4.数列求和的性质与求和技巧

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［中国高考数学母题］(第141号)

数列求和的性质与求和技巧

求数列｛a n｝的通项a n和前n项和S n,是研究数列的两大主题，课标全国卷数列试题具有浓郁的数列求和“情结”；其中, 数列求和的性质与两个求和技巧，值得关注.

［母题结构］：(I )(求和性质)若数列gn｝,｛b n｝的前n项和分别为S n,T n,则数列g n+tb n｝的前n项和=kS n+tT n；

(II )(并项求和)若数列｛a n｝的a n中含(-1) n,令bn=a2n-l+a2n,并求数列｛b n｝的前n项和T n,然后由Sn=T n,S 2n-1=T n￡ 2n求S^g；

(山)(分段求和)若数列｛a n｝:a n=f(n)(n < m),a n=g(n)(n>m),则：①当n w m时,S n 由a“=f(n)求出；②当n>m时，先由a“=f(n) 求S m 再由a n=g(n)求S-S M然后由S=S+(S n-Sj,求S n.

［母题解析］:略.

1.求和性质

子题类型I :(2016年北京高考试题)已知｛a n｝是等差数列,｛b n｝是等比数列，且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(I )求｛a n｝的通项公式；(I )设C n=a n+b n,求数列｛C n｝的前?项和.

［解析］:(I )由等比数列｛b n｝的公比q=^=3 b n=b2q n-2=3n-1(n=1,2,3,…)a1=b=1,a ”=b4=27 等差数列｛a n｝的公差d=

b2

岂虫=2 Q=2n-1(n=1,2,3, …);

14 1

(I)由C n=a n+b n 数列｛c n｝的前n项和=数列｛a.｝的前n项和+数列｛b n｝的前n项和=n2+l (3 n-1).

2

［点评］:利用求和性质，可由基本数列｛a n｝与｛b n｝的前n项和份别为S n与T n),求合成数列｛ka n+tb n｝的前n项和(=kS n+tT n).

［同类试题］:

1.(2015年福建高考试题)等差数列｛a n｝中,a2=4,a4+a7=15.

(I)求数列｛a n｝的通项公式；(I)设b n=2an 2 +n,求B+b2+b3+…+5。的值.

2.(2005年全国I高考试题)设等比数列｛a n｝的公比为q,前n项和S n>0(n=1,2,…).

3

(I )求q的取值范围；(I)设b n=a n+2- 3 a n+1,记｛b n｝的前n项和为T n,试比较S与T n的大小.

2

2.并项求和

子题类型I :(2014年山东高考理科试题)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S,且S,S2,S4成等比数列.

(I )求数列｛a n｝的通项公式；(I )令b n=(-1) n-1,求数列｛b n｝的前n项和T n.

a n a n 1

［解析］:(I )由 SS=S 22 a i (4a i +12)=(2a 1+2)2

a=1 a n =2n-1;

［点评］:并项求和法不仅适用于通项 a n 中含(-1) n 的数列｛a n ｝求和，而且还适用于通项 a n 中含三角函数的数列｛a n ｝求和.

［同类试题］:

3. (2014年山东高考文科试题)在等差数列｛aj 中，已知公差d=2,a 2是Q 与a 4

的等比中项.

(I )求数列｛a n ｝的通项公式；(II )设 b n =a n(n 1｝,记 T n =-b 1 + b 2-b 3+b 4-…+(-1) "b n ,求 T n .

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备战高考数学的一条捷径?预测高考试题的有效手段

2017年课标高考母题

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4. (2016年天津高考试题)已知｛a n ｝是等比数列，前n 项和为S(n

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