2007年高考数学易错题举例解析

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

2007年高考数学易错题举例解析

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。

x>0 x + y>0 x>1 x + y>3 ，但 与 不等价。 y>0 xy>0 y>2 xy>2

【例1】已知f(x) = ax + ，若 3 f(1) 0,3 f(2) 6,求f(3)的范围。

x

b

① 3 a b 0

错误解法 由条件得 b

3 2a 6 ②2

②×2－① 6 a 15 ③

8b2

④ 33310b431043 3a ,即 f(3) . ③+④得 33333

①×2－②得

错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数

f(x) ax

x

，其值是同时受a和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定b

取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

f(1) a b

正确解法 由题意有 b, 解得：

f(2) 2a 2

12

a [2f(2) f(1)],b [2f(1) f(2)],

33

b165

f(3) 3a f(2) f(1). 把f(1)和f(2)的范围代入得

399

1637 f(3) . 33

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

第1页（共17页）

数学论文

●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】

(1) 设 、 是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则( 1)2 ( 1)2的最小

值是(A)

2

49

4

(B)8(C)18(D)不存在

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得： 2k, k 6,

( 1)2 ( 1)2 2 2 1 2 2 1

( )2 2 2( ) 2 349

4(k )2 .

44

有的学生一看到

49

，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思4

维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根 、 ，∴k 2或k 3.

当k 3时，( 1)2 ( 1)2的最小值是8；

4k2 4(k 6) 0

当k 2时，( 1)2 ( 1)2的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 (2) 已知(x+2)+

2

y2

4

=1, 求x+y的取值范围。

2

2

2

2

2

22

错解 由已知得 y=－4x－16x－12，因此 x+y=－3x－16x－12=－3(x+

8228)+ ， 33

828282222

∴当x=－时，x+y有最大值，即x+y的取值范围是(－∞, ]。

333分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)+

2

y2

4

=1 (x+2)=1－

2

y2

4

≤1 －3≤x≤－1，

第2页（共17页）

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

从而当x=－1时x+y有最小值1。∴ x+y的取值范围是[1,

2

2222

28

]。 3

x

注意有界性：偶次方x≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数a>0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

1212

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )+(b+ )的最小值。

ab

错解 (a+

1212221121)+(b+)=a+b+2+2+4≥2ab++4≥4ab +4=8, abababab1212

)+(b+)的最小值是8. ab

2

2

∴(a+

分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的

条件是a=b=

11

,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不2ab

2

2

能同时成立的。因此，8不是最小值。 事实上，原式= a+b+

2ab]+[(

1111222

++4=( a+b)+(+)+4=[(a+b)－2222abab

1122

+)－]+4 abab

1

= (1－2ab)(1+22)+4，

ab

a b211111

由ab≤()= 得：1－2ab≥1－=, 且22≥16，1+22≥17，

2422abab1251

∴原式≥×17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，

222121225

∴(a + ) + (b + )的最小值是。

2ab

●不进行分类讨论，导致错误

【例4】(1)已知数列 an 的前n项和Sn 2n 1，求an.

错误解法 an Sn Sn 1 (2 1) (2

n

n 1

1) 2n 2n 1 2n 1.

1 1

错误分析 显然，当n 1时，a1 S1 3 2 1。

错误原因：没有注意公式an Sn Sn 1成立的条件是。

第3页（共17页）

数学论文

因此在运用an Sn Sn 1时，必须检验n 1时的情形。即：

S1(n 1)an 。

S(n 2,n N) n

(2)实数a为何值时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y 点。

错误解法 将圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线 y 得 x (2a )x a 1 0(x 0). ①

2

2

2

1

x有两个公共2

1

x联立，消去y， 2

12

2

0 1

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 2a 0 ， 解之得

2 2 a 1 0.

a

17

. 8

错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a 0时，圆与抛物线有两个公共点。

要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。

0

当方程①有一正根、一负根时，得 2解之，得 1 a

1.

a 1 0.

第4页（共17页）

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

因此，当a

1712

或 1 a 1时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y x有82

2

两个公共点。

思考题：实数a为何值时，圆x2 y2 2ax a2 1 0与抛物线y

1

x， 2

(1)有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共

点。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列 an 的全n项和为Sn.若S3 S6 2S9，求数列的公比q.

a1(1 q3)a1(1 q6)a1(1 q9)

错误解法 S3 S6 2S9, ， 2

1 q1 q1 q

整理得

q3(2q6 q3 1）＝0.

