两个梯形，易知，要使这两个比为2：3，只要其中位线比为2：AP:PB=2：3，

象P这样的点有四个（图中

SABPQR平行四边形梯形面积之3，即

1-2P,Q,R,S），

且适合条件 的九条直线必过这四点中的一个点.根据抽屉原理知，其中必有3条

直线过同一个点. 故选C 10、B 提示：

max?x1?x2,x2?x3,x3?x4,x4?x5? ?max?x1?x2,x1?x4,x1?x5?

151?(?xi?x4)?3i?13

取x1?x3?x5?1,x2?x4?0则 31 故选B 3 max?x1?x2,x2?x3,x3?x4,x4?x5??二：填空题

11、A?B???1,2?. 提示：由A?B?? 可得a?1 12、f(8.1)?f(?3.8).

提示:∵f(x)在(??,??)上是偶函数,且f(1?x)?f(1?x).

∴f(1?x)?f??(x?1)??f(x?1) ∴f(x?2)?f(x)

∴f(x)是以2为周期的偶函数 ∴f(8.1)?f(4?2?0.1)?f(0.1),

f(?3.8)?f(3.8)?f(2?4?0.2)?f(?0.2)?f(0.2). 又∵f(x)在(0.1)上是增函数,0.1与0.2?(0,1)且0.1?0.2, ∴f(0.1)?f(0.2). ∴f(8.1)?f(?3.8).

13、(a?3b)?(a?5b)?0?7a?16ab?15b?0 （1）

22(a?3b)?(a?5b)?0?7a?16ab?15b?0 （2）

（1）-（2）化简得a?b22?1b222 ；（3）

2（1）×15+（2）×8化简得a222?b；（4）

22a.?b?(a-b)?a?2a·b?b?b

???(a?b)·b1设a?b与b的夹角为?，则Cos????

2a?b·b∴??120

0

14、

ta.n(a??)Sin(a??).Cos? ?ta.n?Cos(a??).Sin?Sin(a?2?)1?1[Sin(a?2?)?Sina]3?1Sina2????2

1Sin(a?2?)3?1[Sin(a?2?)?Sina]?12Sina

15、x的取值范围是a?b?x?a?b?c?d.

提示:当b?c?d?0时,有

a?b?c?a?b?c?d?a?b?a?b?c?d?a?b?c?a. 因此, a?b?x?a?b?c?d,这时

x?a?x?a?b?x?c?b?c?x?a?b?c?d +x?a?b?c?d?x?a?b?c

=?x?a?x?a?b?x?a?b?c?x?a?b?c?d +x?a?b?c?d?x?a?b?c =b?4c?2d. 16、Sin??a2bcbc?ca?ab?ab?4bc?4ca222222222222.

提示：设D1AC中AC边上的高（即D1到AC距离）为h，则 h?2S?D1ACab2c2?c2a2?a2b2. ?a1a2b2?4b2c2?4c2a2. 2 又求得 S?EAC? 设C到平面D1AE的距离为d, 于是,由VD1?EAC?VA?ED1C 得到

11?34111a2b2?4b2c2?4c2a2=??ac?b,

322 ∴d?abcab?4bc?4ca222222.

da2bc ∴Sin???.

222222222222hbc?ca?ab?ab?4bc?4ca

17、2003．

提示： ?????1=???

??n?1?n?(n?1)???n?1(n?1?n)?1?n??1?? = 1

n?1???n?1?n? =?? =

n?1??18、轨迹是：4x?y?25?(y?x)2 (y?x?5) 3 提示：设动点为P(x?,y?)，则过P y?x?(y??x?).

y2?1, 整理得： 代入椭圆方程x?42 5x2?2(y??x?)x?(y??x?)2?4?0 (※)

若直线l椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)(x1?x2)，则x1,x2是方程(※)的两

个根, 且

?(y??x?)?25?(y??x?)2 x1? ①

5?(y??x?)?25?(y??x?)2 x2? ②

5 又∵AP?2， x1?x2. PB ∴x??x1?2x2. 325?(y??x?)2 （y??x??5） 3 将①、②代入并整理得： 4x??y??19、ymax?9?63. 2y2?1Sin2x(2???Cosx)2 ①

2 提示:设参数?(??R),则

?2?1?Sin2x(4??2)(?2?Cos2x) ②

?

4??2?2?(?2?12(4??2)(?2?1)2)?

4?22

由①、②知,取等号条件为:

??Cosx,?? ?2 ???2??Cos2x.???2?3?1,? 解得 ?3?1

.?Cos?2? ∴y?2(4?3?1)(1?3?1)24(3?1)?9?63, 4 即 ymax?9?63. 220、241

提示：

凸多面体的面数F＝36，棱数E＝60，顶点数V＝E+2-F＝26 将顶点记为i＝1，2，3，···，26

设凸多面体的面中以i为顶点的三角形有ti个，以i为顶点的四边形有qi个

126那么凸多面体的对角线总数＝?(25?ti?qi)

212611261??25?26??ti??2?qi22i?12i?11 ?325??24?3?12?4

2?24122、0.875 提示：解一：门票收入不低于500万元?比赛进行了5场或6场或7场。

13111

22241151313C5·()·(1?)2·?赛6场的概率P2?C2·

222161151313C6·()·(1?)3·?赛7场的概率P3?C2·

22216C4·()·(1?)·?赛5场的概率P1?C2·13赛5场或6场或7场两两不能同时发生，故门票收入不低于500万元的概率 P=P1 + P2 + P3 =0.875

解二：恰为赛4场的概率为P’; P'?C2()?故门票收入不低于500万元的概率 P?1?P'?1?11241 817? 88

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