6

3

3

3

由q 0得方程2q q 1 0. (2q 1)(q 1) 0, q

。

4

2

或q 1

a1(1 q3)a1(1 q6)a1(1 q9)

错误分析 在错解中，由， 2

1 q1 q1 q

整理得q3(2q6 q3 1）＝0时，应有a1 0和q 1。

在等比数列中，a1 0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q 1的情况，再在q 1的情况下，对式子进行整理变形。

正确解法 若q 1，则有S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1.但a1 0，即得

S3 S6 2S9,与题设矛盾，故q 1.

a1(1 q3)a1(1 q6)a1(1 q9)

又依题意 S3 S6 2S9 2

1 q1 q1 q

第5页（共17页）

数学论文

q3(2q6 q3 1）＝0,即(2q3 1)(q3 1) 0,因为q 1，所以q3 1 0,所以2q 1 0.解得 q

3

4

. 2

说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

(2)求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2 2x仅有一个交点。

错误解法 设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1，则它与抛物线的交点为

y kx 1222

，消去y得(kx 1) 2x 0.整理得 kx (2k 2)x 1 0. 2

y 2x

11

直线与抛物线仅有一个交点， 0,解得k . 所求直线为y x 1.

22

错误分析 此处解法共有三处错误：

第一，设所求直线为y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。

第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。

第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k 0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。

正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x轴，因为过点(0,1)，所以

x 0,即y轴，它正好与抛物线y2 2x相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x轴，它正好与抛物线y 2x只有一个交点。

2

y kx 1

③一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1(k 0),则 2，

y 2x

k2x2 (2k 2)x 1 0.令 0,解得k = 2∴ 所求直线为y

第6页（共17页）

1

1

x 1. 2

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

综上，满足条件的直线为：y 1,

x 0,y

1

x 1. 2

《章节易错训练题》

1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M∩N中元素个数是 A(集合元素的确定性) (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或2 2、已知A = {x | x + tx + 1 = 0}， 若A∩R = ，则实数t集合T = ___。

2

*

tt 2 (空集)

3、如果kx+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)

(A) －1≤k≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1<k≤0 (D) －1<k<0

2

x a＜)0，若A是B的充分不必要条件，4、命题A:x ＜3，命题B:(x 2)(

则a的取值范围是C(等号)

（A）(4, ) （B） 4, （C）( , 4) （D） , 4 12x

5、若不等式x－loga<0在(0, )内恒成立，则实数a的取值范围是A(等号)

2(A) [∪(1,2)

6、若不等式(－1)a < 2 +取值范围是A(等号) 3

(A) [－2，)

2

3

(B) (－2，)

2

3

(C) [－3， )

2

(D) (－3，

n

1

,1) (B) (1, + ) 16

(－1)

n + 1

(C) (

1

,1) 161

(D) ( ,1)

2

n

对于任意正整数n恒成立，则实数a的

3) 2

7、已知定义在实数集R上的函数f(x)满足：f(1) 1；当x 0时，f(x) 0；对于任意

)的实数x、y都有f(x y) f(x) f(y。证明：f(x)为奇函数。(特殊与一般关系)

8、已知函数f(x) =

1－2x

，则函数f(x)的单调区间是_____。递减区间(－ ，x + 1

－1)和(－1， + ) （单调性、单调区间）

第7页（共17页）

数学论文

9、函数y = log0. 5(x－1) 的单调递增区间是________。[－2 ，－1）（定义域）

2

log 2(x+2) x>0－1

10、已知函数f (x)= x ， f (x)的反函数f (x)=

x≤0 x－1 2－2 x>1

x

0≤x<1 x－1

（漏反函数定义域即原函数值域）

x

。

11、函数 f (x) = log 1 (x + a x + 2) 值域为 R，则实数 a 的取值范围

2

2

是D(正确使用△≥0和△<0)

(A) (－22 ,22 ) (B) [－22 ,22 ] (C) (－ ,－22 )∪(22 ,+ ) (D) (－ ,－22 ]∪[22 ,+ )

2

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y的最小值为B(隐含条件) （A）2

3（B）

4

2（C）

3

（D）0

22x2 4x 3

13、函数y=2的值域是________。(－∞, )∪(,1)∪(1,+∞) （定

55x x 6

义域）

14、函数y = sin x (1 + tan x tan )的最小正周期是C （定义域）

2

(A)

2

x

(B) (C) 2 (D) 3

x

15、已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 x [0,1) 时，f (x) = 2，则

f (log 1 23) = D(对数运算)

2

(A)

23 16

(B)

16 23

(C) －

16 23

(D) －

23 16

32

16、已知函数f(x) ax bx 3x在x 1处取得极值。

（1）讨论f(1)和f( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值；

（2）过点A(0,16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程。(2004天津) （求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否

第8页（共17页）

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

在曲线上。）

3 sin cos

17、已知tan ( － )= － 则tan = ； = 。22

353cos －2sin 3 3

、 （化齐次式） 23

18、若 3 sin + 2 sin －2 sin = 0，则cos + cos 的最小值是 __ 。

14

(隐含条件) 9

2

2

2

2

13

19、已知sin + cos = ， (0， )，则cot = _______。－ (隐含

54条件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的

角，若a =2、

b 2、A

（A）

4

，则∠B = B(隐含条件)

（B）

12 6

（C）

6

或

5 6

b

（D）

12

或

11

12

12 12

21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，则(a + )+ (b + )的最小值是_______。

a

25

(三相等) 2

22、已知x ≠ k (k Z)，函数y = sinx + （三相等） 23、求y

2

4

sinx

的最小值是______。5

28

的最小值。 22

sinxcosx

错解1 y

28288

2 2222

sinxcosxsinxcosx|sinxcosx|

16

16,. ymin 16.

|sin2x|

错解2

y (

282

sinx) ( cos2x) 1 22 28 1 1 62. 22

sinxcosx

第9页（共17页）

数学论文

错误分析 在解法1中，y 16的充要条件是即|tanx|

28

且|sin2x| 1. 22

sinxcosx

1

且|sinx| 1.这是自相矛盾的。 ymin 16. 2

在解法2中，y 1 62的充要条件是

282

sinx且 cos2x，即sin2x 2，cos2x 22,这是不22

sinxcosx

可能的。

正确解法1 y 2csc2x 8sec2x

2(1 cot2x) 8(1 tan2x)

10 2(cot2x 4tan2x) 10 2 2cotx 4tanx

18.

2

2

其中，当cot2x 4tan2x，即cot2x 2时，y 18. ymin 18. 正 确 解 法2 取正常数k，易得

y (

2822

ksinx) ( kcosx) k22

sinxcosx

2 2k 2 8k k 6 2k k.

其中“ ”取“＝”的充要条件是

281222 ksinx且 kcosx，即tanx 且k 18.

2sin2xcos2x

因此，当tanx

2

1

时，y 6 2k k 18, ymin 18. 2

n－1

n

24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2(n≥2)，则an = ________。2－1(认清项数)

25、已知 －9、a1、a2、－1 四个实数成等差数列，－9、b1、b2、b3、－1 五个实数成等比数列，

则 b2 (a2－a1) = A(符号)

第10页（共17页）

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

(A) －8

99

(B) 8 (C) － (D)

88

26、已知 {an} 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等

比数列吗？

当q = －1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比数列； 当q≠－1或q = －1且k为奇数时，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比数列。 （忽视公比q = －1） 27、已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件：

a1 a,an f(an 1)(n 2,3,4,...),a2 a1，f(an)－f(an－1) = k(an－an

－1

)(n = 2,3,┄)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令bn an 1 an(n N*)，

证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）当|k| 1时，求

liman。(2004天津)

n

（等比数列中的0和1，正确分类讨论）

222

28、不等式m－(m－3m)i< (m－4m + 3)i + 10成立的实数m的取值集合是________。{3}(隐含条件) 29、i是虚数单位，

(A) －1

(－1+i)(2+i)

i3

(B) －i

的虚部为（ ）C(概念不清)

(C) －3

(D) －3 i

30、实数m，使方程x2 (m 4i)x 1 2mi 0至少有一个实根。

错误解法 方程至少有一个实根，

(m 4i)2 4(1 2mi) m2 20 0 m 2,或m 25.

错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。

正确解法 设a是方程的实数根，则

a2 (m 4i)a 1 2mi 0, a2 ma 1 (4a 2m)i 0.

由于a、m都是实数，

a2 ma 1 0

,解得 m 2.

4a 2m 0

第11页（共17页）

数学论文

31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。

343443

( ，－ )或(－ ，)；( ， )或(－ 555555

43

，－ )(漏解) 55

32、将函数y= 4x－8的图象L按向量a平移到L，L的函数表达式为y= 4x，则向量a=______。

a = (h，4h+8) (其中h R)(漏解)

/

/

33、已知 |a|＝1，|b|＝2，若a//b，求a·b。

①若a，b共向，则 a·b＝|a| |b|＝2，

34、在正三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC = a，则

正三棱锥A－BCD的体积为____________。

2 3

a (隐含条件) 24

②若a，b异向，则a·b＝－|a| |b|＝－2。(漏解)

35、在直二面角 －AB－ 的棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在 、 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC、PD，那么∠CPD的大小为D(漏解) (A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 60 或 120

36、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 （1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津) (条件不充分(漏PA 平面EDB，DE 平面PDC，DE∩EF = E等)；运算错误，锐角钝角不分。)

x 2 2

37、若方程 + y = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+

m

)(漏解)

x 23 2

38、已知椭圆 + y = 1的离心率为 ，则 m 的值为 ____ 。4 或

m2

1

(漏解) 4

第12页（共17页）

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点

F1、F2 组成的三角形的周长为 4 + 23 且∠F1BF2 =

是 。

2

，则椭圆的方程3

x 2

4

+ y = 1或x +

2 2

y 2

4

= 1(漏解)

40、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c 0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 0，求直线PQ的方程； （3）设 （ 1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明 。(2004天津)

(设方程时漏条件a>2 ，误认短轴是b = 22 ；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。)

41、 已知双曲线的右准线为x 4，右焦点F(10,0),离心率e 2,求双曲线方程。

a2

4,c 10, a2 40, b2 c2 a2 60.故所求的双曲线方错解1 x c

x2y2

1. 程为

4060

错解2 由焦点F(10,0)知c 10, e

c

2, a 5,b2 c2 a2 75. a

x2y2

1. 故所求的双曲线方程为

2575

错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。

正解1 设P(x,y)为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为x 4，

右焦点F(10,0)，离心率e 2，由双曲线的定义知

第13页（共17页）

(x 10)2 y2

2. 整理

|x 4|

数学论文

(x 2)2y2

1. 得

1648

正解2 依题意，设双曲线的中心为(m,0),

a2

m 4 a 4c

则 c m 10 解得 c 8,所以 b2 c2 a2 64 16 48,

m 2. c

2.

a

故所求双曲线方程为

(x 2)y

1. 1648

2

2

22

42、求与y轴相切于右侧，并与⊙C:x y 6x 0也相

的圆的圆心

的轨迹方程。

错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C的方程为

－1

(x 3) y 9.

设点P(x,y)(x 0)为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与切于M点，

与⊙C相切于N点。根据已知条件得

22

|CP| |PM| 3，即(x 3)2 y2 x 3，化简得y2 12x(x 0).

错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y 0(x 0且x 3)也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y = 12x(x>0)和y 0(x 0且x 3)。因此，在求轨迹时，

2

一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

第14页（共17页）

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

43、（如图3－2－2），具有公共y轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角求曲线C y轴－ 等于60 .已知 内的曲线C 的方程是y2 2px (p 0)，在 内的射影的曲线方程。

错误解法 依题意，可知曲线C 是抛物线，

在 内的焦点坐标是F (

p

,0),p 0. 2

因为二面角 y轴－ 等于60 ，

且x 轴 y轴，x轴 y轴，所以 xox 60 .

设焦点F 在 内的射影是F(x,y)，那么，F位于x轴上

从而y 0, F OF 60 , F FO 90 ,

p1pp

.所以点F

(,0)是所求射影的焦点。依题意，2244

射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C 在 内的射影的曲线

所以OF OF cos60 方程是y2 px.

错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)

/

的焦点，其次，没有证明默认C在 内的射影(曲线)是一条抛物线。

正确解法 在 内，设点M(x ,y )是曲线上任意一（如图3－2－3）过点M作MN ，垂足为N， 过N作NH y轴，垂足为H.连接MH， 则MH y轴。所以 MHN是二面角

图3－2

y轴－ 的平面角，依题意， MHN 60 .

在Rt MNH中,HN HM cos60 又知HM//x 轴（或M与O重合），

1

x . 2

图3－2

HN//x轴（或H与O重合），设N(x,y)，

第15页（共17页）

数学论文

1

x x

则 2

y y

x 2x

y y.

因为点M(x ,y )在曲线y2 2px (p 0)上，所以y2 2p(2x). 即所求射影的方程为 y2 4px(p 0).

44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x在轴上，离心率e

33

，已知点P(0,)

22

到这个椭圆上的最远距离是

7，求这个椭圆的方程。

x2y2

错误解法 依题意可设椭圆方程为2 2 1(a b 0)

abc2a2 b2b23

1 2 ， 则 e 2 2

4aaa

2

b21

所以 2 ，即 a 2b.

4a

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d， 则 d x (y )

2

2

3

2

2

y29

a(1 2) y2 3y

4 b

1

3(y )2 4b2 3.

2

2

所以当y

12

时，d有最大值，从而d也有最大值。 2

2

2

所以 4b2 3 ()2，由此解得：b 1,a 4.

第16页（共17页）

数学论文

蓄势待发，一鸣惊人！ 祝同学们2007年高考成功！

x2

y2 1. 于是所求椭圆的方程为4

错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当y

12

时，d有最大值，这步推理是错误的，没有考虑2

2

y到的取值范围。事实上，由于点(x,y)在椭圆上，所以有 b y b，因此在求d

的最大值时，应分类讨论。即：

若b

12

，则当y b时，d（从而d）有最大值。 2

2

于是(7) (b 所以必有b

32311

),从而解得b ,与b 矛盾。 2222

112

，此时当y 时，d（从而d）有最大值， 22

2

2

所以4b2 3 (7)2，解得b 1,a 4.

x2

y2 1. 于是所求椭圆的方程为4

数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。

第17页（共17页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/e2hq.html